同一份代码同时给出0.79阶和2.00阶 — 验证算例真正测量的东西
Sod激波管的密度L1收敛阶停在0.79，不是格式坏了。同一份MUSCL–HLLC代码在光滑波上给出2.001，打开minmod则落到1.491。
[论文评述] 两块碎片没有互相推开，而是贴在一起飞行 — Mach 20 球体对的 144° 平衡角
Mach 20 下接触的两个球体不会彼此推开，而是对齐到某个角度共同产生升力。本文用 Newton 近似直接算出了这个角度。
网格减半后发散来得快了一倍 — 六方程 two-fluid 模型的复数特征值
单压力六方程 two-fluid 模型只要两相有滑移，特征值就会变成复数。界面压力项系数越过1的瞬间，这对慢波回到实轴。
[论文评述] 把对流和压力彻底拆开 — Baer–Nunziato flux 的 TV 分裂
把Baer–Nunziato的flux拆成对流与压力后，声速只留在压力系统里；Noh滞止区在第三步就会把压力打到−0.12。
出口明明开着，波却折了回来 — NSCBC 与 σ 决定的反射
无反射出口上，σ=0时反射为0%、压力偏移停在+0.30；σ=0.25时反射1.9%，偏移落到0.0007，再加大两边一起丢。
[论文评述] 液滴几乎把声波全部弹回 — 声阻抗与sharp界面两相求解器
空气-水界面把声能的99.889%反射回去。气相体积分数只要1%，Wood声速就从1500 m/s掉到120.5 m/s。
马赫数趋于零，时间步长却纹丝不动 — IMEX TVD 格式复现记
把马赫数降到10^{-4}，时间步长依然停在对流CFL上；纯二阶IMEX的权重一旦超过√2−1，脉冲过冲就会回到0.4附近。
每一步都把糊掉的界面拉回来 — 亲手实现反扩散锐化(IST)
激波气泡算完200步后，数值扩散让氦气界面从6个网格糊开到整整20个。IST后处理只靠比值ε/a，把那层厚度重新锁回常数。
超声速流动感知不到上游 —— Euler 方程的特征线与声波
标准空气以220 m/s流动时，三个特征速度分成-118、220和558 m/s。马赫数一旦超过1，左行声波就再也到不了上游。
让声音与物质分开流动 — 声学-对流分裂（Lagrange–Projection）
在低马赫数M=0.02时，声带宽度仍保持为2c。对流单独向前推进后，动量误差停在2.2e-16，密度峰值约为1.0497。
[论文评述] 手推雅可比矩阵推到心累？——算子重载自动微分（ADOO）
Fraysse（2019）的ADOO不改通量代码，只换数据类型，便取出机器精度的雅可比，有限差分的步长h从此不必再选。
显式炸开时,不求逆矩阵也能解隐式 — LU-SGS
显式CFL被压到0.3时,定常要跑好几天。后向Euler加LU-SGS两次扫掠,用CFL 5、49步把Burgers激波带过,且不求全矩阵逆。
不在每个面上做矩阵乘法也能捕捉激波 — AUSM 通量分裂
Shu–Osher 左侧状态 ρ=3.857143、p=10.33333，正是 γ=1.4 下马赫 3 激波的兰金-雨贡纽值。
[论文评述] 用 tanh 把激波画到亚网格 — 实现 TENO-THINC 重构
β=1.8 的 tanh 在五圈后仍守住峰值 1.00 与 30 个网格，minmod 则掉到 0.84、宽度只剩 23 格。
用并不存在的流体填满界面 — Ghost Fluid Method
在水与空气这种物性差很大的界面上，压力照抄，密度只做等熵外推，再把单物质求解器跑两遍。刚度比一大，单纯抄写的压力就会响。
任意方向上的欧拉特征结构 — 三族波、两重重根、一处奇点
此时当 n_x 为 0.01 时，左特征向量的分母正好是 100。30° 的面用 R-1，法向躺在 y 上时改选 R-2。
如何让出口不再反射声波 — Navier–Stokes 特征边界条件 (NSCBC)
一次跑了六小时的压缩LES里,出口处平均压力抬升了0.3 bar。入射特征波上用σ≈0.25压住反射,平均才不再往上漂。