可压缩多相流CFD研究者的工作笔记 — 公式、代码、交互式可视化 https://cfdblog.cc/zh zh-CN noreply@cfdblog.cc (Younglin) Sun, 03 May 2026 20:09:47 GMT 1440 https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-05-04-implicit-diffusion-thomas-algorithm https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-05-04-implicit-diffusion-thomas-algorithm Mon, 04 May 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 수치해석 implicit diffusion Thomas-algorithm stability https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-05-03-orlando-bonaventura-ap-imex-nonideal-gas https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-05-03-orlando-bonaventura-ap-imex-nonideal-gas Sun, 03 May 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 논문리뷰 asymptotic-preserving IMEX low-mach Discontinuous-Galerkin non-ideal-gas https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-05-02-muscl-thinc-bvd-interface-reconstruction https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-05-02-muscl-thinc-bvd-interface-reconstruction Sat, 02 May 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 논문리뷰 compressible-multiphase MUSCL THINC BVD interface-capturing https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-05-01-burgers-characteristics-shock-formation https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-05-01-burgers-characteristics-shock-formation Fri, 01 May 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) Burgers hyperbolic shock characteristics 수치해석 https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-30-cavitation-number-vapor-pressure https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-30-cavitation-number-vapor-pressure Thu, 30 Apr 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 유체역학 Cavitation Multiphase Bernoulli 유동현상 https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-29-sph-meshfree-particle-hydrodynamics https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-29-sph-meshfree-particle-hydrodynamics Wed, 29 Apr 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) SPH Meshfree Lagrangian Multiphase Astrophysics https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-28-rankine-vortex-helmholtz https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-28-rankine-vortex-helmholtz Tue, 28 Apr 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) Vortex Vorticity 유체역학 유동현상 Helmholtz https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-27-amr-quadtree-cell-refinement https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-27-amr-quadtree-cell-refinement Mon, 27 Apr 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) AMR 쿼드트리 메시 알고리즘 수치해석 https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-26-casulli-walters-unstructured-shallow-water https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-26-casulli-walters-unstructured-shallow-water Sun, 26 Apr 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 논문리뷰 shallow-water semi-implicit unstructured-grid https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-25-teno-low-dissipation-shock-capturing https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-25-teno-low-dissipation-shock-capturing Sat, 25 Apr 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 논문리뷰 TENO WENO shock-capturing high-order https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-24-flux-limiter-tvd-advection https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-24-flux-limiter-tvd-advection Fri, 24 Apr 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 알고리즘 TVD flux-limiter advection 수치해석 2\pi R[math]\lambda{\max} \approx 9 R[math]We[math]Oh[math]We$ 来控制目标液滴尺寸。 --- Read more: https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-23-plateau-rayleigh-jet-breakup]]> https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-23-plateau-rayleigh-jet-breakup https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-23-plateau-rayleigh-jet-breakup Thu, 23 Apr 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 流体力学 流动现象 Plateau-Rayleigh 韦伯数 奥内佐格数 液柱碎裂 https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-22-cfd-linear-solvers-krylov https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-22-cfd-linear-solvers-krylov Wed, 22 Apr 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 算法 线性求解器 Krylov 数值分析 https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-22-wall-distance-eikonal-fast-marching https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-22-wall-distance-eikonal-fast-marching Wed, 22 Apr 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 算法 Eikonal Fast-Marching 网格 https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-21-reynolds-number-scale-fluid-mechanics https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-21-reynolds-number-scale-fluid-mechanics Tue, 21 Apr 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 流体力学 流动现象 雷诺数 无量纲化 https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-20-discontinuous-galerkin-method-cfd https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-20-discontinuous-galerkin-method-cfd Mon, 20 Apr 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) FEM DGM 高阶精度 压缩流动 https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-20-fem-rigid-body-dynamics-quaternion https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-04-20-fem-rigid-body-dynamics-quaternion Mon, 20 Apr 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) FEM 刚体动力学 四元数 https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-28-dean-flow-analytical-solution https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-28-dean-flow-analytical-solution Sat, 28 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 解析解 古典流体力学 CFD验证 Dean流 二次流 螺旋管 注：由于泊肃叶流动是二次多项式分布，因此使用二… --- Read more: https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-28-poiseuille-flow-analytical-solution]]> https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-28-poiseuille-flow-analytical-solution https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-28-poiseuille-flow-analytical-solution Sat, 28 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 解析解 古典流体力学 CFD验证 泊肃叶流动 有限差分 https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-27-simpleFoam-pressure-divergence https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-27-simpleFoam-pressure-divergence Fri, 27 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) CFD实战 QA OpenFOAM SIMPLE 收敛 https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-26-openfoam-backward-facing-step https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-26-openfoam-backward-facing-step Thu, 26 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) OpenFOAM 教程 simpleFoam 后步台阶 湍流 1000): 矢量方向变得不规则,涡结构发育 圆柱绕流流线:卡门涡街 圆柱(cylinder)绕流中 Reynolds 数增加时,会出现周期性涡脱落,即卡门涡街(Kármán vortex street)。 脱落频率用 Strouhal 数 [math] 归一化: [equation] 其中 [math] 为涡脱落频率,[math] 为圆柱直径,[math] 为来流速度。圆柱情况下 math离散此 Navier-Stokes 方程,并比较迎风差分与中心差分格式对精度的影响。 --- Read more: https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-25-reynolds-flow-transition-visualization]]> https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-25-reynolds-flow-transition-visualization https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-25-reynolds-flow-transition-visualization Wed, 25 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 시각화 Reynolds 유동천이 유체역학 https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-24-paper-review-pinn-turbulence-modeling https://cfdblog.cc/zh/posts/2026-03-24-paper-review-pinn-turbulence-modeling Tue, 24 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) 논문리뷰 PINN 딥러닝 난류모델 https://cfdblog.cc/zh/posts/mach-architect https://cfdblog.cc/zh/posts/mach-architect Wed, 11 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) CFD Compressible-Flow Interactive Isentropic Nozzle https://cfdblog.cc/zh/posts/rhie-chow-multiphase https://cfdblog.cc/zh/posts/rhie-chow-multiphase Tue, 10 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) Multiphase Rhie-Chow OpenFOAM Numerical-Methods 将微分直接近似为 差分 (difference)。 这是最直观的方法。通过对网格点 (node) 处的函数值进行泰勒级数展开来近似导数。 数学起点：泰勒展开 点 [math] 处的泰勒展开： [equation] 由此导出差分近似： 前向差分 (Forward): [equation] 中心差分 (Central): [equation] 二阶导数: [equation] 应用于平流-扩散方程 使用中心差分： [equation] 这变成了关于网格点未知数 [math] 的联立常微分方程 (ODE) 系统。 优缺点 优点： - 概念简单，实现容易 - 在结构化网格 (structured grid) 中非常高效 - 易于实现高阶精度 (紧致格式、类谱格式) - 正交网格下矩阵结构清晰 (带状矩阵) 缺点： - 难以应用于非结构化网格 (unstructured grid) —— 这是致命弱点 - 对于复杂几何形状的网格生成非常困难 - 不会自动满足守恒定律 代表性应用领域 - DNS/LES (基于正交网格的湍流模拟) - 气象/海洋模型 (结构化网格) - 地震波传播模拟 - 基于紧致格式的高精度计算 --- 2. 有限要素法 (Finite Element Method, FEM) 核心思想 > 将解近似为 基函数 (basis function) 的线性组合， > 并最小化 加权残差 (weighted residual)。 FEM 不直接求解微分方程。相反，它将其转换为称为 弱形式 (weak formulation) 的积分形式。 数学起点：弱形式 (Weak Form) 在原始 PDE (强形式，strong form) 上乘以测试函数 [math] 并积分： [equation] 对扩散项应用分部积分 (integration by parts)： [equation] 这就是 弱形式。请注意核心变化： - 原本需要二阶导数，分部积分后 仅需一阶导数 - 放宽了对解的连续性要求 ([math]) - 边界条件自然地包含在内 (Neumann BC = 右侧项) 伽辽金近似 (Galerkin Approximation) 将解表示为基函数 [math] 的线性组合： [equation] 在伽辽金方法中，测试函数和基函数取自同一空间 ([math])： [equation] 矩阵形式： [equation] - [math]: 质量矩阵 (mass matrix) - [math]: 刚度矩阵 (stiffness matrix) - [math]: 边界/源项向量 基函数的选择 最常用的是基于 拉格朗日多项式 (Lagrange polynomial) 的… --- Read more: https://cfdblog.cc/zh/posts/fdm-fem-fvm]]> https://cfdblog.cc/zh/posts/fdm-fem-fvm https://cfdblog.cc/zh/posts/fdm-fem-fvm Mon, 09 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) CFD FDM FEM FVM 数值方法 https://cfdblog.cc/zh/posts/numerical-dungeon https://cfdblog.cc/zh/posts/numerical-dungeon Sun, 08 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) CFD Numerical-Methods Interactive Education https://cfdblog.cc/zh/posts/five-equation-model https://cfdblog.cc/zh/posts/five-equation-model Sat, 07 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) Multiphase Diffuse-Interface Python Implementation https://cfdblog.cc/zh/posts/interface-capturing https://cfdblog.cc/zh/posts/interface-capturing Fri, 06 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) Multiphase VOF Level-Set Diffuse-Interface 为了获得网格边界处的通量，可以将相邻两个网格的平均值作为左右状态，然后求解 Riemann 问题。 有限体积法的更新公式： [equation] 这里的 [math] 正是根据 Riemann 问题的解确定的数值通量。 Exact Riemann Solver (精确解法) 精确 Riemann 求解器使用 Newton-Raphson 迭代法求解中间区域 (star region) 的压力 [math]。根据波的类型（冲击波/稀疏波）应用 Rankine-Hugoniot 关系式或等熵关系式。 冲击波 (Shock wave) 关系式 ([math], [math] 或 [math]): [equation] 其中 [math]，[math]。 稀疏波 (Rarefaction wave) 关系式 ([math]): [equation] [math] 满足以下条件： [equation] Approximate Riemann Solver (近似解法)：为什么需要它？ 由于精确求解器需要迭代计算，因此成本昂贵。在实际的 CFD 代码中，大多使用近似 Riemann 求解器 (approximate Riemann solver)。 Roe Solver (1981) Roe 将非线性 Riemann 问题线性化 (linearization)，转化为关于矩阵 [math] 的线性 Riemann 问题： [equation] 使用 Roe 平均 (Roe average) 构建 [math]： [equation] 优点：能精确捕捉接触不连续。缺点：可能违反熵条件（需要熵修正 entropy fix）。 HLLC Solver (Toro, 1994) HLLC 是对 HLL 求解器的改进，它恢复了接触不连续 (Contact)。它估计三个波速 (wave speed) [math], [math] 和 [math]： $$ \hat{\mathbf{F}}{i+1/2} = \begin{cases} \mathbf{F}L & \text{if } SL > 0 \\ \mathbf{F}^L & \text{if } SL \leq 0 --- Read more: https://cfdblog.cc/zh/posts/riemann-solvers]]> https://cfdblog.cc/zh/posts/riemann-solvers https://cfdblog.cc/zh/posts/riemann-solvers Thu, 05 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) Riemann-Solver Godunov Numerical-Methods "可压缩多相流数值方法的历史,就是与压力振荡斗争的历史。" 普通的守恒型有限体积法,在界面处由于 [math] 取中间值会产生 spurious oscillation。 2. 状态方程的多样性 实际问题中仅靠理想气体不够。 水使用 Tait EOS 或 stiffened gas EOS, 高压状态使用 Jones-Wilkins-Lee (JWL) EOS, 反应性流动需要与化学反应耦合的 EOS。 需要对每种 EOS 推广 Riemann solver,实现复杂度大幅上升。 3. 界面追踪 vs 界面捕捉 如何处理界面大致分两种方法: | 方法 | 实现 | 优点 | 缺点 | |--------|------|------|------| | Sharp interface | Ghost Fluid, Front Tracking | 界面清晰 | 相变难处理 | | Diffuse interface | 5 方程、6 方程模型 | 自然处理相变 | 界面涂抹 | 为什么重要 可压缩多相流仿真在多个工程领域处于核心地位: - 水下爆炸(UNDEX): 舰艇生存性评估 - 超音速燃烧: 冲压发动机内部燃料喷射/混合 - 医疗领域: 冲击波碎石(lithotripsy)中的气泡行为 - 航天推进: 低温推进剂的晃动(sloshing) 下篇预告 下一篇介绍该领域的核心工具:Riemann 问题与 Godunov 型格式。 首先理解单相 Euler 方程的 Riemann 问题, 再看它如何扩展到多相流。 将探针滑到 α≈0.5 附近，Wood 声速会降到单相的 1/100。 --- Read more: https://cfdblog.cc/zh/posts/compressible-multiphase-intro]]> https://cfdblog.cc/zh/posts/compressible-multiphase-intro https://cfdblog.cc/zh/posts/compressible-multiphase-intro Wed, 04 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) CFD Multiphase Compressible-Flow Introduction https://cfdblog.cc/zh/posts/draft-post https://cfdblog.cc/zh/posts/draft-post Wed, 04 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) Draft Test https://cfdblog.cc/zh/posts/hello-blog https://cfdblog.cc/zh/posts/hello-blog Tue, 03 Mar 2026 00:00:00 GMT noreply@cfdblog.cc (Younglin) Next.js Contentlayer MDX LaTeX