格子を2倍細かくしたら誤差が3倍になった — Jacobi反復の増分収束判定が隠すもの
増分でJacobi反復を止めると、格子を細かくするほど残る誤差が1/(1-ρ)倍に増えます。2次元熱伝導の板でJacobi・SOR・最適ωを比べます
6次モーメントで15が9に落ちた — D2Q9を決めた三つのエルミート根
LBMコードの c_s²=1/3 と重み 1/36 がどこから来たのかを、ガウス・エルミート積分の次数まで遡って追いかけます。
3次モーメントを正直に埋めたら誤差が2.8倍になった — 力項が守るべき行
LBMの力項の3次モーメントを運動論の値で埋めると誤差が逆に増える。格子が固定する成分と、その項が届く次数を一緒に読む。
格子を8倍細かくしても2.4674は動かなかった — 1807年のフーリエ級数が残した二つの定数
1807年の審査で差し戻されたフーリエ級数の収束問題は、今日の格子で8.9490%とπ²/4という二つの定数として戻ってくる。
τ=0.51で粘性を51倍も大きく読んでいた — 離散LBEの2次展開が残す半ステップ
τ=0.51で連続式はν=0.17なのに格子は0.00333を測ります。2次展開が緩和時間からΔt/2を落とし、差は51倍です。
[論文レビュー] 引張で0.333、圧縮で0 — SPH粒子が対を組む場所
同じSPHコードは圧縮を耐え、引張で粒子が対を組みます。h/dxが1.2の成長率は0.333、カーネルを初期配置へ固定すると0です。
散逸率を202倍にしても温度は13%しか下がらなかった — 層流フレームレットの消炎限界
スカラー散逸率を202倍にしても火炎温度は13%しか下がらない。層流フレームレットが一歩で消える位置をPythonで探します。
[論文レビュー] 同じ点の色関数が経路によって0.544ずれた — カール拘束条件とスタッガード格子
400ステップ後、スタッガード格子のカールは1e-12に留まり、コロケート配置では同じ点の色関数が経路で0.544ずれました。
時間刻みを1001倍にした請求書 — 半陰的圧力スキームがL∞安定でない理由
低マッハ半陰的圧力スキームはM=0.001で時間刻みを1001倍稼ぐ。その不連続面の振動は四周期後もほぼ0.18のまま残る。
フレームを0.2で押したら粘性が5.97%減った — LBM平衡分布の3次モーメント欠損
D2Q9ではΣf c³がどんな分布を入れてもρuになります。欠けたρu³がガリレイ不変性を壊し、粘性をフレームごとに変えます。
動的係数の49.9%が負になった — Germano恒等式と平均操作の位置
Germano恒等式でSmagorinsky係数を直接測ると、格子点の半分が負になった。平均をどこで取るかが安定性を分ける。
格子ペクレ数を2に上げたら解が-0.33まで落ちた — 最小化すべきエネルギーが消えた場所
移流項が剛性行列の対称性を壊すと最小ポテンシャルエネルギー原理も消える。ガラーキン振動の本当の原因と、安定化が代わりに買うもの。
τをそのまま入れたら粘性が6倍になった — LBMの離散化が残したΔt/2の三箇所
台形則による積分一回と変数変換一行が、粘性・速度・応力の三箇所にΔt/2を残します。スカラーODEとD2Q9で三箇所すべてを測りました。
Godunov 法 — 各セルの中に小さな衝撃波管を一つずつ
Lax衝撃波管の星圧は3.40948、星速度は0.62556です。左の状態3.528より低く、左は膨張波、右は衝撃です。
Jacobi 1万回でも消えない誤差を、V-サイクル10回で消す ― マルチグリッドの本当の秘密
64セルの1D Poissonでは20ステップ後、Vサイクル残差は1e-10未満、同回数のJacobiは1e-2付近に止まります。
陰解法とトーマス法 — 1次元拡散を無条件安定で解くひと筋のトリック
rが0.6のとき陽解法は60ステップで1e12まで跳ねる。陰解法は三重対角を1回掃くだけで、同じ刻みでもr=2でも有限のまま残る。
特性線がぶつかると衝撃波が生まれる — Burgers 方程式と (x,t) 平面
振幅 0.35、波数 1 の正弦初期値では、特性線がおよそ t*≈0.455 で交差し、弱解が多重値を一本の衝撃で切る。
クアッドツリー AMR — 格子を必要な場所だけ育てる
レベル7の一様格子は128セルだ。ガウスパルス一つなら葉は41枚、32%まで落ちる。四分木と傾き閾値τが、どこを割るかを決める。
Lax–Wendroffが段差で震えた — Flux Limiterで2次TVD移流スキームを作る
CFL 0.5・500段でLax–Wendroffのオーバーシュートは0.181。minmodとvan Leer、MCは0。
CFD線形ソルバーの選び方：JacobiからBiCGSTABまでの収束速度比較
N=60の1次元ポアソンでは、Jacobiが2000回後も残差2.11e-2、CGは60回で1.87e-13に届きます。