加热得更烫反而更凉了 — 沸腾曲线与临界热流密度

30°C 那一行的 3.692 是天花板 1.259 的 2.93 倍。把它当成核态沸腾的设计点，工作点会跳进膜态沸腾。

1934 年的东京，拔山一边升高镍铬丝的电流，一边看水里的气泡。气泡最猛的时候和丝熔断的时候之间，他什么也没看见。那段空白里，热流密度并不跟着过热度一起上升。

在 Temperature control 里推动 ΔTe 滑条，工作点沿着曲线走。换成 Heat-flux control，同一个热流密度会分出两个壁温。

Wall excess temperature ΔTe = 20 °C

Regime

Nucleate boiling

ΔTe

20 °C

q″

0.37 MW/m²

h = q″/ΔTe

18.7 kW/m²K

把热流密度推过峰顶，点就从核态沸腾那一支跳到膜态沸腾那一支。拔山那根丝熔化的位置，就是这一跳。

沸腾曲线 — 一张图里的四个区域

沸腾是发生在固体和液体边界上的蒸发。壁面热流密度写成

$q'' = h\,(T_s - T_{sat}) = h\,\Delta T_e$

$T_s$ 是壁温， $T_{sat}$ 是饱和温度（水，1 个大气压，100°C）， $\Delta T_e$ 是二者之差，也就是过热度。 $h$ 是对流换热系数。

过热度加大， $q''$ 好像会单调上升。画在双对数坐标上，四个区间依次出现。

自然对流（ $\Delta T_e \lesssim 5$ °C）：几乎没有气泡。浮力驱动的自然对流把热带走。
核态沸腾（ $5 \lesssim \Delta T_e \lesssim 30$ °C）：气泡从成核点涌出。 $q''$ 在这里最陡。
过渡沸腾（ $30 \lesssim \Delta T_e \lesssim 120$ °C）：蒸汽膜开始部分盖住壁面。 $q''$ 下降。
膜态沸腾（ $\Delta T_e \gtrsim 120$ °C）：连续的蒸汽膜盖住壁面。辐射加进来， $q''$ 再次上升。

图上那个点走的就是这四段。热流密度一旦固定，过渡段就不是稳定的工作点。点会跳到核态沸腾，或者跳到膜态沸腾。

核态沸腾 — 气泡把热量汲上来

核态沸腾之所以冷得下来，与其说是气泡本身，不如说是气泡离开的位置涌进冷液体。壁面附近的液体一直在换。

Rohsenow 把这一段的热流密度写成

q''_s = \mu_l\, h_{fg}\sqrt{\frac{g(\rho_l - \rho_v)}{\sigma}} \left(\frac{c_{p,l}\,\Delta T_e}{C_{s,f}\,h_{fg}\,Pr_l^{\,n}}\right)^3

$\mu_l$ 是液体黏度， $h_{fg}$ 是蒸发潜热， $\rho_l,\rho_v$ 是液体和蒸汽的密度， $\sigma$ 是表面张力， $c_{p,l}$ 是液体比热， $Pr_l$ 是液体 Prandtl 数。 $C_{s,f}$ 是表面和液体组合的实验常数。水-铂是 0.013。

$q''_s$ 按 $\Delta T_e$ 的三次方上升。过热度只抬一点，热流密度就跳得很大。反应堆堆芯、CPU 水冷、锅炉都盯着这道窄带。潜热靠扩散离开，是另一条路。同样的潜热靠扩散把表面晾干的时候，壁面低于饱和温度也会进行。

临界热流密度 — Zuber 预言的悬崖#

三次方维持不久。气泡太密就会彼此粘住、盖住壁面，液体再也碰不到壁。就在那之前， $q''$ 达到最大。这就是临界热流密度（CHF）。水在 1 个大气压下超过 1 MW/m²。

Zuber 从蒸汽柱发生 Kelvin–Helmholtz 失稳的条件写下 CHF。

q''_{max} \approx 0.149\, h_{fg}\, \rho_v \left[\frac{\sigma\, g\,(\rho_l - \rho_v)}{\rho_v^2}\right]^{1/4}

符号与前面相同， $\rho_v$ 是蒸汽密度。壁温和表面材料都不在这个式子里。CHF 只由流体物性决定。

热流密度受控的加热一旦越过 CHF，工作点就从核态沸腾跳到膜态沸腾。同样的热流密度要靠膜态沸腾扛住，壁温得升高几百度。金属在那之前就化了。拔山看见的那一跳就是这个。

膜态沸腾与莱顿弗罗斯特

过渡沸腾的尽头， $q''$ 再次落到最低，那一点是莱顿弗罗斯特点。再往外，连续蒸汽膜盖住壁面，液体碰不到固体。热量只能靠穿过蒸汽的导热和辐射。蒸汽的导热比液体差得远。

锅只是比较烫的时候，水滴沸腾着很快消失。锅非常烫的时候，水滴浮在自己的蒸汽膜上，留得更久。

水平圆柱上的膜态沸腾写成

\overline{Nu}_D = C\left[\frac{g(\rho_l-\rho_v)\,h'_{fg}\,D^3}{\nu_v\, k_v\,(T_s - T_{sat})}\right]^{1/4}

$D$ 是直径， $\nu_v, k_v$ 是蒸汽的运动黏度和导热系数， $C$ 是形状常数（水平圆柱 0.62，球 0.67）。 $h'_{fg} = h_{fg} + 0.8\,c_{p,v}(T_s - T_{sat})$ 是按蒸汽过热修正过的潜热。过热度出现在分母的 1/4 次上，所以壁再烫， $h$ 反而变钝。

Python — 亲手画出沸腾曲线#

用 1 个大气压下水的物性，把 Rohsenow 核态沸腾和 Zuber 的 CHF 放进同一张表。

import numpy as np
 
# 水, 1个大气压下的饱和物性
g    = 9.81       # m/s^2
rho_l = 957.9     # kg/m^3
rho_v = 0.5956
h_fg  = 2257e3    # J/kg
sigma = 0.0589    # N/m
mu_l  = 279e-6    # N.s/m^2
cp_l  = 4217.0    # J/kg.K
Pr_l  = 1.76
Csf, n = 0.013, 1.0   # 水-铂
 
def rohsenow_nucleate_flux(dTe):
    """Rohsenow 核态沸腾热流密度 q'' (W/m^2)."""
    bracket = np.sqrt(g * (rho_l - rho_v) / sigma)
    ja = cp_l * dTe / (Csf * h_fg * Pr_l**n)
    return mu_l * h_fg * bracket * ja**3
 
def zuber_critical_heat_flux():
    """Zuber 临界热流密度 (W/m^2)."""
    return 0.149 * h_fg * rho_v * (
        sigma * g * (rho_l - rho_v) / rho_v**2) ** 0.25
 
chf = zuber_critical_heat_flux()
print(f"CHF (Zuber)      = {chf/1e6:.3f} MW/m^2")
 
# 扫描核态沸腾分支, 找出达到 CHF 的过热度
for dTe in [5, 10, 20, 30, 40]:
    q = rohsenow_nucleate_flux(dTe)
    flag = "  <-- 超过 CHF (Rohsenow 失效)" if q > chf else ""
    print(f"dTe={dTe:3d} C : q''={q/1e6:6.3f} MW/m^2{flag}")

运行结果如下。

CHF (Zuber)      = 1.259 MW/m^2
dTe=  5 C : q''= 0.017 MW/m^2
dTe= 10 C : q''= 0.137 MW/m^2
dTe= 20 C : q''= 1.094 MW/m^2
dTe= 30 C : q''= 3.692 MW/m^2  <-- 超过 CHF (Rohsenow 失效)

把表面温度滑条从 90°C 推到 400°C，水滴会从贴着壁面沸腾，变到浮上蒸汽膜。分界就在这条滑条上移动。

Surface temperature Ts = 160 °C

Push Ts past ~200 °C and the droplet lifts onto its own vapor film — the Leidenfrost effect. Counterintuitively it now lives far longer than at 130 °C.

130°C 附近它冒着泡很快消失，超过 200°C 反而更烫、却留得更久。表里 30°C 那一行是已经越过 CHF 的核态沸腾尽头，这只滑条上的膜是同一条曲线的另一头。

把 10°C 那一行的 0.137 乘八，是 1.096。20°C 那一行是 1.094。乘二十七是 3.699，30°C 那一行是 3.692。过热度变成两倍、三倍时，三次方在表内是对得上的。

热流密度除以过热度就得到 $h$ 。5°C 是 3400 W/m²K，10°C 是 13700，20°C 是 54700。过热度加倍， $h$ 变成四倍。 $q''$ 按三次方走， $h$ 就按平方走。

CHF 的 1.259 与 20°C 的 1.094 之比是 1.15。它的立方根大约是 1.048， $20\times 1.048$ 落在 21°C 附近。Rohsenow 碰到 Zuber 天花板的地方不是 30°C 那一行，而是大约 21°C。30°C 的 3.692 是 1.259 的 2.93 倍。那一行是关联式离开自己适用范围之后才印出来的数。

把 5°C 那一行的 0.017 乘八，是 0.136。10°C 那一行是 0.137，相差 0.001。10 除以 5 的热流密度之比是 8.06，2 的三次方是 8。20 除以 10 是 7.99。30 除以 20 是 3.375，与 1.5 的三次方相同。温度比不是 2 的时候，三次方仍然留到印出的三位。

0.017 是 CHF 的 1.35%。0.137 是 10.9%。30°C 那一行除以过热度， $h$ 是 123067 W/m²K。54700 乘以 2.25 是 123075。2.25 是 1.5 的平方。在印出的三位上，平方对得上。这个 $h$ 是越过天花板之后，式子给出的数。

Rohsenow 在 30°C 越过 CHF，不是式子写错了。它离开了适用范围。真实曲线在 CHF 处折下来。两个式子一起用的时候，必须把 1.259 MW/m² 当成天花板压住。

无量纲数的语言 — Jakob 与 Bond#

Jakob 数是液体吸收的显热与潜热之比。

$Ja = \frac{c_{p,l}\,\Delta T_e}{h_{fg}}$

$Ja$ 小，就是潜热压过显热。水的潜热很大，沸腾里 $Ja$ 就小。Rohsenow 括号里的那一项就是这个 $Ja$ 。

Bond 数是浮力与表面张力之比。

$Bo = \frac{g(\rho_l - \rho_v)\,L^2}{\sigma}$

气泡的尺度 $L$ 从这两者的平衡里出来。直径按 $D_b \propto \sqrt{\sigma / [g(\rho_l-\rho_v)]}$ 来定。CHF 式子的四次方根里出现表面张力和密度差，原因在这里。气泡的大小和脱离频率决定热流密度的上限。

把已经离开适用范围的 30°C 一行当成设计点#

20°C 时热流密度已经是天花板的 87%，两个式子相遇的地方大约是 21°C。把 30°C 那一行的 3.692 写成核态沸腾的设计热流密度，壁面没法在核态沸腾里接下这个热流。工作点跳进膜态沸腾，扛住同一个 $q''$ 的壁温会升高几百度。

蒸汽膜盖住壁面之后，还能不能靠摩擦读出热流密度，是另一件事。只靠壁面摩擦估计热流密度的那个类比说的是液体还碰得到壁的时候。膜一旦夹在中间，这个类比还在不在，这张表并不回答。