Calentarlo más lo enfrió — La curva de ebullición y el flujo crítico de calor

En 1934, en Tokio, Nukiyama subía la corriente de un hilo de nicromo y miraba las burbujas. Entre la ebullición más violenta y el instante en que el hilo se fundió, no vio nada. En ese hueco el flujo de calor no sube con la temperatura en exceso.

En Temperature control, mover el control de ΔTe hace caminar el punto de operación por la curva. Al pasar a Heat-flux control, un mismo flujo de calor se parte en dos temperaturas de pared.

Al empujar el flujo más allá del pico, el punto salta de la rama nucleada a la rama de película. Ese salto es donde se fundió el hilo de Nukiyama.

La curva de ebullición — Cuatro regímenes en una gráfica#

La ebullición es evaporación en el límite entre sólido y líquido. El flujo de calor en la pared se escribe

$q'' = h\,(T_s - T_{sat}) = h\,\Delta T_e$

$T_s$ es la temperatura de la pared, $T_{sat}$ la de saturación (agua, 1 atm, 100°C) y $\Delta T_e$ el exceso de temperatura. $h$ es el coeficiente de convección.

Un exceso mayor parece que debería subir $q''$ de forma monótona. En ejes log-log aparecen cuatro regímenes en orden.

• Convección libre ($\Delta T_e \lesssim 5$°C): casi no hay burbujas. La convección natural por flotación lleva el calor.
• Ebullición nucleada ($5 \lesssim \Delta T_e \lesssim 30$°C): las burbujas salen de sitios de nucleación. $q''$ es más empinado aquí.
• Ebullición de transición ($30 \lesssim \Delta T_e \lesssim 120$°C): una película de vapor empieza a cubrir la pared. $q''$ baja.
• Ebullición en película ($\Delta T_e \gtrsim 120$°C): una película continua de vapor tapa la pared. Entra la radiación y $q''$ vuelve a subir.

El punto de la figura recorre esos cuatro regímenes. Con el flujo fijo, la rama de transición no es un punto de operación estable. El punto salta a la ebullición nucleada o a la de película.

Ebullición nucleada — Las burbujas bombean el calor#

La ebullición nucleada enfría bien menos por la burbuja en sí que porque líquido frío entra al sitio que la burbuja dejó. El líquido junto a la pared se renueva.

Rohsenow escribió el flujo de este régimen así.

$\mu_l$ es la viscosidad del líquido, $h_{fg}$ el calor latente, $\rho_l,\rho_v$ las densidades de líquido y vapor, $\sigma$ la tensión superficial, $c_{p,l}$ el calor específico del líquido y $Pr_l$ el número de Prandtl del líquido. $C_{s,f}$ es una constante experimental del par superficie-líquido. Agua sobre platino vale 0.013.

$q''_s$ sube con el cubo de $\Delta T_e$. Un aumento pequeño del exceso mueve mucho flujo. Núcleos de reactor, placas frías de CPU y calderas apuntan a esta banda estrecha. El calor latente que sale por difusión es otro camino. El mismo calor latente secando una superficie por difusión sigue aun cuando la pared está bajo la saturación.

Flujo crítico de calor — El acantilado que predijo Zuber#

El cubo no dura. Si las burbujas se aprietan, se funden en una manta. El líquido ya no alcanza la pared. Justo antes, $q''$ llega al máximo. Ese máximo es el flujo crítico de calor (CHF). El agua a 1 atm supera 1 MW/m².

Zuber escribió el CHF a partir de la ruptura Kelvin–Helmholtz de las columnas de vapor.

Los símbolos coinciden con la relación anterior, y $\rho_v$ es la densidad del vapor. La temperatura de la pared y el material de la superficie no están. El CHF queda fijado solo por las propiedades del fluido.

En una superficie con flujo de calor controlado, cruzar el CHF lanza el punto de operación de la ebullición nucleada a la de película. Sostener el mismo flujo en película exige una pared cientos de grados más caliente. El metal se funde antes. Ese es el salto que vio Nukiyama.

Ebullición en película y Leidenfrost#

Al final de la transición, $q''$ vuelve a un mínimo. Ese punto es el de Leidenfrost. Más allá, una película continua de vapor cubre la pared y el líquido no toca el sólido. El calor cruza el vapor solo por conducción y radiación. El vapor conduce mucho peor que el líquido.

En una sartén moderadamente caliente la gota hierve y desaparece. En una muy caliente se queda sobre su propia película de vapor y dura más.

La ebullición en película sobre un cilindro horizontal tiene esta forma.

$D$ es el diámetro, $\nu_v, k_v$ la viscosidad cinemática y la conductividad del vapor, y $C$ una constante de forma (0.62 para un cilindro horizontal, 0.67 para una esfera). $h'_{fg} = h_{fg} + 0.8\,c_{p,v}(T_s - T_{sat})$ es el calor latente corregido por el sobrecalentamiento del vapor. El exceso de temperatura está a la potencia un cuarto en el denominador, así que una pared más caliente vuelve $h$ más flojo, no más agudo.

Python — Dibujar la curva de ebullición#

La ebullición nucleada de Rohsenow y el CHF de Zuber entran en una tabla, con propiedades del agua a 1 atm.

import numpy as np
 
# Agua, propiedades de saturacion a 1 atm
g    = 9.81       # m/s^2
rho_l = 957.9     # kg/m^3
rho_v = 0.5956
h_fg  = 2257e3    # J/kg
sigma = 0.0589    # N/m
mu_l  = 279e-6    # N.s/m^2
cp_l  = 4217.0    # J/kg.K
Pr_l  = 1.76
Csf, n = 0.013, 1.0   # agua-platino
 
def rohsenow_nucleate_flux(dTe):
    """Flujo de ebullicion nucleada de Rohsenow q'' (W/m^2)."""
    bracket = np.sqrt(g * (rho_l - rho_v) / sigma)
    ja = cp_l * dTe / (Csf * h_fg * Pr_l**n)
    return mu_l * h_fg * bracket * ja**3
 
def zuber_critical_heat_flux():
    """Flujo critico de calor de Zuber (W/m^2)."""
    return 0.149 * h_fg * rho_v * (
        sigma * g * (rho_l - rho_v) / rho_v**2) ** 0.25
 
chf = zuber_critical_heat_flux()
print(f"CHF (Zuber)      = {chf/1e6:.3f} MW/m^2")
 
# Recorrer la rama nucleada y hallar el sobrecalentamiento que alcanza el CHF
for dTe in [5, 10, 20, 30, 40]:
    q = rohsenow_nucleate_flux(dTe)
    flag = "  <-- supera el CHF (Rohsenow no valido)" if q > chf else ""
    print(f"dTe={dTe:3d} C : q''={q/1e6:6.3f} MW/m^2{flag}")

La corrida imprime esto.

CHF (Zuber)      = 1.259 MW/m^2
dTe=  5 C : q''= 0.017 MW/m^2
dTe= 10 C : q''= 0.137 MW/m^2
dTe= 20 C : q''= 1.094 MW/m^2
dTe= 30 C : q''= 3.692 MW/m^2  <-- supera el CHF (Rohsenow no valido)

Al mover el control de temperatura superficial de 90°C a 400°C, la gota pasa de hervir sobre la pared a flotar sobre una película de vapor.

Cerca de 130°C suelta burbujas y desaparece rápido. Pasados 200°C está más caliente y aun así dura más. La fila de 30°C de la tabla es el extremo nucleado que ya pasó el CHF. La película de este control es el otro lado de la misma curva.

Ocho veces la fila de 10°C, 0.137, da 1.096. La fila de 20°C es 1.094. Veintisiete veces da 3.699, y la fila de 30°C es 3.692. Duplicar y triplicar el exceso cae en el cubo, dentro de la tabla impresa.

Dividir el flujo por el exceso da $h$: 3400 W/m²K a 5°C, 13700 a 10°C, 54700 a 20°C. Si el exceso se duplica, $h$ se cuadruplica. Si $q''$ va con el cubo, $h$ va con el cuadrado.

El cociente entre el CHF 1.259 y el flujo a 20°C, 1.094, es 1.15. Su raíz cúbica ronda 1.048, y $20\times 1.048$ queda cerca de 21°C. Rohsenow encuentra el techo de Zuber cerca de 21°C, no en la fila de 30°C. El valor 3.692 a 30°C es 2.93 veces 1.259. Esa fila es un número impreso después de que la correlación salió de su rango.

Ocho veces la fila de 5°C da 0.136, frente al 0.137 impreso. Dividir 3.692 entre 30 da 123067 W/m²K. Multiplicar 54700 por 2.25 da 123075. El cuadrado sigue en pie en los dígitos impresos, sobre una fila que ya salió del techo.

Que Rohsenow cruce el CHF a 30°C no significa que el álgebra esté mal. Salió de su rango. La curva real se dobla hacia abajo en el CHF. Usadas juntas, las dos relaciones tienen que imponer 1.259 MW/m² como techo.

El lenguaje de los números adimensionales — Jakob y Bond#

El número de Jakob es el calor sensible que toma el líquido, dividido por el calor latente.

$Ja = \frac{c_{p,l}\,\Delta T_e}{h_{fg}}$

Un $Ja$ pequeño significa que el calor latente domina al sensible. El calor latente del agua es grande, así que $Ja$ se queda pequeño en la ebullición. El término dentro de los paréntesis de Rohsenow es este $Ja$.

El número de Bond es la flotación dividida por la tensión superficial.

$Bo = \frac{g(\rho_l - \rho_v)\,L^2}{\sigma}$

La longitud $L$ de una burbuja sale de ese balance. El diámetro escala como $D_b \propto \sqrt{\sigma / [g(\rho_l-\rho_v)]}$. Por eso la tensión superficial y la diferencia de densidades están dentro de la raíz cuarta de la relación del CHF. El tamaño de la burbuja y la frecuencia de desprendimiento fijan el techo del flujo.

Diseñar sobre la fila de 30°C que ya salió de la correlación#

A 20°C el flujo ya es el 87% del techo, y las dos relaciones se encuentran cerca de 21°C. Anotar 3.692 de la fila de 30°C como flujo de diseño nucleado hace que la pared no pueda aceptar ese flujo en ebullición nucleada. El punto de operación salta a película, y la temperatura de pared que sostiene el mismo $q''$ sube cientos de grados.

Si una película de vapor todavía deja que la fricción prediga el flujo de calor es otra pregunta. La analogía que lee el flujo de calor solo a partir de la fricción de pared pertenece a una pared que el líquido todavía toca. Con una película de por medio, esta tabla no dice si esa analogía sigue en pie.