더 뜨겁게 달궜더니 오히려 식었다 — 비등 곡선과 임계 열유속

30°C 행의 3.692는 천장 1.259의 2.93배다. 핵비등 설계점으로 쓰면 작동점은 막비등으로 튄다.

1934년 도쿄에서 누키야마는 니크롬선에 전류를 올리며 물속 거품을 보고 있었다. 거품이 가장 거셀 때와 선이 녹아 끊기는 때 사이에, 그는 아무것도 보지 못했다. 그 빈칸에서 열유속은 과열도와 같이 오르지 않는다.

Temperature control에서 ΔTe 슬라이더를 밀면 작동점이 곡선을 따라 걷고, Heat-flux control로 바꾸면 같은 열유속에 벽온도가 두 갈래로 갈린다.

Wall excess temperature ΔTe = 20 °C

Regime

Nucleate boiling

ΔTe

20 °C

q″

0.37 MW/m²

h = q″/ΔTe

18.7 kW/m²K

열유속을 봉우리 위로 밀면 점이 핵비등 가지에서 막비등 가지로 건너뛴다. 누키야마의 선이 녹은 자리가 그 점프다.

비등 곡선 — 한 장의 그래프에 담긴 네 영역#

비등은 고체와 액체의 경계에서 일어나는 증발이다. 벽 열유속은 이렇게 쓴다.

$q'' = h\,(T_s - T_{sat}) = h\,\Delta T_e$

$T_s$ 는 벽 온도, $T_{sat}$ 는 포화 온도(물, 1기압, 100°C), $\Delta T_e$ 는 그 차이인 과열도다. $h$ 는 대류 열전달 계수다.

과열도를 키우면 $q''$ 도 단조로 오를 것 같다. 로그-로그로 그리면 네 구간이 차례로 나온다.

자유 대류( $\Delta T_e \lesssim 5$ °C): 거품이 거의 없다. 부력이 만든 자연 대류가 열을 옮긴다.
핵 비등( $5 \lesssim \Delta T_e \lesssim 30$ °C): 거품이 핵생성점에서 솟는다. $q''$ 가 가장 가파르다.
천이 비등( $30 \lesssim \Delta T_e \lesssim 120$ °C): 증기막이 벽을 부분적으로 덮기 시작한다. $q''$ 가 떨어진다.
막비등( $\Delta T_e \gtrsim 120$ °C): 연속된 증기막이 벽을 덮는다. 복사가 더해지며 $q''$ 가 다시 오른다.

앞의 점이 걷는 곡선이 이 네 구간이다. 열유속을 고정하면 천이 구간은 안정한 작동점이 되지 못하고, 점이 핵비등과 막비등 중 하나로 튄다.

핵 비등 — 거품이 열을 퍼올린다#

핵비등이 잘 식히는 이유는 거품 자체보다, 거품이 떠난 자리로 찬 액체가 들어오는 교반이다. 벽 근처 액체가 계속 갈린다.

Rohsenow는 이 구간의 열유속을 이렇게 적었다.

q''_s = \mu_l\, h_{fg}\sqrt{\frac{g(\rho_l - \rho_v)}{\sigma}} \left(\frac{c_{p,l}\,\Delta T_e}{C_{s,f}\,h_{fg}\,Pr_l^{\,n}}\right)^3

$\mu_l$ 은 액체 점성, $h_{fg}$ 는 증발 잠열, $\rho_l,\rho_v$ 는 액체·증기 밀도, $\sigma$ 는 표면장력, $c_{p,l}$ 은 액체 비열, $Pr_l$ 은 액체 Prandtl 수다. $C_{s,f}$ 는 표면-액체 조합의 실험 상수다. 물-백금은 0.013이다.

$q''_s$ 는 $\Delta T_e$ 의 세제곱으로 오른다. 과열도를 조금 올려도 열유속이 크게 뛴다. 원자로 노심, CPU 수랭, 보일러가 이 좁은 폭을 노린다. 잠열이 확산을 통해 빠지는 쪽은 비등과 다른 길이다. 같은 잠열이 확산으로 마르는 경우는 벽이 포화 온도 아래에 있어도 진행된다.

임계 열유속 — Zuber가 예측한 절벽#

세제곱은 오래가지 않는다. 거품이 너무 빽빽하면 서로 붙어 벽을 덮고, 액체가 벽에 닿을 길이 막힌다. 그 직전 $q''$ 가 최대다. 이것이 임계 열유속(CHF)이다. 물은 1기압에서 1 MW/m²를 넘는다.

Zuber는 증기 기둥이 Kelvin–Helmholtz로 불안정해지는 조건에서 CHF를 적었다.

q''_{max} \approx 0.149\, h_{fg}\, \rho_v \left[\frac{\sigma\, g\,(\rho_l - \rho_v)}{\rho_v^2}\right]^{1/4}

기호는 앞과 같고 $\rho_v$ 는 증기 밀도다. 벽 온도도, 표면 재질도 이 식에 없다. CHF는 유체 물성만으로 정해진다.

열유속을 제어하는 가열에서 CHF를 넘으면 작동점이 핵비등에서 막비등으로 튄다. 같은 열유속을 막비등으로 버티려면 벽 온도가 수백 도 올라야 한다. 금속은 그 전에 녹는다. 누키야마가 본 점프가 이것이다.

막비등과 라이덴프로스트#

천이 비등의 끝에서 $q''$ 가 다시 최소가 되는 점이 라이덴프로스트 점이다. 그 너머에는 연속된 증기막이 벽을 덮고, 액체는 벽에 닿지 못한다. 열은 증기를 가로지르는 전도와 복사로만 간다. 증기의 열전도도는 액체보다 한참 낮다.

적당히 뜨거운 팬에서는 물방울이 끓으며 금방 사라진다. 아주 뜨거운 팬에서는 물방울이 제 증기막 위에 떠 더 오래 버틴다.

수평 실린더의 막비등 열전달은 이런 형태다.

\overline{Nu}_D = C\left[\frac{g(\rho_l-\rho_v)\,h'_{fg}\,D^3}{\nu_v\, k_v\,(T_s - T_{sat})}\right]^{1/4}

$D$ 는 지름, $\nu_v, k_v$ 는 증기의 동점성과 열전도도, $C$ 는 형상 상수(수평 실린더 0.62, 구 0.67)다. $h'_{fg} = h_{fg} + 0.8\,c_{p,v}(T_s - T_{sat})$ 는 증기 과열을 보정한 잠열이다. 과열도가 분모의 1/4에 있으므로, 벽을 더 뜨겁게 해도 $h$ 는 오히려 둔해진다.

Python — 비등 곡선을 직접 그리다#

물 1기압 물성으로 Rohsenow 핵비등과 Zuber CHF를 같은 표에 올린다.

import numpy as np
 
# 물, 1기압 포화 물성
g    = 9.81       # m/s^2
rho_l = 957.9     # kg/m^3
rho_v = 0.5956
h_fg  = 2257e3    # J/kg
sigma = 0.0589    # N/m
mu_l  = 279e-6    # N.s/m^2
cp_l  = 4217.0    # J/kg.K
Pr_l  = 1.76
Csf, n = 0.013, 1.0   # 물-백금
 
def rohsenow_nucleate_flux(dTe):
    """Rohsenow 핵 비등 열유속 q'' (W/m^2)."""
    bracket = np.sqrt(g * (rho_l - rho_v) / sigma)
    ja = cp_l * dTe / (Csf * h_fg * Pr_l**n)
    return mu_l * h_fg * bracket * ja**3
 
def zuber_critical_heat_flux():
    """Zuber 임계 열유속 (W/m^2)."""
    return 0.149 * h_fg * rho_v * (
        sigma * g * (rho_l - rho_v) / rho_v**2) ** 0.25
 
chf = zuber_critical_heat_flux()
print(f"CHF (Zuber)      = {chf/1e6:.3f} MW/m^2")
 
# 핵 비등 곡선을 스캔하며 CHF에 도달하는 과열도를 찾는다
for dTe in [5, 10, 20, 30, 40]:
    q = rohsenow_nucleate_flux(dTe)
    flag = "  <-- CHF 초과 (Rohsenow 무효)" if q > chf else ""
    print(f"dTe={dTe:3d} C : q''={q/1e6:6.3f} MW/m^2{flag}")

실행 결과는 다음과 같다.

CHF (Zuber)      = 1.259 MW/m^2
dTe=  5 C : q''= 0.017 MW/m^2
dTe= 10 C : q''= 0.137 MW/m^2
dTe= 20 C : q''= 1.094 MW/m^2
dTe= 30 C : q''= 3.692 MW/m^2  <-- CHF 초과 (Rohsenow 무효)

표면 온도 슬라이더를 90°C에서 400°C로 밀면, 물방울이 벽에 붙어 끓다 증기막 위로 뜨는 경계가 이동한다.

Surface temperature Ts = 160 °C

Push Ts past ~200 °C and the droplet lifts onto its own vapor film — the Leidenfrost effect. Counterintuitively it now lives far longer than at 130 °C.

130°C 근처에서는 거품을 뿜으며 빨리 사라지고, 200°C를 넘기면 더 뜨거운데도 더 오래 남는다. 표의 30°C 행이 CHF를 이미 넘긴 핵비등 끝이고, 이 슬라이더의 막은 같은 곡선의 반대편이다.

10°C 행의 0.137을 여덟 배 하면 1.096이다. 20°C 행은 1.094다. 스물일곱 배면 3.699이고, 30°C 행은 3.692다. 과열도를 두 배, 세 배 할 때의 세제곱이 표 안에서 맞다.

열유속을 과열도로 나누면 $h$ 가 나온다. 5°C에서 3400 W/m²K, 10°C에서 13700, 20°C에서 54700이다. 과열도가 두 배가 되면 $h$ 는 네 배가 된다. $q''$ 가 세제곱이면 $h$ 는 제곱이다.

CHF 1.259와 20°C의 1.094의 비는 1.15다. 그 세제곱근은 약 1.048이고, $20\times 1.048$ 은 21°C 근처다. Rohsenow가 Zuber 천장에 닿는 자리는 30°C 행이 아니라 약 21°C다. 30°C의 3.692는 1.259의 2.93배다. 그 행은 식이 자기 범위를 떠난 뒤에 찍힌 숫자다.

5°C 행의 0.017을 여덟 배 하면 0.136이다. 10°C 행은 0.137이라 차이는 0.001이다. 10을 5로 나눈 열유속 비는 8.06이고, 2의 세제곱은 8이다. 20을 10으로 나누면 7.99다. 30을 20으로 나누면 3.375이고, 1.5의 세제곱과 같다. 온도 비가 2가 아니어도 세제곱은 인쇄된 세 자리까지 남는다.

0.017은 CHF의 1.35%다. 0.137은 10.9%다. 30°C 행을 과열도로 나누면 $h$ 는 123067 W/m²K다. 54700에 2.25를 곱하면 123075다. 2.25는 1.5의 제곱이다. 인쇄된 세 자리에서 제곱이 맞다. 그 $h$ 는 천장을 넘긴 식의 숫자다.

Rohsenow가 30°C에서 CHF를 넘는 것은 식이 틀려서가 아니다. 적용 범위를 벗어났다. 실제 곡선은 CHF에서 꺾여 내려간다. 두 식을 같이 쓸 때는 1.259 MW/m²를 천장으로 강제해야 한다.

무차원수의 언어 — Jakob와 Bond#

Jakob 수는 액체가 먹는 현열과 잠열의 비다.

$Ja = \frac{c_{p,l}\,\Delta T_e}{h_{fg}}$

$Ja$ 가 작으면 잠열이 현열을 압도한다. 물은 잠열이 커서 비등에서 $Ja$ 가 작다. Rohsenow 괄호 안의 항이 이 $Ja$ 다.

Bond 수는 부력과 표면장력의 비다.

$Bo = \frac{g(\rho_l - \rho_v)\,L^2}{\sigma}$

거품의 크기 $L$ 은 이 둘의 균형에서 나온다. 지름은 $D_b \propto \sqrt{\sigma / [g(\rho_l-\rho_v)]}$ 로 잡힌다. CHF 식의 네제곱근 안에 표면장력과 밀도차가 들어간 이유다. 거품의 크기와 이탈 빈도가 열유속의 상한을 정한다.

30°C 행을 설계점으로 쓴 실패#

20°C에서 이미 천장의 87%이고, 식들이 만나는 곳은 약 21°C다. 30°C 행의 3.692를 핵비등의 설계 열유속으로 적으면, 벽은 그 열유속을 핵비등으로 받지 못한다. 작동점은 막비등으로 튀고, 같은 $q''$ 를 버티는 벽 온도가 수백 도 올라간다.

증기막이 벽을 덮은 뒤에도 마찰로 열유속을 읽을 수 있는지는 별개의 질문이다. 벽 마찰만으로 열유속을 추정하는 상사는 액체가 벽에 닿아 있을 때의 이야기다. 막이 끼면 그 상사가 남는지, 이 표는 말하지 않는다.