연기를 1 m 내려보냈더니 드래프트가 7 Pa 사라졌다 — 프랭클린 난로와 부력 예산

1741년, 연기를 일부러 아래로 내려보낸 난로#

벤저민 프랭클린은 1741년에 벽난로를 다시 설계했다. 목적은 단순했다. 굴뚝으로 그냥 빠져나가는 열기를 방 안에서 한 번 더 붙잡는 것이다. 당시 유럽은 인구가 급증하며 땔감이 모자랐고, 난방 효율은 생존 문제에 가까웠다.

그가 쓴 방법은 유로를 접는 것이었다. 불에서 올라온 연기를 배플(baffle, 유로를 가로막아 흐름을 꺾는 판) 위로 넘긴 뒤, 주철 벽을 따라 아래로 내려보내고, 그다음에 굴뚝으로 올린다. 내려오는 동안 주철이 데워지고 그 열이 방으로 복사된다. 당대 기록은 이를 "사이펀 현상"이라 불렀다.

굴뚝 꼭대기 높이는 그대로다. 연기가 최종적으로 얻는 고도차도 그대로다. 그런데 이 난로는 연기가 방으로 새어 나오기로 악명이 높았다. 이 글은 그 손해가 정확히 어디서 얼마나 발생하는지를 부력 장부로 적어 본다. 답은 한 줄이다 — 부력은 높이가 아니라 뜨거울 때의 높이로만 벌 수 있다.

down-leg을 0에서 1 m 쪽으로 밀면 굴뚝 꼭대기는 7 m에 고정된 채 순 드래프트만 줄어든다.

오른쪽 장부의 빨간 막대가 자라는지 본다. fire temp를 내리면 아궁이 게이지가 주황색 역류선을 넘는데, 하강이 깊을수록 그 순간이 앞당겨진다.

드래프트는 밀도차에 높이를 곱한 값이다#

굴뚝이 연기를 끌어올리는 힘을 드래프트(draft)라 부른다. 이것은 펌프가 아니라 정수압 차이다. 바깥 공기 기둥과 안쪽 연기 기둥의 무게가 다르기 때문에 생긴다.

높이 $H$의 연도(flue)에 대해 드래프트는 이렇게 적힌다.

$\rho_\infty$는 바깥 공기 밀도, $\rho(z)$는 높이 $z$에서의 연기 밀도, $g$는 중력가속도다. 연도 안팎의 절대압은 거의 같으므로 이상기체에서 $\rho = p_0 / (R T)$가 성립하고, 연기 온도가 $T_g$로 균일하다면 적분이 곧바로 풀린다.

10 °C의 바깥 공기($\rho_\infty = 1.247$ kg/m³), 연기 온도 500 K, 굴뚝 높이 7 m를 넣으면 37 Pa가 나온다. 실제 벽난로 드래프트가 10~30 Pa 수준이니 크기는 맞다.

여기서 중요한 것은 $\mathrm{d}z$가 적분 안에 있다는 점이다. 부력은 총 높이에 한 번 곱해지는 값이 아니라, 1 m마다 그때의 밀도로 사서 쌓는 값이다. 프랭클린이 지불한 값이 여기에 있다.

부력은 뜨거울 때의 높이로만 벌 수 있다#

경로를 세 구간으로 자르자. 배플까지 상승($+0.8$ m), 하강 유로($-h_d$), 굴뚝($+6.2 + h_d$ m). 세 구간의 고도 변화를 더하면 $h_d$와 무관하게 항상 7 m다. 그런데 각 구간의 부력 기여는 그 구간을 지날 때의 연기 밀도로 계산된다.

연기는 벽으로 열을 잃으며 식는다. 경로 좌표 $s$를 따라가면 1차 ODE 하나가 된다.

$U$는 총괄 열전달계수, $P$는 연도 둘레, $\dot{m}$은 질량유량, $c_p$는 정압비열이다. 해는 지수 감쇠이고, 감쇠 길이가 $\dot{m} c_p / (U P)$라는 사실이 뒤에서 중요해진다.

이제 손해가 보인다. 하강 유로는 경로에서 두 번째로 뜨거운 구간이다. 밀도가 가장 낮으니 $(\rho_\infty - \rho)$가 가장 크고, 그것에 음의 $\mathrm{d}z$가 곱해진다. 반대로 그 1 m를 되찾는 굴뚝 구간의 연기는 이미 주철 벽에 열을 내주고 식은 상태다. 비싸게 팔고 싸게 사는 것이 아니라, 비싸게 사고 싸게 파는 셈이다.

게다가 프랭클린 난로에서 하강 유로는 방 안에 있다. 즉 열을 가장 열심히 뺏기는 구간이기도 하다. 난방 효율을 위해 설계한 바로 그 특성이 굴뚝이 쓸 부력 예산을 먼저 소비한다.

루프 하나로 닫는 운동량 균형#

유량 $\dot{m}$은 부력이 손실과 같아지는 곳에서 정해진다. 연도를 한 바퀴 도는 운동량 균형이다.

왼쪽이 부력 수두, 오른쪽이 마찰 손실과 부차 손실(굽힘·출구)이다. $f$는 Darcy 마찰계수, $D$는 연도 직경, $A$는 단면적, $K$는 부차 손실계수, $\rho_e$는 출구 밀도다. 관 마찰 항의 형태는 Darcy 마찰의 표준형이다. 밀도차로 흐름이 생기는 쪽은 정지한 유체가 데워지며 스스로 구르는 자연대류와 같은 부력이다.

이 식은 겉보기와 달리 선형이 아니다. $\dot{m}$이 커지면 오른쪽은 $\dot{m}^2$으로 커지지만, 왼쪽도 함께 커진다. 유량이 많을수록 냉각 시간이 짧아져 연기가 뜨거운 채로 굴뚝을 지나기 때문이다. 이 되먹임 때문에 잔차 $\Delta p - \Delta p_{\text{loss}}$는 $\dot{m}$에 대해 위로 볼록한 곡선이 되고, 근이 둘 생긴다. 아래쪽 근은 불안정하고, 실제 운전점은 위쪽 근이다.

Python으로 적어본 부력 장부#

경로를 잘게 잘라 온도를 행진시키고, 구간별 부력 수두를 따로 모은 뒤, 위쪽 근을 이분법으로 찾는다. 하강 높이를 0에서 1.2 m까지 쓸어 본다.

import math
 
G, R_AIR, CP = 9.81, 287.0, 1100.0
T_AMB, P_ATM = 283.0, 101325.0
D_FLUE = 0.15
A_FLUE = math.pi * D_FLUE ** 2 / 4.0
PERIM = math.pi * D_FLUE
F_DARCY, K_MINOR = 0.030, 3.0
U_ROOM, U_STACK = 40.0, 5.0        # 실내 주철 채널 / 굴뚝 조적 [W/m2K]
Z_TOP, Z_BAFFLE = 7.0, 0.80        # 굴뚝 출구 / 배플 상단 [m]
A_MOUTH, V_SPILL = 0.12, 0.25      # 아궁이 개구 면적 [m2] / 역류 한계 면속도 [m/s]
 
 
def gas_density(T):
    return P_ATM / (R_AIR * T)
 
 
def march_flue(mdot, h_down, T_fire, n=120):
    # 상승 / 하강 / 굴뚝 세 구간을 따라가며 구간별 부력 수두와 총 손실을 모은다
    legs = [(Z_BAFFLE, +1.0, U_ROOM),
            (h_down, -1.0, U_ROOM),
            (Z_TOP - Z_BAFFLE + h_down, +1.0, U_STACK)]
    T, loss, heads = T_fire, 0.0, []
    rho_a = gas_density(T_AMB)
    for L, sgn, U in legs:
        head = 0.0
        if L > 0.0:
            ds = L / n
            for _ in range(n):
                T_new = T_AMB + (T - T_AMB) * math.exp(-U * PERIM * ds / (mdot * CP))
                rho = gas_density(0.5 * (T + T_new))
                head += (rho_a - rho) * G * sgn * ds
                loss += F_DARCY / D_FLUE * 0.5 * mdot ** 2 / (rho * A_FLUE ** 2) * ds
                T = T_new
        heads.append(head)
    loss += K_MINOR * 0.5 * mdot ** 2 / (gas_density(T) * A_FLUE ** 2)
    return heads, loss, T
 
 
def solve_mdot(h_down, T_fire, lo=1e-3, hi=0.4, n=100):
    # 부력 = 손실의 위쪽(안정) 근. 해가 없으면 0.0
    grid = [lo * (hi / lo) ** (i / (n - 1.0)) for i in range(n)]
    res = []
    for m in grid:
        heads, loss, _ = march_flue(m, h_down, T_fire)
        res.append(sum(heads) - loss)
    k = max(range(n), key=lambda i: res[i])
    if res[k] <= 0.0:
        return 0.0
    a, b = grid[k], grid[-1]
    for _ in range(40):
        m = 0.5 * (a + b)
        heads, loss, _ = march_flue(m, h_down, T_fire)
        a, b = (m, b) if sum(heads) - loss > 0.0 else (a, m)
    return 0.5 * (a + b)
 
 
print("h_down[m]  mdot[kg/s]  V_exit[m/s]  draft[Pa]  T_exit[K]")
for i in range(0, 7):
    h = 0.2 * i
    m = solve_mdot(h, 700.0)
    heads, loss, T_e = march_flue(m, h, 700.0)
    print(f"  {h:4.2f}     {m:8.4f}     {m / (gas_density(T_e) * A_FLUE):6.2f}"
          f"     {sum(heads):7.2f}    {T_e:7.1f}")
 
for h in (0.0, 1.0):
    m = solve_mdot(h, 700.0)
    heads, loss, T_e = march_flue(m, h, 700.0)
    print(f"\nbuoyancy ledger  h_down = {h:.1f} m, mdot = {m:.4f} kg/s")
    for name, val in zip(["rise to baffle", "descent      ", "chimney      "], heads):
        print(f"  {name}  {val:+7.2f} Pa")
    print(f"  net             {sum(heads):+7.2f} Pa   (loss {loss:.2f} Pa)")
 
mdot_spill = gas_density(T_AMB) * A_MOUTH * V_SPILL
print(f"\nspillage threshold: mdot < {mdot_spill:.4f} kg/s")
for h in (0.0, 1.0):
    lo, hi = 290.0, 700.0
    for _ in range(30):
        mid = 0.5 * (lo + hi)
        lo, hi = (mid, hi) if solve_mdot(h, mid) < mdot_spill else (lo, mid)
    print(f"  h_down = {h:.1f} m -> spills below T_fire = {0.5 * (lo + hi):6.1f} K")

h_down[m]  mdot[kg/s]  V_exit[m/s]  draft[Pa]  T_exit[K]
  0.00       0.0629       5.59       44.72      554.5
  0.20       0.0623       5.37       43.48      537.2
  0.40       0.0617       5.15       42.16      520.6
  0.60       0.0610       4.93       40.76      504.6
  0.80       0.0602       4.72       39.29      489.2
  1.00       0.0593       4.51       37.72      474.2
  1.20       0.0583       4.30       36.05      459.6
 
buoyancy ledger  h_down = 0.0 m, mdot = 0.0629 kg/s
  rise to baffle    +5.57 Pa
  descent          +0.00 Pa
  chimney         +39.15 Pa
  net              +44.72 Pa   (loss 44.72 Pa)
 
buoyancy ledger  h_down = 1.0 m, mdot = 0.0593 kg/s
  rise to baffle    +5.56 Pa
  descent          -6.16 Pa
  chimney         +38.32 Pa
  net              +37.72 Pa   (loss 37.72 Pa)
 
spillage threshold: mdot < 0.0374 kg/s
  h_down = 0.0 m -> spills below T_fire =  335.2 K
  h_down = 1.0 m -> spills below T_fire =  377.0 K

장부를 두 줄만 비교하면 된다. 하강 유로 1 m는 직접 $-6.16$ Pa를 가져간다. 그리고 굴뚝은 1 m 더 길어졌는데도 기여가 $+39.15$에서 $+38.32$ Pa로 줄었다. 늘어난 1 m를 통과하는 연기가 이미 더 식었기 때문이다. 두 손해를 합치면 6.99 Pa, 순 드래프트 감소분 7.00 Pa와 정확히 맞는다.

장부의 뺄셈을 칸마다 적어 두면 7.00이 어디서 왔는지 남는다. 하강 1 m의 부력은 $-6.16$ Pa다. 굴뚝 기여는 $+39.15$에서 $+38.32$로 $0.83$ Pa 줄었다. $6.16+0.83=6.99$이고, 순 드래프트는 $44.72-37.72=7.00$이다. 0.01 Pa 차이는 표시 자리다. 배플 상승은 $+5.57$에서 $+5.56$으로 거의 그대로다. 손해의 대부분은 하강 칸이고, 나머지는 더 길어진 굴뚝이 오히려 덜 버는 쪽이다.

유량도 같이 움직인다. $h_d=0$에서 0.0629 kg/s, 출구 속도 5.59 m/s, 출구 온도 554.5 K다. $h_d=1.0$ m이면 0.0593 kg/s, 4.51 m/s, 474.2 K다. 온도는 80.3 K 떨어지고, 유량은 0.0036 kg/s 준다. 0.2 m마다의 표를 보면 드래프트가 44.72, 43.48, 42.16, 40.76, 39.29, 37.72, 36.05로 거의 1.2에서 1.7 Pa씩 줄어든다. 간격이 조금씩 벌어지는 것은 하강이 깊어질수록 방 안 주철($U=40$)에서 더 오래 식기 때문이다. 굴뚝 조적의 $U=5$와 8배 차이다.

역류 문턱 0.0374 kg/s는 $\rho_\infty \times 0.12 \times 0.25$다. 10 °C에서 $\rho_\infty=1.247$이면 $1.247\times 0.12=0.14964$, 여기에 0.25를 곱하면 0.03741이다. 출력의 0.0374와 같다. 이 유량 아래로 떨어지는 불 온도가 335.2 K에서 377.0 K로 올라간다. 차이는 41.8 K, 본문에서 42 K로 부른 여유다. 활활 타는 700 K에서는 둘 다 문턱 위에 있다. 꺼져 가는 구간에서만 1 m 하강이 먼저 방을 연기로 채운다.

아궁이가 먼저 항복한다 — 42 K가 사라졌다#

드래프트가 44.7에서 37.7 Pa로 준다고 해서 곧바로 연기가 방으로 나오지는 않는다. 실제 한계는 아궁이 개구에서 온다. 불구멍을 지나는 면속도가 대략 0.25 m/s 아래로 떨어지면 뜨거운 연기가 개구 위쪽으로 새어 나오기 시작한다. 이 기준을 유량으로 바꾸면 0.0374 kg/s다.

출력의 마지막 두 줄이 그 문턱을 온도로 환산한 것이다. 하강 유로가 없으면 연기 온도가 335 K 아래로 떨어질 때까지 버틴다. 하강 유로가 1 m 있으면 377 K에서 이미 항복한다. 42 K의 여유가 사라진 것이다.

불이 활활 타는 동안에는 둘 다 잘 뽑힌다. 문제는 불을 붙이는 순간과 잦아드는 순간이다. 프랭클린 난로가 "연기 나는 난로"로 기억된 이유가 여기 있다. 결국 1780년대에 데이비드 리튼하우스가 하강 유로를 걷어내고 연도를 곧장 굴뚝으로 올리는 L자 구조로 고쳤고, 그 형태가 이후 표준이 되었다.

중립면 — 방 하나에서 같은 계산이 반복된다#

같은 정수압 논리는 굴뚝이 없는 방에서도 그대로 작동한다. 안팎의 밀도가 다르면 두 정수압 직선의 기울기가 달라지고, 두 직선은 정확히 한 높이에서 만난다. 그 높이가 중립면(neutral plane) $z_n$이다.

개구가 위아래로 두 개 있고 각각 면적이 $A_1, A_2$, 높이가 $z_1, z_2$라면, 두 개구의 질량유량이 같다는 조건에서 $z_n$이 닫힌 형태로 나온다.

중립면 아래에서는 바깥 공기가 들어오고 위에서는 실내 공기가 나간다. 아래 그림에서 개구 높이와 면적비, 실내 온도를 바꿔보자.

위쪽 개구를 키우면 중립면이 그쪽으로 끌려간다. 큰 구멍은 작은 압력차로도 같은 유량을 통과시키기 때문이다. 그리고 실내 온도를 283 K 아래로 내리면 파란 직선이 반대로 기울고 두 화살표가 모두 뒤집힌다.

개구에 0 Pa를 얹으면 중립면이 그 면에 붙는다#

CFD로 옮길 때 압력 경계의 기준 높이를 놓치면, 개구에 totalPressure = 0을 얹는 순간 중립면이 그 면에 고정된다. 바깥 기둥의 정수압 기울기는 $\rho_\infty g z$를 뺀 동수압으로 둬야 남는다. 빼지 않으면 해는 수렴하는데 유량이 몇 배 틀린다. 위 계산의 온도차는 200 K를 넘고 밀도 변화는 50%를 넘는다. $\rho \approx \rho_0 (1 - \beta \Delta T)$로 누르면 부력 자체가 다른 값이 된다. 굴뚝은 저마하 압축성이나 가변밀도로 가야 한다.

루프 균형의 근이 둘인 것도 반복에서 그대로다. 초기 유량을 0 근처에 두면 솔버가 아래쪽 근으로 미끄러져 드래프트 없음에 앉는다. 이 다중해는 냄비 바닥 대류에서 Lorenz 방정식이 갈라지는 자리와 같은 구조다. 위쪽 근 근처에서 시작하거나, 유량을 붙잡은 뒤 서서히 푸는 편이 남는다. 프랭클린은 열을 방에 붙잡았다. 그 열은 굴뚝 예산이었고, 하강 1 m가 장부에서 7.00 Pa를 뺐다.