Bajar el humo 1 m costó 7 Pa de tiro — la estufa de Franklin y el presupuesto de flotabilidad

La flotabilidad se compra metro a metro con la densidad local: el descenso pagado con gas caliente no se recupera con un metro añadido en el extremo frío.

1741: una estufa que manda el humo hacia abajo a propósito#

Benjamin Franklin rediseñó la chimenea en 1741. El objetivo era simple: atrapar dentro de la sala el calor que de otro modo se escapa directamente por el tiro. Europa crecía en población, la leña escaseaba y la eficiencia de calefacción rozaba el problema de supervivencia.

Su método consistió en plegar el recorrido. El humo que sube del fuego pasa por encima de un deflector (baffle, una placa cruzada en el conducto que obliga al flujo a girar), baja hacia abajo siguiendo una pared de hierro fundido y solo después entra en la chimenea. Durante el descenso el hierro se calienta y radia hacia la sala. Los textos de la época llamaban a esto "fenómeno de sifón".

La boca de la chimenea no cambia de altura. El desnivel neto que gana el humo tampoco. Y sin embargo esa estufa se hizo célebre por devolver humo a la habitación. Este artículo anota en un libro contable dónde y cuánto se pierde exactamente. La respuesta cabe en una línea: la flotabilidad solo se gana en la altura donde el gas todavía está caliente.

El tiro es una diferencia de densidad multiplicada por una altura#

La fuerza con que una chimenea arrastra el humo se llama tiro (draft). No es una bomba, es un desequilibrio hidrostático. La columna de aire exterior y la columna de humo interior simplemente no pesan lo mismo.

Para un conducto de altura $H$ , el tiro se escribe

\Delta p_{\text{draft}} = \int_0^{H} \left( \rho_\infty - \rho(z) \right) g \, \mathrm{d}z

donde $\rho_\infty$ es la densidad del aire ambiente, $\rho(z)$ la densidad del humo a la altura $z$ y $g$ la gravedad. La presión absoluta es casi idéntica dentro y fuera, así que el gas ideal da $\rho = p_0 / (R T)$ ; con una temperatura de humo uniforme $T_g$ la integral se cierra de inmediato.

\Delta p_{\text{draft}} = \rho_\infty g H \left( 1 - \frac{T_\infty}{T_g} \right)

Con aire exterior a 10 °C ( $\rho_\infty = 1{,}247$ kg/m³), humo a 500 K y 7 m de chimenea salen 37 Pa. El tiro real de una chimenea está entre 10 y 30 Pa, de modo que el orden de magnitud encaja.

Lo decisivo es que $\mathrm{d}z$ está dentro de la integral. La flotabilidad no es un número que se multiplica una vez por la altura total: se compra metro a metro, con la densidad que haya allí. Ahí es donde Franklin pagó.

Conviene manipular la simulación siguiente.

down-leg h_down0.80 mfire temp600 Kroom heat pickup U40

The chimney top stays at 7 m however you drag down-leg, so the elevation gained never changes — but the red bar grows and the net draft falls, because the descent is paid for with the hottest, lightest gas. Now drag fire tempdown: the mouth gauge crosses the amber spill limit far earlier with a deep down-leg than with none.

Al llevar el deslizador down-leg hasta el tope, la boca de la chimenea sigue clavada en 7 m. Aun así la barra roja del libro contable crece y el tiro neto baja. Después conviene bajar fire temp: el indicador de la boca cruza el límite ámbar de reflujo, y lo hace mucho antes cuando el tramo descendente es profundo.

La flotabilidad solo se gana donde el gas está caliente#

Conviene cortar el recorrido en tres tramos: la subida hasta el deflector ( $+0{,}8$ m), el descenso ( $-h_d$ ) y la chimenea ( $+6{,}2 + h_d$ m). Sus desniveles suman siempre 7 m, valga lo que valga $h_d$ . Pero la contribución de flotabilidad de cada tramo se calcula con la densidad que el humo lleva al pasar por él.

El humo se enfría cediendo calor a las paredes. A lo largo de la coordenada $s$ eso es una sola ecuación diferencial de primer orden.

\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}s} = -\frac{U P}{\dot{m} c_p} \left( T - T_\infty \right)

$U$ es el coeficiente global de transferencia de calor, $P$ el perímetro del conducto, $\dot{m}$ el caudal másico y $c_p$ el calor específico. La solución es una caída exponencial cuya longitud característica es $\dot{m} c_p / (U P)$ , dato que importará enseguida.

Ahora la pérdida se ve. El tramo descendente es el segundo más caliente del recorrido. Su densidad es casi la mínima, así que $(\rho_\infty - \rho)$ es casi el máximo, y eso queda multiplicado por un $\mathrm{d}z$ negativo. En cambio el tramo de chimenea que recupera ese metro trabaja con gas que ya entregó su calor al hierro. En vez de vender caro y comprar barato, la estufa compra caro y vende barato.

Peor aún: en el diseño de Franklin el tramo descendente está dentro de la sala, es decir, es por construcción el tramo que más calor pierde. La misma característica pensada para subir la eficiencia de calefacción gasta antes el presupuesto que la chimenea tenía previsto.

Cerrar el balance de cantidad de movimiento en un lazo#

El caudal $\dot{m}$ se fija donde la flotabilidad iguala a las pérdidas. Es un balance de cantidad de movimiento tomado una vez alrededor del conducto.

\sum_{i} \int_{L_i} (\rho_\infty - \rho) g \, \mathrm{d}z = \int_0^{L} \frac{f}{D} \frac{\dot{m}^2}{2 \rho A^2} \, \mathrm{d}s + K \frac{\dot{m}^2}{2 \rho_e A^2}

El lado izquierdo es la altura de flotabilidad; el derecho, la fricción más las pérdidas locales (codos y salida). $f$ es el factor de fricción de Darcy, $D$ el diámetro del conducto, $A$ la sección, $K$ el coeficiente de pérdida local y $\rho_e$ la densidad de salida. El término de fricción tiene la misma forma usada en longitud de entrada y Hagen–Poiseuille.

La ecuación es menos inocente de lo que parece. Subir $\dot{m}$ hace crecer el lado derecho como $\dot{m}^2$ , pero también hace crecer el izquierdo: más caudal significa menos tiempo de residencia, y el gas llega más caliente a la chimenea. Por esa realimentación el residuo $\Delta p - \Delta p_{\text{loss}}$ es cóncavo en $\dot{m}$ y tiene dos raíces. La raíz inferior es inestable; el punto de operación físico es la superior.

El libro contable de la flotabilidad, escrito en Python#

Se marcha la temperatura por un recorrido finamente dividido, se recoge por separado la altura de flotabilidad de cada tramo y se busca la raíz superior por bisección. El barrido va de 0 a 1,2 m de descenso.

import math
 
G, R_AIR, CP = 9.81, 287.0, 1100.0
T_AMB, P_ATM = 283.0, 101325.0
D_FLUE = 0.15
A_FLUE = math.pi * D_FLUE ** 2 / 4.0
PERIM = math.pi * D_FLUE
F_DARCY, K_MINOR = 0.030, 3.0
U_ROOM, U_STACK = 40.0, 5.0        # canal de fundicion en la sala / fabrica de la chimenea [W/m2K]
Z_TOP, Z_BAFFLE = 7.0, 0.80        # salida de la chimenea / borde del deflector [m]
A_MOUTH, V_SPILL = 0.12, 0.25      # area de la boca [m2] / velocidad de cara limite de reflujo [m/s]
 
 
def gas_density(T):
    return P_ATM / (R_AIR * T)
 
 
def march_flue(mdot, h_down, T_fire, n=120):
    # recorre subida / descenso / chimenea acumulando la altura por tramo y la perdida total
    legs = [(Z_BAFFLE, +1.0, U_ROOM),
            (h_down, -1.0, U_ROOM),
            (Z_TOP - Z_BAFFLE + h_down, +1.0, U_STACK)]
    T, loss, heads = T_fire, 0.0, []
    rho_a = gas_density(T_AMB)
    for L, sgn, U in legs:
        head = 0.0
        if L > 0.0:
            ds = L / n
            for _ in range(n):
                T_new = T_AMB + (T - T_AMB) * math.exp(-U * PERIM * ds / (mdot * CP))
                rho = gas_density(0.5 * (T + T_new))
                head += (rho_a - rho) * G * sgn * ds
                loss += F_DARCY / D_FLUE * 0.5 * mdot ** 2 / (rho * A_FLUE ** 2) * ds
                T = T_new
        heads.append(head)
    loss += K_MINOR * 0.5 * mdot ** 2 / (gas_density(T) * A_FLUE ** 2)
    return heads, loss, T
 
 
def solve_mdot(h_down, T_fire, lo=1e-3, hi=0.4, n=100):
    # raiz superior (estable) de flotabilidad = perdida; 0.0 si no existe raiz
    grid = [lo * (hi / lo) ** (i / (n - 1.0)) for i in range(n)]
    res = []
    for m in grid:
        heads, loss, _ = march_flue(m, h_down, T_fire)
        res.append(sum(heads) - loss)
    k = max(range(n), key=lambda i: res[i])
    if res[k] <= 0.0:
        return 0.0
    a, b = grid[k], grid[-1]
    for _ in range(40):
        m = 0.5 * (a + b)
        heads, loss, _ = march_flue(m, h_down, T_fire)
        a, b = (m, b) if sum(heads) - loss > 0.0 else (a, m)
    return 0.5 * (a + b)
 
 
print("h_down[m]  mdot[kg/s]  V_exit[m/s]  draft[Pa]  T_exit[K]")
for i in range(0, 7):
    h = 0.2 * i
    m = solve_mdot(h, 700.0)
    heads, loss, T_e = march_flue(m, h, 700.0)
    print(f"  {h:4.2f}     {m:8.4f}     {m / (gas_density(T_e) * A_FLUE):6.2f}"
          f"     {sum(heads):7.2f}    {T_e:7.1f}")
 
for h in (0.0, 1.0):
    m = solve_mdot(h, 700.0)
    heads, loss, T_e = march_flue(m, h, 700.0)
    print(f"\nbuoyancy ledger  h_down = {h:.1f} m, mdot = {m:.4f} kg/s")
    for name, val in zip(["rise to baffle", "descent      ", "chimney      "], heads):
        print(f"  {name}  {val:+7.2f} Pa")
    print(f"  net             {sum(heads):+7.2f} Pa   (loss {loss:.2f} Pa)")
 
mdot_spill = gas_density(T_AMB) * A_MOUTH * V_SPILL
print(f"\nspillage threshold: mdot < {mdot_spill:.4f} kg/s")
for h in (0.0, 1.0):
    lo, hi = 290.0, 700.0
    for _ in range(30):
        mid = 0.5 * (lo + hi)
        lo, hi = (mid, hi) if solve_mdot(h, mid) < mdot_spill else (lo, mid)
    print(f"  h_down = {h:.1f} m -> spills below T_fire = {0.5 * (lo + hi):6.1f} K")

h_down[m]  mdot[kg/s]  V_exit[m/s]  draft[Pa]  T_exit[K]
  0.00       0.0629       5.59       44.72      554.5
  0.20       0.0623       5.37       43.48      537.2
  0.40       0.0617       5.15       42.16      520.6
  0.60       0.0610       4.93       40.76      504.6
  0.80       0.0602       4.72       39.29      489.2
  1.00       0.0593       4.51       37.72      474.2
  1.20       0.0583       4.30       36.05      459.6
 
buoyancy ledger  h_down = 0.0 m, mdot = 0.0629 kg/s
  rise to baffle    +5.57 Pa
  descent          +0.00 Pa
  chimney         +39.15 Pa
  net              +44.72 Pa   (loss 44.72 Pa)
 
buoyancy ledger  h_down = 1.0 m, mdot = 0.0593 kg/s
  rise to baffle    +5.56 Pa
  descent          -6.16 Pa
  chimney         +38.32 Pa
  net              +37.72 Pa   (loss 37.72 Pa)
 
spillage threshold: mdot < 0.0374 kg/s
  h_down = 0.0 m -> spills below T_fire =  335.2 K
  h_down = 1.0 m -> spills below T_fire =  377.0 K

Basta comparar dos líneas del libro contable. Un metro de descenso se lleva $-6{,}16$ Pa de forma directa. Y la chimenea, ahora un metro más larga, aporta menos que antes: $+38{,}32$ Pa en vez de $+39{,}15$ Pa, porque el gas que entra en ella ya se ha enfriado más. Las dos pérdidas suman 6,99 Pa, exactamente la caída de 7,00 Pa en el tiro neto.

La boca cede primero: 42 K de margen desaparecidos#

Que el tiro baje de 44,7 a 37,7 Pa no mete humo en la sala por sí solo. El límite real vive en la boca del fuego. Cuando la velocidad de cara a través de esa abertura cae por debajo de unos 0,25 m/s, el gas caliente empieza a escapar por su borde superior. Traducido a caudal másico, ese umbral es 0,0374 kg/s.

Las dos últimas líneas de la salida convierten el umbral en una temperatura. Sin descenso, la estufa aguanta hasta que el humo baja a 335 K. Con un metro de descenso cede ya en 377 K. Han desaparecido cuarenta y dos kelvin de margen.

Mientras el fuego arde con fuerza, ambas versiones tiran bien. El problema está en el momento de encender y en el momento en que el fuego se apaga. Por eso la estufa de Franklin quedó en la memoria como la que echaba humo. En la década de 1780 David Rittenhouse eliminó el tramo descendente y llevó el conducto directo hacia arriba en forma de L, y esa disposición se convirtió en el estándar.

El plano neutro: la misma cuenta dentro de una sola sala#

El mismo argumento hidrostático funciona en una sala sin chimenea alguna. Densidades distintas dentro y fuera implican pendientes distintas para las dos rectas hidrostáticas, y dos rectas de pendiente distinta se cortan en exactamente una altura. Esa altura es el plano neutro $z_n$ .

\Delta p(z) = p_{\text{out}} - p_{\text{in}} = (\rho_\infty - \rho_i) g \left( z_n - z \right)

Con dos aberturas de áreas $A_1, A_2$ a las alturas $z_1, z_2$ , exigir el mismo caudal másico por ambas da $z_n$ en forma cerrada.

z_n = \frac{\rho_\infty A_1^2 z_1 + \rho_i A_2^2 z_2}{\rho_\infty A_1^2 + \rho_i A_2^2}

Por debajo del plano neutro entra aire exterior; por encima sale el aire de la sala. Conviene cambiar abajo las alturas de las aberturas, la relación de áreas y la temperatura interior.

inside T303 Klower z10.40 mupper z22.60 marea ratio A2/A11.00

Enlarge the upper opening and the amber neutral plane climbs toward it — the big hole is the one that sits near zero pressure difference. Then drag inside T below 283 K: the blue line tips the other way, both arrows reverse, and the room that was drawing at the floor starts drawing at the ceiling.

Al agrandar la abertura superior, el plano neutro es arrastrado hacia ella, porque un hueco grande pasa el mismo caudal con menos diferencia de presión. Después conviene bajar la temperatura interior por debajo de 283 K: la recta azul se inclina al otro lado y ambas flechas se invierten.

Dónde se anota este presupuesto en un cálculo de convección natural#

Hay tres puntos donde este cálculo tropieza al pasar a CFD.

Primero, la altura de referencia de la condición de contorno de presión. Poner sin más totalPressure = 0 en una abertura equivale a clavar el plano neutro en ese contorno. La pendiente hidrostática de la columna exterior solo sobrevive si la condición se plantea en presión dinámica, con $\rho_\infty g z$ restado. Sin eso la solución converge tan tranquila con un caudal equivocado por un factor de varios.

Segundo, el rango de validez de la aproximación de Boussinesq. La diferencia de temperatura de arriba supera los 200 K, así que la densidad varía más del 50 %. Linealizar como $\rho \approx \rho_0 (1 - \beta \Delta T)$ tasa la flotabilidad muy mal. Dónde está esa frontera se detalla en el punto donde Boussinesq empieza a mentir a 30 K. Un problema de chimenea pertenece a una formulación compresible de bajo Mach o de densidad variable.

Tercero, la solución estacionaria no es única. Las dos raíces del balance del lazo aparecen tal cual en la iteración. Si el caudal inicial se da cerca de cero, el solver resbala hacia la raíz inferior y converge a "sin tiro". Esta multiplicidad comparte estructura con la bifurcación discutida en convección natural y el número de Rayleigh. Es más seguro inicializar cerca de la raíz superior, o relajar el caudal desde un valor impuesto.

Franklin sí consiguió retener el calor en la sala. El calor retenido era el presupuesto que la chimenea pensaba gastar. Antes de decidir dónde colocar un intercambiador dentro de un lazo movido por flotabilidad, conviene comprobar de qué columna del libro contable sale el dinero.