무게중심이 위에 있는데도 안 뒤집힌다 — 메타센터 GM과 자유표면 효과

컨테이너선의 무게중심은 물에 잠긴 부분의 중심보다 몇 미터 위에 있다. 무거운 쪽이 위에 얹혀 있는데도 배는 스스로 일어선다. 반대로 무게중심이 부력중심보다 아래인데 뒤집히는 부선(barge)도 있다. 위아래 관계만으로는 아무것도 결정되지 않는다는 뜻이다. 판정을 내리는 양은 메타센터 높이 $GM$이고, 탱크에 담긴 물이 그 값을 통째로 지우는 자리까지 적어 둔다.

무게중심이 부력중심보다 위에 있다#

기호부터 맞추자. $K$는 용골(keel, 배 바닥 중심), $G$는 무게중심, $B$는 부력중심이다. 부력중심은 물에 잠긴 부피의 도심(centroid)이다. 아르키메데스가 말한 것은 크기뿐이다. 부력의 크기는 밀어낸 물의 무게와 같고, 작용선은 잠긴 부피의 도심을 지난다.

똑바로 떠 있을 때 $G$와 $B$는 같은 연직선 위에 있다. 무게와 부력은 크기가 같고 방향이 반대라 모멘트가 0이다. 이 상태에서는 $G$가 위든 아래든 아무 일도 일어나지 않는다. 안정성은 정지 상태가 아니라 살짝 기울였을 때 무엇이 생기는가로 정의된다.

기울이면 사정이 달라진다. $B$는 잠긴 모양의 도심이므로 잠긴 모양이 바뀌면 함께 옮겨 간다. $G$는 배와 함께 회전할 뿐 배 안에서는 제자리다. 두 연직선이 어긋나면서 모멘트 팔이 생긴다. 이것을 복원정(righting arm) $GZ$라 부르고, 복원 모멘트는 배수량 $\Delta$에 대해 $M = \Delta \cdot GZ$다.

기울면 잠긴 모양이 바뀐다#

아래 시뮬레이션에서 직접 기울여보자. 폭·흘수·무게중심을 바꾸고 release at 15 deg를 눌러 돌아오는지 보면 된다.

$B$(초록)가 기울인 쪽으로 끌려가고, $G$(노랑)를 지나는 연직선과 벌어지는 간격이 $GZ$다. 보라색 $M$은 부력 작용선이 배 중심선과 만나는 점이다. KG 슬라이더를 7.33 m 위로 올리면 $M$이 $G$ 아래로 내려가고, 배는 돌아오는 대신 한쪽으로 누워 멈춘다.

$BM = I/\nabla$ — 수선면의 관성모멘트가 전부다#

작은 각도 $\phi$에서 잠긴 모양의 변화는 쐐기 두 개로 정리된다. 한쪽 현측에서 물 밖으로 나온 쐐기와 반대쪽에서 새로 잠긴 쐐기다. 두 쐐기의 부피는 같고(배수량이 그대로여야 하므로) 좌우로 떨어져 있다. 이 부피 이동이 $B$를 옮긴다.

수선면(waterplane, 수면이 배를 자른 단면)의 미소 띠 $dA$가 중심선에서 $x$만큼 떨어져 있으면, 그 띠가 만드는 부피 변화는 $x\phi\,dA$이고 모멘트는 $x^2\phi\,dA$다. 전부 더하면 관성모멘트가 나온다.

$I$는 중심선에 대한 수선면의 2차 관성모멘트, $\nabla$는 배수 부피다. 폭 $b$인 직사각형 단면이라면 단위 길이당 $I = b^3/12$, $\nabla = b\,T$이므로

가 된다. 여기서 폭이 세제곱으로 들어갔다가 분모의 $\nabla$에서 한 번 상쇄되어 제곱으로 남는다는 점이 중요하다. 폭을 20% 넓히면 $BM$은 44% 커진다. 카누가 불안정하고 뗏목이 안정한 이유가 여기 있다. 그리고 판정식은 한 줄로 끝난다.

$KB$는 부력중심 높이, $KG$는 무게중심 높이다. $GM > 0$이면 복원, $GM < 0$이면 전복이다. 폭 $b = 16$ m, 흘수 $T = 4$ m인 부선이면 $KB = 2.0$ m, $BM = 5.333$ m이므로 $KM = 7.333$ m다. $KG$가 6.6 m라면 여유는 0.733 m뿐이다. 단위 길이로 $b^3/12$를 $\nabla = b T = 64$로 나누면 그 5.333 m가 다시 나온다. 폭을 20% 키우면 $b^2$이 1.44배가 되고, 본문의 44%가 이 제곱이다. $0.44 \times 5.333$ m가 $GM$에 그대로 더해진다. $KG = 6.6$ m를 고정하면 여유 0.733 m는 그 덧셈만큼 벌어진다. 얇은 선측을 쉘로 풀 때는 이 여유가 잠기기도 한다. 전단 잠김이 처짐을 죽이면, 복원 팔 $GZ$를 보기 전에 강성 행렬부터 의심해야 한다.

$GM \sin\phi$가 배신하는 각도#

$GM$은 $\phi \to 0$의 기울기다. 작은 각도에서는 $GZ \approx GM \sin\phi$가 잘 맞는다. 문제는 이 근사가 언제 깨지는지다.

깨지는 지점은 기하학이 정한다. 수선면이 변하지 않는 동안만 $I$가 상수이기 때문이다. 위 부선은 건현(freeboard, 수면 위 선체 높이)이 4 m이므로 $\tan\phi = 2 \times 4/16$, 즉 26.6°에서 갑판 끝이 물에 잠긴다. 그 순간부터 수선면은 더 넓어지지 못하고 오히려 줄어든다. $BM$이 무너지고 $GZ$ 곡선은 꺾인다.

위 시뮬레이션에서 hold heel을 누르고 각도를 30° 너머로 밀어보면 초록 실선(정확값)이 보라색 점선($GM\sin\phi$)에서 떨어져 나가는 것이 보인다. 두 곡선의 부호가 갈리는 각도가 곧 소멸각이다.

탱크 속 물이 GM을 통째로 가져간다#

이제 배 안에 액체가 담긴 탱크를 넣자. 밸러스트 탱크, 연료 탱크, 화물 탱크, 소화용수로 잠긴 자동차 갑판까지 전부 같은 문제다.

액체의 무게는 기울여도 변하지 않는다. 옮겨 갈 뿐이다. 그런데 그 이동이 $G$를 아래쪽 현측으로 끌고 간다. 계산 구조는 $BM$과 똑같다. 탱크 안 자유표면도 하나의 수선면이고, 기울면 쐐기 두 개가 자리를 바꾼다.

$i$는 탱크 자유표면의 관성모멘트, $\rho_f$는 탱크 액체 밀도, $\rho$는 바깥 물의 밀도다. 이 값은 배에서 실제로 빼는 것이 아니라 $G$가 그만큼 위로 올라간 것처럼 취급한다(가상 상승, virtual rise). 탱크에 물이 얼마나 들어 있는지는 식에 없다. 넘칠 듯 가득 차 자유표면이 없어지거나 완전히 비지 않는 한, 20 cm가 담겼든 2 m가 담겼든 손실은 같다.

칸막이 수에 따라 손실이 $1/n^2$로 줄어드는 이유는 아래 식이다.

칸막이 하나가 손실을 1/4로 줄인다#

폭 $b_t$인 탱크를 $n$개로 나누면 각 칸의 폭은 $b_t/n$이고 칸이 $n$개다.

손실은 $1/n$이 아니라 $1/n^2$로 줄어든다. 폭의 세제곱이 개수의 1제곱을 이기기 때문이다. 위 부선에 폭 12 m 탱크가 하나 있으면 $i = 144$ m⁴, $\nabla = 64$ m³/m이므로 $\delta GM = 2.195$ m다. $GM$ 0.733 m는 이미 한참 전에 사라졌다. 중앙에 칸막이 하나만 세우면 0.549 m로 떨어지고 배는 다시 선다.

이것이 유조선 중앙에 종격벽이 서 있는 이유다. 화물량도, 무게중심 높이도 바뀌지 않는다. 자유표면의 폭만 반이 된다.

Python으로 그려본 GZ 곡선과 소멸각#

$GM$은 접선의 기울기 하나일 뿐이다. 큰 각도의 $GZ$는 잠긴 다각형을 직접 잘라서 도심을 구하는 편이 빠르다. 선체 단면을 다각형으로 놓고, 잠긴 면적이 배수 면적과 같아지는 수선 높이를 이분법으로 찾은 뒤, 그 다각형의 도심을 계산한다.

import math
 
def poly_area_centroid(poly):
    a = cx = cy = 0.0
    n = len(poly)
    for i in range(n):
        x0, y0 = poly[i]
        x1, y1 = poly[(i + 1) % n]
        cr = x0 * y1 - x1 * y0
        a += cr
        cx += (x0 + x1) * cr
        cy += (y0 + y1) * cr
    a *= 0.5
    if abs(a) < 1e-14:
        return 0.0, 0.0, 0.0
    return a, cx / (6 * a), cy / (6 * a)
 
def clip_below(poly, phi, h):
    """heel phi 상태에서 지구 기준 높이가 h 이하인 부분만 남긴다"""
    def f(p):
        return p[1] * math.cos(phi) - p[0] * math.sin(phi) - h
    out = []
    n = len(poly)
    for i in range(n):
        p, q = poly[i], poly[(i + 1) % n]
        fp, fq = f(p), f(q)
        if fp <= 0.0:
            out.append(p)
        if (fp < 0.0) != (fq < 0.0):
            t = fp / (fp - fq)
            out.append((p[0] + t * (q[0] - p[0]), p[1] + t * (q[1] - p[1])))
    return out
 
def waterline_offset(poly, phi, area0):
    """잠긴 면적이 area0 가 되도록 수선 높이를 이분법으로 찾는다"""
    lo, hi = -60.0, 60.0
    for _ in range(80):
        mid = 0.5 * (lo + hi)
        a, _, _ = poly_area_centroid(clip_below(poly, phi, mid))
        if a < area0:
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    return 0.5 * (lo + hi)
 
def righting_arm(beam, depth, draft, kg, phi):
    hull = [(-beam / 2, 0.0), (beam / 2, 0.0), (beam / 2, depth), (-beam / 2, depth)]
    h = waterline_offset(hull, phi, beam * draft)
    _, xb, yb = poly_area_centroid(clip_below(hull, phi, h))
    return xb * math.cos(phi) + (yb - kg) * math.sin(phi), xb, yb
 
def gz_curve(beam, depth, draft, kg, deg_max=70, step=1):
    return [(d, righting_arm(beam, depth, draft, kg, math.radians(d))[0])
            for d in range(0, deg_max + 1, step)]
 
BEAM, DEPTH, DRAFT = 16.0, 8.0, 4.0
KG = 6.6
KB = DRAFT / 2
BM = BEAM ** 2 / (12 * DRAFT)
GM = KB + BM - KG
print(f"KB={KB:.3f} m  BM=B^2/12T={BM:.3f} m  KM={KB+BM:.3f} m  KG={KG:.3f} m  GM={GM:.3f} m")
print(f"deck edge immerses at phi = {math.degrees(math.atan(2*(DEPTH-DRAFT)/BEAM)):.1f} deg")
print()
print(" phi[deg]   GZ[m]   GM*sin(phi)[m]   error[%]")
for d, gz in gz_curve(BEAM, DEPTH, DRAFT, KG, 60, 5):
    lin = GM * math.sin(math.radians(d))
    err = f"{100 * (lin - gz) / gz:8.1f}" if abs(gz) > 0.01 else "       -"
    print(f"  {d:5.1f}   {gz:7.4f}   {lin:11.4f}   {err}")
 
curve = gz_curve(BEAM, DEPTH, DRAFT, KG, 70, 1)
dmax, gzmax = max(curve, key=lambda t: t[1])
vanish = next((d for d, g in curve if d > 5 and g <= 0.0), None)
print()
print(f"max GZ = {gzmax:.3f} m at {dmax} deg,  vanishing stability at {vanish} deg")

KB=2.000 m  BM=B^2/12T=5.333 m  KM=7.333 m  KG=6.600 m  GM=0.733 m
deck edge immerses at phi = 26.6 deg
 
 phi[deg]   GZ[m]   GM*sin(phi)[m]   error[%]
    0.0    0.0000        0.0000          -
    5.0    0.0657        0.0639       -2.7
   10.0    0.1417        0.1273      -10.2
   15.0    0.2394        0.1898      -20.7
   20.0    0.3716        0.2508      -32.5
   25.0    0.5550        0.3099      -44.2
   30.0    0.7207        0.3667      -49.1
   35.0    0.6823        0.4206      -38.4
   40.0    0.5196        0.4714       -9.3
   45.0    0.2828        0.5185       83.3
   50.0    0.0001        0.5618          -
   55.0   -0.3116        0.6007     -292.8
   60.0   -0.6406        0.6351     -199.1
 
max GZ = 0.727 m at 31 deg,  vanishing stability at 51 deg

5°에서 $GZ$는 0.0657, $GM\sin\phi$는 0.0639, 오차 −2.7%다. 25°에서는 0.5550 대 0.3099로 오차가 −44.2%까지 벌어진다. 갑판 잠김 26.6°를 지난 30°에서 실제 $GZ$는 0.7207, 선형식은 0.3667이다. 거의 절반이다. 갑판이 잠기기 전까지 수선면이 계속 넓어져 실제 복원력이 선형 예측보다 크기 때문이다. 최대 복원정 0.727 m는 31°에 있다. 45°에서 오차 부호가 +83.3%로 뒤집히고, 50°의 실제 $GZ$는 0.0001인데 선형식은 0.5618을 남긴다. 소멸각 51° 뒤의 55°와 60°에서 실제 값은 −0.3116, −0.6406이다. 선형식은 그때도 +0.6007, +0.6351이다. 소멸각을 넘긴 뒤에도 양의 복원정을 약속하는 쪽은 위험 쪽으로 기울어 있다.

자유표면 손실은 다각형을 자르지 않고도 확인할 수 있다. 갑판이 잠기기 전까지는 현측이 수직이라 복원정에 닫힌 식이 있기 때문이다. 손실은 가상 상승이므로 $GM$에서 $\delta GM$을 빼고 넣으면 된다.

import math
 
BEAM, DRAFT, KG = 16.0, 4.0, 6.6
NABLA = BEAM * DRAFT
BM = BEAM ** 2 / (12 * DRAFT)
GM = DRAFT / 2 + BM - KG
 
def free_surface_loss(rho_f, rho, b, n, nabla):
    """칸막이 n개로 나뉜 폭 b 탱크의 자유표면 손실 [m]"""
    i_free = n * (b / n) ** 3 / 12
    return rho_f * i_free / (rho * nabla)
 
def wall_sided_gz(gm, bm, phi):
    """갑판이 잠기기 전, 현측이 수직인 구간의 복원정"""
    return (gm + 0.5 * bm * math.tan(phi) ** 2) * math.sin(phi)
 
print(" tanks   i[m^4]   dGM[m]   GM_eff[m]   GZ(20deg)[m]")
for n in (1, 2, 3, 4):
    d_gm = free_surface_loss(1000.0, 1025.0, 12.0, n, NABLA)
    gz20 = wall_sided_gz(GM - d_gm, BM, math.radians(20))
    print(f"  {n:4d}  {n*(12.0/n)**3/12:7.1f}  {d_gm:7.3f}   {GM-d_gm:8.3f}   {gz20:11.3f}")

 tanks   i[m^4]   dGM[m]   GM_eff[m]   GZ(20deg)[m]
     1    144.0    2.195     -1.462        -0.379
     2     36.0    0.549      0.185         0.184
     3     16.0    0.244      0.489         0.288
     4      9.0    0.137      0.596         0.325

칸막이 수 n을 1에서 2로 올리면 빨간 손실 막대가 4분의 1로 줄고, 누워 있던 부선이 일어선다.

노란색이 탱크 액체다. 액체 표면은 선체가 어떻게 기울든 수평을 유지한다. n = 1에서 놓으면 배는 돌아오지 않고 한쪽으로 누워 버틴다(각도 부동, angle of loll). 칸막이를 하나 세우는 순간 빨간 손실 막대가 1/4로 줄고 배가 일어선다.

칸막이 하나로 $i$가 144에서 36으로, 정확히 1/4이 된다. $\rho_f = 1000$, $\rho = 1025$, $i = 144$, $\nabla = 64$이면 $\delta GM = 1000 \times 144 / (1025 \times 64) = 2.195$ m다. $n = 4$이면 $i = 9$, $\delta GM = 0.137$ m, 20° 복원정은 0.325 m다. 손실이 없을 때의 0.3716 m에는 아직 못 미친다. 20°에서의 복원정은 −0.379 m에서 +0.184 m로 부호가 바뀐다. 여기 쓴 닫힌 식 $GZ = (GM + \tfrac{1}{2}BM\tan^2\phi)\sin\phi$는 갑판이 잠기기 전 구간에서 다각형 계산과 일치한다. 손실이 없을 때 20°의 값 0.3716 m가 위 표와 같다.

6-DOF VOF 해석에 배를 띄우기 전에#

초기 흘수를 넣기 전에 $GM = 0.733$ m를 손으로 남겨 둔다. 자유 횡동요 주기 $T_\phi = 2\pi k/\sqrt{g\,GM}$이 이 값과 어긋나면 격자나 관성 입력을 먼저 의심한다. $k$는 횡동요 회전반경이다. $BM$은 수선면의 $x^2$ 가중이라 현측 셀이 대부분을 만든다. 자유표면이 두세 셀로 번지면 유효 폭이 줄고, 복원 모멘트가 작게 나온다.

탱크를 채운 계산에서 칸막이 없는 $\delta GM = 2.195$ m는 준정적 기준선이다. 그때 유효 $GM$은 $-1.462$ m다. 액체가 선체와 위상이 어긋나면 이 손실보다 더 기울 수도 있다. 자유수면을 음함수로 푸는 Casulli–Zanolli의 중첩 Newton이 필요한 지점이 여기다. 손계산은 정답이 아니라, 그 횡동요를 의심할 때 붙잡는 숫자다.