可視化で理解するReynolds数と流れの遷移

後流が直径5個ごとに一回途切れるなら、その振動数はすでにSt 0.2に乗っている。

同じ空気でも、鼻息は静かで、換気口では混ざります。流体を取り替えたわけではありません。速度と長さと粘性を一つの数に束ねたものがReynolds数です。

Reのスライダーを右へ動かすと、初期値100から出た速度ベクトルが、障害物の後ろで向きを失い始めます。

50より下では矢印が障害物を包んで、すぐに再び付着します。1000を超えると、後流のマスごとにベクトルの向きがばらばらになります。

Reynolds数とは何か#

定義は短いです。慣性力を粘性力で割った値です。

$Re = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu}$

記号だけ固定します。

$\rho$ : 流体の密度 $[\text{kg/m}^3]$
$U$ : 特性速度 $[\text{m/s}]$
$L$ : 特性長さ $[\text{m}]$
$\mu$ : 動粘性係数 $[\text{Pa·s}]$
$\nu = \mu/\rho$ : 動粘度 $[\text{m}^2/\text{s}]$

流れ域の区分

Reynolds数の範囲	流れ域	特徴
$Re \ll 1$	クリープ流(Stokes flow)	粘性支配、完全に層流
$Re < 2300$ (管内流)	層流 (Laminar)	秩序ある層状流
$2300 < Re < 4000$	遷移 (Transitional)	不安定、間欠的乱流
$Re > 4000$	乱流 (Turbulent)	不規則な混合、高いエネルギー散逸

管内の2300は、円柱の絵とは別のしきい値です。噴流が乱れる臨界と、境界層が層をなす話は噴流が乱れる臨界レイノルズ数の側に続いています。

流れ遷移の物理的メカニズム

層流が乱流へ越えるとき、最初の割れ目はケルビン-ヘルムホルツ不安定です。速度の違う二層が接すると、小さな波が巻かれて渦になります。その渦が、より小さい渦へエネルギーを渡します。

$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u}$

Navier-Stokes方程式の左辺の非線形項 $(\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}$ が慣性を担い、右辺の $\nu \nabla^2 \mathbf{u}$ が粘性減衰を担います。Reynolds数はこの2項の相対的な大きさを示します。

速度場の可視化:Reynolds数による流れの変化#

先の画面は三つの帯で読めます。低い側では粘性項が擾乱をその場で消します。中間では障害物後方の対称性が先に破れます。1000を超えると渦がマスの中に残ります。表の管内流2300と、この障害物の絵を同じ目盛りに載せてはいけません。形が変われば、しきい値も変わります。

円柱周りの流線:カルマン渦列

円柱の後ろで周期的な渦放出が付くと、カルマン渦列です。振動数はStrouhal数にまとめます。

放出周波数はStrouhal数 $St$ で正規化されます:

$St = \frac{f D}{U_\infty}$

ここで $f$ は渦放出周波数、 $D$ は円柱直径、 $U_\infty$ は自由流速です。円柱の場合 $St \approx 0.2$ ( $100 < Re < 10^5$ ) でほぼ一定に保たれます。

speedのスライダーを上げると、同じ円柱でも後流の左右の揺れが速くなります。

前よどみ点で流線が分かれるかを先に見ます。続いて後方の対称性が破れ、渦が左右交互に落ちるかを見ます。

数値解析でのReynolds数:格子要求#

DNSは最も小さい長さ、コルモゴロフスケールまでマスを入れます。

$\eta = \left(\frac{\nu^3}{\varepsilon}\right)^{1/4}$

マス数はReとともに次のように増えます。

$N \sim Re^{9/4}$

つまり $Re$ が10倍に増えると格子数は約178倍増える必要があります。これが実用的な乱流シミュレーションにRANSやLESといった乱流モデルが必要な理由です。

指数9/4と直径5個分の周期#

Stが0.2なら、一周期のあいだに流体が進む距離は直径を0.2で割った値です。1割る0.2は5なので、直径5個分です。Reが100から10の5乗までこの比がほとんど動かないという主張は、後流の間隔を定規で読めるという意味です。パターンが直径5個ごとに一回くり返せば、そのケースはすでにこの区間の中にあります。

Reを2倍にすると格子の倍率は2の9/4乗です。2の2乗は4、2の1/4乗は約1.19です。4掛ける1.19は約4.8です。速度が2倍でも、セル数は5倍近くまで増えます。10倍はもっと急です。10の9/4乗は100掛ける10の0.25乗です。10の0.25乗は約1.78で、100掛ける1.78は178です。Reを一桁上げる費用が格子約178倍になる理由は、この積です。

長さを半分にするときも同じ指数が効きます。コルモゴロフ長さの式で、粘性の3乗を散逸で割った中身が16分の1にならないと、その長さは半分になりません。2の4乗が16だからです。粘性を固定すれば散逸だけが16倍です。小さい渦へ一段進むコストはこれだけ重いです。9/4は紙の上では緩く見えても、Reが10倍のときの178倍を軽く見ることはできません。

格子178倍を引き受けるReか#

Reを一桁上げる計算がDNSなら、格子は $Re^{9/4}$ で膨らみます。その178倍を受けられるクラスタがなければ、RANSかLESへ移す判断が合います。円柱なら、後流間隔が直径5個分かを先に見ます。そこから外れていれば、そのケースはSt 0.2の区間の外です。

管内の臨界 $Re$ は、障害物の絵にある1000とは別のしきい値です。4000と2300のあいだの帯の幅は1700です。178倍の格子を払う前に、係数そのものが負へ崩れた平均を脇に置きます。動的係数の49.9%が負になった平均の置き方が、その判断の次のページです。