Número de Reynolds y transición del flujo, mediante visualización

El mismo aire queda quieto en una exhalación y se revuelve en una rejilla. El fluido no cambió. Velocidad, longitud y viscosidad quedaron empaquetadas en un solo número. Ese número es el de Reynolds.

Al desplazar el control de Re hacia la derecha, los vectores de velocidad, que parten del valor 100, empiezan a perder la dirección detrás del obstáculo.

Por debajo de 50 las flechas rodean el cuerpo y se vuelven a pegar enseguida. Pasado 1000, las celdas de la estela apuntan cada una para un lado.

¿Qué es el número de Reynolds?#

La definición es corta. Inercia dividida por viscosidad.

$Re = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu}$

Los símbolos quedan fijos.

• $\rho$: densidad del fluido $[\text{kg/m}^3]$
• $U$: velocidad característica $[\text{m/s}]$
• $L$: longitud característica $[\text{m}]$
• $\mu$: viscosidad dinámica $[\text{Pa·s}]$
• $\nu = \mu/\rho$: viscosidad cinemática $[\text{m}^2/\text{s}]$

Regímenes de flujo#

El 2300 de la tubería es un umbral distinto del dibujo del cilindro. El valor crítico donde un chorro se desordena, y la estructura en capas de esa frontera, sigue en el Reynolds crítico donde el chorro se desordena.

Mecanismo físico de la transición#

La primera grieta del flujo laminar hacia la turbulencia es la inestabilidad de Kelvin–Helmholtz. Dos capas a distinta velocidad se tocan, una onda pequeña se enrolla y nace un vórtice. Ese vórtice entrega energía a vórtices más chicos.

$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u}$

En las ecuaciones de Navier–Stokes, el término no lineal de la izquierda $(\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}$ aporta inercia, y $\nu \nabla^2 \mathbf{u}$ a la derecha aporta amortiguamiento viscoso. Re mide el tamaño relativo de ambos.

Visualización del campo de velocidades: cambios con Re#

La imagen de arriba se lee en tres bandas. En la baja, el término viscoso borra la perturbación en el sitio. En la media, la simetría detrás del obstáculo se rompe primero. Pasado 1000 los vórtices se quedan en las celdas. No conviene poner el 2300 del flujo en tubería y este dibujo del obstáculo en la misma escala. Cambia la forma y se mueve el umbral.

Líneas de corriente alrededor de un cilindro: la calle de vórtices de Kármán#

Una suelta periódica de vórtices detrás de un cilindro es la calle de Kármán. La frecuencia se empaqueta en el número de Strouhal.

La frecuencia de desprendimiento se normaliza con el número de Strouhal $St$:

$St = \frac{f D}{U_\infty}$

Donde $f$ es la frecuencia de desprendimiento, $D$ el diámetro del cilindro y $U_\infty$ la velocidad de corriente libre. Para cilindros, $St \approx 0.2$ permanece casi constante en $100 < Re < 10^5$.

Al subir el control de speed, la estela del mismo cilindro se balancea más rápido de un lado al otro.

Primero se mira el punto de estancamiento delantero, donde las líneas se separan. Después, si la simetría trasera se rompe y los vórtices caen de forma alternada.

Re en métodos numéricos: requerimientos de malla#

Una DNS tiene que meter celdas hasta la longitud más chica, la escala de Kolmogorov.

$\eta = \left(\frac{\nu^3}{\varepsilon}\right)^{1/4}$

El número de celdas crece con Re así.

$N \sim Re^{9/4}$

Por tanto, multiplicar Re por 10 exige aproximadamente 178× más celdas. Por eso las simulaciones prácticas de turbulencia recurren a modelos RANS o LES.

El exponente 9/4 y un ciclo de cinco diámetros#

Si St vale 0.2, un ciclo recorre el diámetro dividido entre 0.2. Uno entre 0.2 es 5: cinco diámetros. Desde Re 100 hasta 10 a la quinta esa razón casi no se mueve, y una regla lee el espaciamiento. Un patrón que se repite cada cinco diámetros ya está en este intervalo.

Duplicar Re escala la malla con 2 elevado a 9/4. Dos al cuadrado es 4. Dos elevado a 1/4 es cerca de 1.19. Cuatro por 1.19 es cerca de 4.8: las celdas crecen unas cinco veces, no dos. Un factor de diez es más empinado. Diez elevado a 9/4 es 100 por 10 elevado a 0.25. Diez a la 0.25 es cerca de 1.78, y 100 por 1.78 es 178. Ese producto es la malla de 178 veces.

Partir a la mitad la longitud de Kolmogorov usa la misma potencia. Viscosidad al cubo sobre disipación debe caer a un dieciseisavo: 2 a la cuarta es 16. Con viscosidad fija, la disipación sube 16 veces. El 9/4 parece suave hasta que Re se multiplica por diez.

¿Una malla de 178× es un Re que se puede pagar?#

Si el cálculo que sube Re una década es una DNS, la malla crece como $Re^{9/4}$. Un clúster que no aguanta el factor 178 conviene pasarlo a RANS o a LES. En un cilindro, lo primero es comparar el espaciamiento de la estela con cinco diámetros. Si no coincide, el caso queda fuera de la banda de St 0.2.

El umbral de la tubería no es el 1000 del dibujo del obstáculo. La banda entre 2300 y 4000 tiene un ancho de 1700. Antes de pagar 178 veces la malla, conviene tener a mano el caso en que el propio coeficiente del modelo salió negativo. El promedio donde el 49.9% de los coeficientes dinámicos salió negativo es la página de esa decisión.