虫は蜂蜜の中を泳ぐ — レイノルズ数が変える流動の世界

縮小模型は長さだけ縮めてはいけません。Reまで下がると、粘性項の居場所が入れ替わります。

バクテリアは泳ぐことができません。正確に言えば、私たちが「泳ぐ」と呼ぶ慣性ベースの推進は通りません。尾を振って惰性で進む側と違い、バクテリアは慣性が消えた世界、透明な蜂蜜の中にいます。同じナビエ・ストークス方程式です。スケールだけ変えると、支配する項が入れ替わります。その差を一つの数字にしたのが**レイノルズ数（慣性力/粘性力比）**です。

格子の Reynolds スライダーを 10 付近から 1000 まで上げてみてください。整っていた矢印が揺れ始めます。

10 付近では粘性が乱れをすぐ消します。矢印は櫛の歯のように寝ます。1000 ではベクトルがばらばらに揺れます。乱流に入る直前の顔です。

同じ方程式、異なる世界

シロナガスクジラは海で泳ぎます。水分子はもちろん同じ水です。しかし、1 μmのバクテリアにとって、水は全く別の物質のように感じられます。同じナビエ・ストークス方程式を使っても、スケールが変われば支配的な項が変わるからです。

非圧縮ナビエ・ストークス方程式は以下のようになります。

\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u}

$\rho$ は密度、 $\mathbf{u}$ は速度場、 $p$ は圧力、 $\mu$ は粘性係数です。左辺は慣性（質量 × 加速度）、右辺の $\mu\nabla^2\mathbf{u}$ は粘性（内部摩擦）の項です。これら二つの力が常に戦っています。どちらが勝つのでしょうか。

方程式の服を脱がせる：無次元化

答えはスケールが決めます。これを示すには、方程式を無次元化する必要があります。代表長さ $L$ 、代表速度 $U$ 、代表時間 $L/U$ 、代表圧力 $\rho U^2$ ですべての量を割ります。

\tilde{\mathbf{x}} = \frac{\mathbf{x}}{L}, \quad \tilde{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{u}}{U}, \quad \tilde{t} = \frac{tU}{L}, \quad \tilde{p} = \frac{p}{\rho U^2}

各変数の意味は「その物理量を自分自身の自然な大きさで測定したもの」です。この定義をナビエ・ストークス方程式に代入して整理すると、単位がすべて消えた綺麗な式が残ります。

\frac{\partial \tilde{\mathbf{u}}}{\partial \tilde{t}} + (\tilde{\mathbf{u}}\cdot\tilde{\nabla})\tilde{\mathbf{u}} = -\tilde{\nabla}\tilde{p} + \frac{1}{\mathrm{Re}}\,\tilde{\nabla}^2 \tilde{\mathbf{u}}

すべての物理単位が消え、たった一つの数字 $\mathrm{Re}$ だけが残ります。これがレイノルズ数です。

\mathrm{Re} = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu} = \frac{\text{慣性力}}{\text{粘性力}}

$\nu = \mu/\rho$ は動粘性係数(kinematic viscosity)です。 $\rho, U, L$ が大きいほど慣性が、 $\mu$ が大きいほど粘性が勝ちます。同じ水でも $L$ が小さくなれば $\mathrm{Re}$ は線形に低下します。結局、世界を支配する項が変わるのです。

スケールがレイノルズ数を変える

数字で感じてみましょう。水の動粘性係数 $\nu \approx 10^{-6}\,\text{m}^2/\text{s}$ を基準に、代表的な生物の $\mathrm{Re}$ は以下の通りです。

# 代表的な長さ/速度でレイノルズ数を計算
def reynolds(U, L, nu=1e-6):
    return U * L / nu
 
cases = [
    ("シロナガスクジラ",   10.0,    25.0),
    ("水泳選手",           1.0,     1.5),
    ("稚魚",               0.1,     0.01),
    ("バクテリア",         30e-6,   1e-6),
]
for name, U, L in cases:
    print(f"{name:10s} Re = {reynolds(U, L):10.2e}")
# シロナガスクジラ  Re =   2.50e+08
# 水泳選手         Re =   1.50e+06
# 稚魚             Re =   1.00e+03
# バクテリア       Re =   3.00e-05

最大値と最小値の差は、なんと13桁に及びます。同じ水の中での話です。レイノルズ数は単なる数字ではなく、同じ流体の中でも異なる「世界」をラベリングする住所のようなものです。

バクテリアのように $\mathrm{Re} \ll 1$ の領域では、無次元方程式の慣性項が事実上消滅し、両辺に $\mathrm{Re}$ を掛けるとストークス方程式 $-\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} = 0$ になります。時間微分がありません。つまり、バクテリアの流動は「過去を記憶できない」のです。力を抜いた瞬間に速度も0になります。

粘性項の前の 1/Re が桁を決める#

コードの4行は、同じ式に同じ $\nu \approx 10^{-6}\,\text{m}^2/\text{s}$ を入れた結果です。クジラは $2.50\times 10^{8}$ 、選手は $1.50\times 10^{6}$ 、稚魚は $1.00\times 10^{3}$ 、バクテリアは $3.00\times 10^{-5}$ です。両端を割ると $8.33\times 10^{12}$ になります。桁にすれば約13です。コメントの両端が、すでにその比を持っています。

無次元の運動方程式で、粘性項の係数は $1/\mathrm{Re}$ です。無次元の勾配を 1 程度と見れば、その係数が粘性項の大きさです。バクテリアは約 $3.3\times 10^{4}$ です。慣性項が 1 のとき、粘性項はおよそ 3 万倍になります。両辺に $\mathrm{Re}$ を掛けて慣性項を落とす操作は、この倍率から来ます。クジラは $4\times 10^{-9}$ です。粘性項は慣性項の 10 億分の 4 に届きません。平均流で粘性を捨ててよい桁です。壁は例外です。勾配が 1 ではないからです。

稚魚は $\mathrm{Re} = 1.00\times 10^{3}$ なので、係数は $10^{-3}$ です。慣性は粘性の千倍です。それでもゼロではありません。円柱背後の対称が崩れる 40 は、稚魚より 1 桁下、バクテリアより 6 桁上です。スライダーの 10 と 1000 はその間にあります。

$\mathrm{St} = fL/U \approx 0.2$ なら、周波数は $0.2\,U/L$ で桁が閉じます。必要なのは $U$ と $L$ だけです。音の高さを測り直す必要はありません。

円柱の背後で対称が割れる場所

粒子数と速度と障害物はコンポーネント側で固定です。画面で見るのは、カルマン渦列（円柱の後方から周期的に放出される渦）が出るかどうかです。

$\mathrm{Re} \lesssim 40$ では、円柱の背後は左右対称に付着しています。40を超えると、上下の渦が交互に剥離し、「尾が周期的に揺れる」ような模様が見えます。旗がなびき、電線が鳴り、風で長い橋が振動する理由は、すべてこのカルマン渦列によるものです。自然現象の周波数はストローハル数 $\mathrm{St} = fL/U \approx 0.2$ に結びついており、 $U$ と $L$ さえ分かれば、鳴り響く音の高さまで推定できます。管内ではこの 40 より臨界がずっと上に上がり、境界層が何層にも割れます。その層の並びは水流が乱れる瞬間に別に書いてあります。

バクテリアはなぜ「蜂蜜の中」なのか

$\mathrm{Re} \ll 1$ では、慣性がほぼゼロです。泳ぎを止めた瞬間に停止します。さらに驚くべき結果もあります。

時間可逆な動作では前に進むことができない — パーセルの scallop theorem（ホタテガイの定理）。

ホタテのように対称に開閉する動作では、正味の変位はゼロになります。そのため、バクテリアはらせん状の鞭毛を回転させたり、非対称な鞭打ち運動をしたりしなければ前進できません。同じナビエ・ストークス方程式から出発しても、 $\mathrm{Re}$ のスケールが「許容される運動のリスト」を変えてしまったのです。運動設計の文法が変わったと言えます。

逆に $\mathrm{Re}$ が数十万を超えると、方程式の粘性項は全体の流れに対して無視できるほど小さくなります（境界層内部は例外）。そのため、航空機の翼周辺の平均的な流れは、非粘性のオイラー方程式でかなり正確に説明できます。方程式が変わったのではなく、支配的な項が変わっただけなのです。

無次元化が教えてくれること

レイノルズ数は無次元数の一例に過ぎません。同じ論理で、 $\mathrm{Ma} = U/c$ （マッハ数：慣性/圧縮性）、 $\mathrm{Fr} = U/\sqrt{gL}$ （フルード数：慣性/重力）、 $\mathrm{We} = \rho U^2 L/\sigma$ （ウェーバー数：慣性/表面張力）といった「世界のダイヤル」が連続的に現れます。無次元化は、これらのダイヤルを互いに切り離します。実験で風洞の中に縮小モデルを使用できる理由もここにあります。サイズや速度が異なっても、 $\mathrm{Re}$ さえ同じであれば無次元方程式は同一であり、したがって解も同一になります。これが力学的相似則(dynamic similarity)です。

Re を合わせない縮小模型は、別の方程式を解く#

風洞で長さを 10 分の 1 にし、速度をそのままにすると $\mathrm{Re}$ も 10 分の 1 になります。無次元式の粘性項の係数は 10 倍です。実機では粘性を捨ててよいと思った場所が、模型の上では粘性がもっと効く場所になります。

相似実験は、だから長さと速度の積 $UL$ を保つ側を選びます。流体を変えるか、速度を長さに反比例させて上げます。ダイヤルを一つだけ合わせると、残りは外れたままです。自由表面が絡むときは台所の流しでも毎日出るフルード数も一緒に合わせる必要があり、 $U/\sqrt{gL}$ の条件は $UL$ の条件と同時には満たしにくいです。どのダイヤルを捨てるか、先に決めないと実験になりません。