시각화로 이해하는 Reynolds 수와 유동 천이

같은 공기라도 콧김은 고요하고 환기구에서는 뒤섞인다. 유체를 바꾼 게 아니다. 속도, 길이, 점성을 한 수로 묶은 것이 Reynolds 수다.

Re 슬라이더를 오른쪽으로 밀면, 기본값 100에서 출발한 속도 벡터가 장애물 뒤에서 방향을 잃기 시작한다.

50 아래에 두면 화살표가 장애물을 감싸며 바로 다시 붙는다. 1000을 넘기면 후류 칸마다 벡터 방향이 제각각이 된다.

Reynolds 수란 무엇인가#

정의는 짧다. 관성력을 점성력으로 나눈 값이다.

$Re = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu}$

기호만 고정한다.

• $\rho$: 유체 밀도 $[\text{kg/m}^3]$
• $U$: 특성 속도 $[\text{m/s}]$
• $L$: 특성 길이 $[\text{m}]$
• $\mu$: 동점성 계수 $[\text{Pa·s}]$
• $\nu = \mu/\rho$: 동점도 $[\text{m}^2/\text{s}]$

유동 체계의 구분#

관의 2300은 원기둥 그림과 다른 문턱이다. 물줄기가 갈라지는 임계와 경계층의 층 구조는 레이놀즈 임계수의 다층 구조 쪽에 이어져 있다.

유동 천이의 물리적 메커니즘#

층류가 난류로 넘어갈 때 첫 균열은 켈빈-헬름홀츠 불안정이다. 속도가 다른 두 층이 맞닿으면 작은 파동이 말려 와가 된다. 그 와가 더 작은 와로 에너지를 넘긴다.

$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u}$

Navier-Stokes 방정식에서 좌변의 비선형 항 $(\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}$가 관성을 담당하고, 우변의 $\nu \nabla^2 \mathbf{u}$가 점성 감쇠를 담당한다. Reynolds 수는 이 두 항의 상대적 크기를 나타낸다.

속도장 시각화: Reynolds 수에 따른 유동 변화#

앞 화면은 세 칸으로 읽힌다. 낮은 쪽에서는 점성항이 교란을 그 자리에서 지운다. 중간에서는 장애물 뒤의 대칭이 먼저 깨진다. 1000을 넘으면 와가 칸 안에 남는다. 표의 관 유동 2300과 이 장애물 그림을 같은 눈금에 올리면 안 된다. 형상이 바뀌면 문턱도 바뀐다.

원기둥 주위 유선: 카르만 소용돌이길#

원기둥 뒤로 주기적인 와 방출이 붙으면 카르만 와열이다. 진동수는 Strouhal 수로 묶는다.

방출 주파수는 Strouhal 수 $St$로 정규화된다:

$St = \frac{f D}{U_\infty}$

여기서 $f$는 와류 방출 주파수, $D$는 원기둥 직경, $U_\infty$는 자유류 속도다. 원기둥의 경우 $St \approx 0.2$ ($100 < Re < 10^5$)로 거의 일정하게 유지된다.

speed 슬라이더를 올리면 같은 원기둥에서 후류의 좌우 흔들림이 빨라진다.

앞쪽 정체점에서 유선이 갈라지는지 먼저 본다. 이어서 뒤쪽 대칭이 깨지고, 와가 좌우로 번갈아 떨어지는지 본다.

수치해석에서의 Reynolds 수: 격자 요구사항#

DNS는 가장 작은 길이, 콜모고로프 스케일까지 칸을 넣어야 한다.

$\eta = \left(\frac{\nu^3}{\varepsilon}\right)^{1/4}$

칸 수는 Re가 커질수록 이렇게 늘어난다.

$N \sim Re^{9/4}$

즉 $Re$가 10배 증가하면 격자 수는 약 178배 증가해야 한다. 이것이 실용적인 난류 시뮬레이션에 RANS, LES 같은 난류 모델이 필요한 이유다.

지수 9/4와 주기 다섯 지름#

St가 0.2이면 한 주기에 유체가 이동하는 거리는 지름을 0.2로 나눈 값이다. 1 나누기 0.2는 5다. 지름 다섯 개다. Re가 100에서 10의 5승까지 이 비가 거의 고정이라는 뜻은, 후류 파장을 자로 재도 된다는 말이다. 패턴이 지름 다섯 개마다 한 번 반복되면 그 케이스는 이미 이 구간 안에 있다.

Re를 두 배로 하면 격자 배율은 2의 9/4승이다. 2의 제곱은 4, 2의 1/4승은 약 1.19다. 4 곱하기 1.19는 약 4.8이다. 속도만 두 배가 아니라 칸 수가 다섯 배 근처로 는다. 열 배는 더 가파르다. 10의 9/4승은 100 곱하기 10의 0.25승이다. 10의 0.25승은 약 1.78이고, 100 곱하기 1.78은 178이다. Re를 한 자리 올리는 비용이 격자 178배인 이유가 이 곱이다.

길이를 절반으로 줄이는 데도 같은 지수가 있다. 콜모고로프 길이 식의 괄호 안, 점성 세제곱 나누기 소산이 16분의 1이 되어야 그 길이가 절반이 된다. 2의 4승이 16이기 때문이다. 점성을 고정하면 소산만 16배다. 작은 소용돌이 한 단계가 이렇게 비싸다. 그래서 9/4가 완만해 보여도 Re 10배의 178배를 가볍게 보면 안 된다.

격자 178배를 감수할 Re인가#

Re를 한 자리 올리는 계산이 DNS라면 격자는 $Re^{9/4}$로 불어난다. 그 178배를 받을 클러스터가 없으면 RANS나 LES로 넘어가는 결정이 맞다. 원기둥이라면 후류 간격이 지름 다섯 개인지를 먼저 본다. 거기서 벗어나면 그 케이스는 St 0.2 구간 밖이다.

관의 임계 $Re$는 장애물 그림의 1000과 다른 문턱이다. 4000과 2300 사이 띠의 폭은 1700이다. 178배 격자를 결제하기 전에, 계수 자체가 음수로 무너진 평균을 옆에 둔다. 동적 Smagorinsky 계수의 49.9%가 음수였던 평균이 그 결정의 다음 페이지다.