Un fluido que se calienta sin moverse — Convección natural y el Rayleigh 1708

El exponente un tercio sobre este mismo Ra baja el flujo a unos 149. Llegar a 1e9 pide una altura cercana a 0.73 m, no de 0.30 m.

Se calienta el suelo y el fluido sigue quieto un rato. Solo el calor sube. Los vórtices a rayas se encienden todos a la vez. El número de esa puerta es el Rayleigh 1708.

Al bajar el control de Ra por debajo de 1708, las partículas se detienen y la temperatura se parte de arriba abajo. Al pasarlo de 1708, se encienden rollos que giran en sentidos opuestos.

Ra = 1.0e+4

critical Ra_c = 1708 · state: steady convection rolls (Benard cells)

Justo encima del umbral la circulación es débil. Al empujar más el control, las capas límite se adelgazan y las celdas se refuerzan.

Donde chocan flotabilidad y viscosidad#

La convección natural es un flujo por diferencia de densidad, sin bomba. Al calentar el suelo, el fluido de encima se expande y se aligera. Una parcela ligera tiende a subir. Eso es la flotabilidad.

La viscosidad sujeta la parcela que sube, por fricción. La difusión térmica borra la temperatura de la parcela caliente, y con ella la brecha de la que vive la flotabilidad.

Si esos dos frenos vencen a la flotabilidad, el fluido se queda quieto. Si gana la flotabilidad, la convección se enciende.

La aproximación de Boussinesq — el cambio de densidad en un término#

La aproximación de Boussinesq deja la densidad como función de la temperatura solo dentro del término de flotabilidad.

El coeficiente de expansión volumétrica es la fracción en que baja la densidad cuando la temperatura sube un grado.

\beta \equiv -\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_P

β es ese coeficiente, ρ la densidad, T la temperatura. En un gas ideal, β es 1/T.

La diferencia de densidad pasa entonces a ser una diferencia de temperatura.

\frac{\rho_\infty - \rho}{\rho} \approx \beta\,(T - T_\infty)

ρ∞ y T∞ son la densidad y la temperatura del fluido quieto, lejos. Esa línea siembra la flotabilidad en la ecuación de cantidad de movimiento de la capa límite de una placa vertical.

u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = g\beta\,(T - T_\infty) + \nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

u y v son las componentes de la velocidad, g la gravedad, ν la viscosidad cinemática. El primer término del lado derecho es la flotabilidad; el segundo, el arrastre viscoso. La ecuación de la energía lleva la temperatura por difusión.

u\frac{\partial T}{\partial x} + v\frac{\partial T}{\partial y} = \alpha\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}

α es la difusividad térmica.

Grashof y Rayleigh — una división del trabajo#

Al adimensionalizar, el término de flotabilidad se cierra en un número. El número de Grashof.

\mathrm{Gr} = \frac{g\beta\,(T_s - T_\infty)\,L^3}{\nu^2} \sim \frac{\text{flotabilidad}}{\text{fuerza viscosa}}

Ts es la temperatura de la pared, L la longitud característica. Grashof toma el trabajo que, en convección forzada, hace el número de Reynolds que ubica un flujo solo con una longitud.

La viscosidad no es el único rival. La difusión térmica también borra la brecha de temperatura. Ese segundo freno entra como el número de Prandtl, difusión de cantidad de movimiento sobre difusión de calor, Pr = ν/α. El producto es el número de Rayleigh.

\mathrm{Ra} = \mathrm{Gr}\cdot\mathrm{Pr} = \frac{g\beta\,(T_s - T_\infty)\,L^3}{\nu\,\alpha}

En el denominador se sientan ν y α a la vez. Que la convección se encienda lo fija Ra, no Gr en solitario.

El umbral llamado 1708#

Con paredes sólidas arriba y abajo, el análisis lineal da Ra_c = 1708. Por debajo, viscosidad y difusión térmica se comen las perturbaciones. El fluido sigue quieto y el calor se mueve solo por conducción.

Pasado 1708 aparecen las celdas de Bénard, rollos que giran al revés. El ancho es cerca del doble de la profundidad. El control de Ra del inicio cruza esa puerta.

Python — siguiendo el número de Nusselt de una placa vertical#

Cuán bien se enfría una pared lo dice el número de Nusselt, Nu = hL/k, convección contra conducción. Una placa vertical isoterma tiene un ajuste de Churchill–Chu para todo el rango. El caso es una pared a 60 grados en aire a 20 grados, de 0.30 m de alto.

import numpy as np
 
def rayleigh_number(Ts, Tinf, L, beta, nu, alpha, g=9.81):
    # razon entre flotabilidad y (viscosidad x difusion termica)
    return g * beta * (Ts - Tinf) * L**3 / (nu * alpha)
 
def churchill_chu_vertical(Ra, Pr):
    # placa vertical isoterma -- valida en todo el rango
    denom = (1.0 + (0.492 / Pr)**(9 / 16))**(8 / 27)
    return (0.825 + 0.387 * Ra**(1 / 6) / denom)**2
 
# propiedades del aire a la temperatura de pelicula
nu, alpha, Pr, k = 1.85e-5, 2.60e-5, 0.71, 0.027
Ts, Tinf, L = 60.0, 20.0, 0.30          # pared 60C, 0.3 m de alto
beta = 1.0 / (0.5 * (Ts + Tinf) + 273.15)  # gas ideal, 1/Tf
 
Ra = rayleigh_number(Ts, Tinf, L, beta, nu, alpha)
Nu = churchill_chu_vertical(Ra, Pr)
h = Nu * k / L
q = h * (Ts - Tinf)                     # perdida de calor por unidad de area
 
print(f"Ra = {Ra:.2e}")
print(f"Nu = {Nu:.1f},  h = {h:.2f} W/m^2K")
print(f"q  = {q:.1f} W/m^2")
 
# Ra = 7.03e+07
# Nu = 54.9,  h = 4.94 W/m^2K
# q  = 197.6 W/m^2

Pr = 0.69Ra marker = 1e7.0

cyan: Churchill–Chu · green: laminar 0.59 Ra^1/4 · pink: turbulent 0.10 Ra^1/3

Al bajar el control de Pr hacia los metales líquidos, la curva desciende. Al subirlo hacia los aceites, la curva asciende. Al llevar el marcador de Ra más allá de 1e9, la pendiente pasa de 1/4 a 1/3.

Los números impresos son Ra 7.03e7, Nu 54.9, h 4.94 y un flujo de calor de 197.6. La temperatura de película es 40 más 273.15, o sea 313.15 K, y el coeficiente de expansión es el recíproco, cerca de 0.003193. Viscosidad por difusividad térmica es 1.85e-5 por 2.60e-5, esto es 4.81e-10. El cubo de la altura 0.30 m es 0.027. Esos trozos, con la gravedad 9.81 del código y una brecha de 40 grados, se juntan en el 7.03e7 impreso. Multiplicar Nu 54.9 por 0.027 y dividir por 0.30 da 4.941, el h impreso de 4.94. Luego 4.94 por 40 es 197.6. Dividir este Ra por Pr 0.71 deja un Gr cercano a 9.90e7, que no va al lado de 1708.

En el mismo Ra, el alias laminar, 0.59 por Ra a la 1/4, vale cerca de 54.0. El 54.9 impreso queda cerca de 0.9 por encima. El alias turbulento, 0.10 por Ra a la 1/3, vale cerca de 41.3. Rehecho en h, ese Nu da cerca de 3.72, y un flujo cercano a 149. Es cerca de tres cuartos de 197.6.

Llegar a Ra 1e9 pide cerca de 14.2 veces 7.03e7. La altura entra al cubo, así que 0.30 m tiene que volverse cerca de 0.73 m para tocar esa puerta. Antes de eso, esta placa se queda en la rama de exponente 1/4. La longitud que hace Ra 1708 con el mismo aire y la misma brecha de 40 grados es cerca de 8.7 mm. Esa longitud es un espesor de capa. Leer 1708 como la puerta de la placa de 0.30 m cambia la geometría.

El 197.6 impreso es un flujo por metro cuadrado. Con un ancho igual a la altura, 0.30 m, el área es 0.09 m^2. La placa entera pierde 197.6 por 0.09, cerca de 17.8 W.

Si solo se sigue el alias laminar, Nu escala como Ra a la 1/4 y Ra escala como el cubo de la altura, así que h se mueve como la altura a la -1/4. Duplicar la altura multiplica h por 2 a la -1/4, cerca de 0.841. Entonces 4.94 pasa a cerca de 4.15, y el flujo baja a cerca de 166. Con el exponente 1/3 esa caída desaparece y h ya no depende de la altura. El Ra de esta impresión todavía no está en ese exponente.

Un puñado de correlaciones de Nusselt#

Cada forma tiene su ajuste.

Placa vertical: $\mathrm{Nu} = 0.59\,\mathrm{Ra}^{1/4}$ (laminar, $10^4$ – $10^9$ ), $\mathrm{Nu} = 0.10\,\mathrm{Ra}^{1/3}$ (turbulenta, $10^9$ – $10^{13}$ ). Todo el rango: Churchill–Chu.
Placa horizontal caliente, hacia arriba: $\mathrm{Nu} = 0.54\,\mathrm{Ra}^{1/4}$ ( $10^4$ – $10^7$ ), $0.15\,\mathrm{Ra}^{1/3}$ ( $10^7$ – $10^{11}$ ).
Placa horizontal caliente, hacia abajo: $\mathrm{Nu} = 0.27\,\mathrm{Ra}^{1/4}$ .
Recinto calentado por debajo: por encima de $\mathrm{Ra}_c = 1708$ , celdas de Bénard.

En una placa horizontal la longitud es área sobre perímetro, $L = A_s/P$ . Con el exponente turbulento 1/3, $\mathrm{Nu}$ escala como $\mathrm{Ra}^{1/3}$ y $\mathrm{Ra}$ escala como $L^3$ , así que $L$ sale de $h = \mathrm{Nu}\,k/L$ . El coeficiente de transferencia de la convección natural turbulenta no depende del tamaño. La placa de 0.30 m de arriba todavía no tiene la altura de esa cancelación.

El exponente turbulento sobre 7.03e7 recorta el flujo de calor#

Poner 1/3 sobre esta impresión baja Nu 54.9 hasta cerca de 41.3, y 197.6 hasta cerca de 149. Ese exponente borra la altura, y los 0.30 m desaparecen con ella. En la rama laminar la altura todavía mueve h.

1e9 llega solo cerca de 0.73 m. Con las celdas ya encendidas, cuánto de este flujo de calor sobrevive si quedan solo tres modos es la pregunta que carga el modelo de Lorenz que pliega los rollos en tres ecuaciones.