El peso va arriba y aun así se endereza — altura metacéntrica GM y efecto de superficie libre

El centro de gravedad de un portacontenedores queda varios metros por encima del centroide de su volumen sumergido. Lo pesado está arriba y el buque se endereza solo. En cambio, una barcaza con el centro de gravedad por debajo del centro de carena puede volcar. La relación arriba-abajo no decide nada. Este artículo trata de la magnitud que sí decide el caso — la altura metacéntrica $GM$ —, de dónde sale y por qué el líquido de un tanque puede borrarla por completo.

El centro de gravedad está por encima del de carena#

Primero los símbolos. $K$ es la quilla, $G$ el centro de gravedad y $B$ el centro de carena, es decir, el centroide del volumen sumergido. Arquímedes fijó solo la magnitud: el empuje vale lo que pesa el agua desplazada y su línea de acción pasa por el centroide de ese volumen.

En posición adrizada, $G$ y $B$ comparten la misma vertical. Peso y empuje son iguales y opuestos, de modo que el momento es cero. En ese estado da lo mismo que $G$ esté alto o bajo. La estabilidad no se define por el estado en reposo, sino por lo que aparece al inclinar el cuerpo un poco.

Al escorar cambia todo. $B$ es el centroide de la forma sumergida, así que si esa forma cambia, $B$ se desplaza con ella. $G$ gira con el buque, pero dentro de él no se mueve. Al separarse las dos verticales surge un brazo de momento. Ese brazo es el brazo adrizante $GZ$, y el momento adrizante vale $M = \Delta \cdot GZ$ para un desplazamiento $\Delta$.

Al escorar cambia la forma sumergida#

Conviene inclinarla a mano en la simulación de abajo. Se cambian manga, calado y altura del centro de gravedad, se pulsa release at 15 deg y se observa si vuelve.

$B$ (verde) es arrastrado hacia la banda baja, y la separación que se abre respecto de la vertical por $G$ (amarillo) es $GZ$. El punto morado $M$ es donde la línea de empuje corta la crujía del buque. Al subir el deslizador KG por encima de 7.33 m, $M$ cae por debajo de $G$: en lugar de volver, la barcaza queda tumbada a un ángulo fijo.

$BM = I/\nabla$ — todo está en la inercia del plano de flotación#

Con una escora pequeña $\phi$, el cambio de la forma sumergida se reduce a dos cuñas: una que emerge en la banda alta y otra que se sumerge en la banda baja. Sus volúmenes son iguales, porque el desplazamiento no puede cambiar, y están separadas transversalmente. Ese trasvase de volumen es lo que mueve $B$.

Sea una franja $dA$ del plano de flotación (la sección con la que la superficie del agua corta el casco) a una distancia $x$ de la crujía. Aporta un cambio de volumen $x\phi\,dA$ y un momento $x^2\phi\,dA$. Al sumar sobre todo el plano aparece un momento de inercia de área.

$I$ es el momento de inercia del plano de flotación respecto de la crujía y $\nabla$ el volumen desplazado. Para una sección rectangular de manga $b$, por unidad de eslora $I = b^3/12$ y $\nabla = b\,T$, de modo que

La manga entra al cubo y luego el $\nabla$ del denominador cancela una potencia y deja un cuadrado. Ensanchar el casco un 20% aumenta $BM$ un 44%. Por eso una canoa es inestable y una balsa no. Y el criterio cabe en una línea.

$KB$ es la altura del centro de carena y $KG$ la del centro de gravedad. Con $GM > 0$ el buque se adriza; con $GM < 0$ vuelca. Para una barcaza de manga $b = 16$ m y calado $T = 4$ m resulta $KB = 2.0$ m y $BM = 5.333$ m, es decir $KM = 7.333$ m. Si $KG$ vale 6.6 m, todo el margen es de 0.733 m.

El ángulo en que $GM \sin\phi$ traiciona#

$GM$ es una pendiente en $\phi \to 0$. A ángulos pequeños, $GZ \approx GM \sin\phi$ funciona bien. Lo interesante es cuándo deja de funcionar.

Ese punto lo fija la geometría, porque $I$ solo permanece constante mientras el plano de flotación no cambia. La barcaza anterior tiene 4 m de francobordo, así que el trancanil se sumerge en $\tan\phi = 2 \times 4/16$, o sea 26.6 grados. A partir de ahí el plano de flotación deja de ensancharse y empieza a encogerse. $BM$ se derrumba y la curva $GZ$ se dobla.

Al pulsar hold heel en la simulación y pasar de 30 grados se ve cómo la curva verde continua (el valor exacto) se despega de la recta morada discontinua ($GM\sin\phi$). La escora en que ambas discrepan de signo es el ángulo de estabilidad nula.

El líquido de un tanque se lleva todo el GM#

Ahora se coloca un tanque con líquido dentro del casco. Tanques de lastre, de combustible, de carga, o una cubierta de vehículos inundada con agua contra incendios: el problema es el mismo.

El peso del líquido no cambia al escorar. Solo se desplaza. Y ese desplazamiento arrastra $G$ hacia la banda baja. La contabilidad es idéntica a la de $BM$: la superficie libre del tanque también es un plano de flotación, y al escorar se intercambian dos cuñas.

$i$ es el momento de inercia de la superficie libre del tanque, $\rho_f$ la densidad del líquido interior y $\rho$ la del agua exterior. La pérdida no se resta del casco: se trata como una subida virtual de $G$ de esa misma magnitud. Cuánto líquido contiene el tanque no aparece en la fórmula. Salvo que esté prensado sin superficie libre o completamente vacío, 20 cm de líquido cuestan exactamente lo mismo que 2 m.

Conviene mover el deslizador de mamparos que aparece abajo.

El amarillo es el líquido. Su superficie se mantiene horizontal haga lo que haga el casco. Con n = 1, al soltarla no regresa: queda tumbada en un ángulo de escora permanente (angle of loll). Basta un mamparo para que la barra roja de pérdida caiga a la cuarta parte y la barcaza se levante.

Un mamparo reduce la pérdida a la cuarta parte#

Al dividir un tanque de ancho $b_t$ en $n$ compartimentos, cada uno mide $b_t/n$ y hay $n$ de ellos.

La pérdida cae como $1/n^2$, no como $1/n$: el cubo del ancho vence a la primera potencia del número. Un solo tanque de 12 m en la barcaza anterior da $i = 144$ m⁴ frente a $\nabla = 64$ m³/m, luego $\delta GM = 2.195$ m. Los 0.733 m de $GM$ habían desaparecido mucho antes. Un único mamparo en crujía baja la pérdida a 0.549 m y la barcaza vuelve a levantarse.

Para eso está el mamparo longitudinal en el centro de un petrolero. Ni la carga ni la altura del centro de gravedad cambian. Solo se reduce a la mitad el ancho de cada superficie libre.

La curva GZ y el ángulo de estabilidad nula, en Python#

$GM$ es una única pendiente tangente. A ángulos grandes sale más rápido recortar el polígono sumergido y tomar su centroide. Se representa la sección del casco como polígono, se busca por bisección la altura de flotación que iguala el área sumergida al área desplazada y se calcula el centroide de lo que queda.

import math
 
def poly_area_centroid(poly):
    a = cx = cy = 0.0
    n = len(poly)
    for i in range(n):
        x0, y0 = poly[i]
        x1, y1 = poly[(i + 1) % n]
        cr = x0 * y1 - x1 * y0
        a += cr
        cx += (x0 + x1) * cr
        cy += (y0 + y1) * cr
    a *= 0.5
    if abs(a) < 1e-14:
        return 0.0, 0.0, 0.0
    return a, cx / (6 * a), cy / (6 * a)
 
def clip_below(poly, phi, h):
    """conserva la parte del poligono cuya altura en tierra es menor que h"""
    def f(p):
        return p[1] * math.cos(phi) - p[0] * math.sin(phi) - h
    out = []
    n = len(poly)
    for i in range(n):
        p, q = poly[i], poly[(i + 1) % n]
        fp, fq = f(p), f(q)
        if fp <= 0.0:
            out.append(p)
        if (fp < 0.0) != (fq < 0.0):
            t = fp / (fp - fq)
            out.append((p[0] + t * (q[0] - p[0]), p[1] + t * (q[1] - p[1])))
    return out
 
def waterline_offset(poly, phi, area0):
    """biseccion de la altura de flotacion que sumerge exactamente area0"""
    lo, hi = -60.0, 60.0
    for _ in range(80):
        mid = 0.5 * (lo + hi)
        a, _, _ = poly_area_centroid(clip_below(poly, phi, mid))
        if a < area0:
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    return 0.5 * (lo + hi)
 
def righting_arm(beam, depth, draft, kg, phi):
    hull = [(-beam / 2, 0.0), (beam / 2, 0.0), (beam / 2, depth), (-beam / 2, depth)]
    h = waterline_offset(hull, phi, beam * draft)
    _, xb, yb = poly_area_centroid(clip_below(hull, phi, h))
    return xb * math.cos(phi) + (yb - kg) * math.sin(phi), xb, yb
 
def gz_curve(beam, depth, draft, kg, deg_max=70, step=1):
    return [(d, righting_arm(beam, depth, draft, kg, math.radians(d))[0])
            for d in range(0, deg_max + 1, step)]
 
BEAM, DEPTH, DRAFT = 16.0, 8.0, 4.0
KG = 6.6
KB = DRAFT / 2
BM = BEAM ** 2 / (12 * DRAFT)
GM = KB + BM - KG
print(f"KB={KB:.3f} m  BM=B^2/12T={BM:.3f} m  KM={KB+BM:.3f} m  KG={KG:.3f} m  GM={GM:.3f} m")
print(f"deck edge immerses at phi = {math.degrees(math.atan(2*(DEPTH-DRAFT)/BEAM)):.1f} deg")
print()
print(" phi[deg]   GZ[m]   GM*sin(phi)[m]   error[%]")
for d, gz in gz_curve(BEAM, DEPTH, DRAFT, KG, 60, 5):
    lin = GM * math.sin(math.radians(d))
    err = f"{100 * (lin - gz) / gz:8.1f}" if abs(gz) > 0.01 else "       -"
    print(f"  {d:5.1f}   {gz:7.4f}   {lin:11.4f}   {err}")
 
curve = gz_curve(BEAM, DEPTH, DRAFT, KG, 70, 1)
dmax, gzmax = max(curve, key=lambda t: t[1])
vanish = next((d for d, g in curve if d > 5 and g <= 0.0), None)
print()
print(f"max GZ = {gzmax:.3f} m at {dmax} deg,  vanishing stability at {vanish} deg")

KB=2.000 m  BM=B^2/12T=5.333 m  KM=7.333 m  KG=6.600 m  GM=0.733 m
deck edge immerses at phi = 26.6 deg
 
 phi[deg]   GZ[m]   GM*sin(phi)[m]   error[%]
    0.0    0.0000        0.0000          -
    5.0    0.0657        0.0639       -2.7
   10.0    0.1417        0.1273      -10.2
   15.0    0.2394        0.1898      -20.7
   20.0    0.3716        0.2508      -32.5
   25.0    0.5550        0.3099      -44.2
   30.0    0.7207        0.3667      -49.1
   35.0    0.6823        0.4206      -38.4
   40.0    0.5196        0.4714       -9.3
   45.0    0.2828        0.5185       83.3
   50.0    0.0001        0.5618          -
   55.0   -0.3116        0.6007     -292.8
   60.0   -0.6406        0.6351     -199.1
 
max GZ = 0.727 m at 31 deg,  vanishing stability at 51 deg

A 5 grados el error es del 2.7%. A 30 grados, $GM\sin\phi$ entrega apenas la mitad del $GZ$ real, porque el plano de flotación sigue ensanchándose hasta que la cubierta se sumerge y el brazo adrizante real supera la estimación lineal. Pasados los 45 grados el signo del error se invierte y la estimación lineal empieza a mentir del lado peligroso: a 50 grados el $GZ$ real es cero mientras $GM\sin\phi$ todavía promete 0.56 m.

La pérdida por superficie libre se puede comprobar sin recortar ningún polígono. Antes de que la cubierta se sumerja los costados son verticales y el brazo adrizante tiene forma cerrada. La pérdida es una subida virtual, así que se resta $\delta GM$ de $GM$ y se introduce ese valor.

import math
 
BEAM, DRAFT, KG = 16.0, 4.0, 6.6
NABLA = BEAM * DRAFT
BM = BEAM ** 2 / (12 * DRAFT)
GM = DRAFT / 2 + BM - KG
 
def free_surface_loss(rho_f, rho, b, n, nabla):
    """perdida por superficie libre [m] de un tanque de ancho b con n mamparos"""
    i_free = n * (b / n) ** 3 / 12
    return rho_f * i_free / (rho * nabla)
 
def wall_sided_gz(gm, bm, phi):
    """brazo adrizante mientras los costados siguen verticales"""
    return (gm + 0.5 * bm * math.tan(phi) ** 2) * math.sin(phi)
 
print(" tanks   i[m^4]   dGM[m]   GM_eff[m]   GZ(20deg)[m]")
for n in (1, 2, 3, 4):
    d_gm = free_surface_loss(1000.0, 1025.0, 12.0, n, NABLA)
    gz20 = wall_sided_gz(GM - d_gm, BM, math.radians(20))
    print(f"  {n:4d}  {n*(12.0/n)**3/12:7.1f}  {d_gm:7.3f}   {GM-d_gm:8.3f}   {gz20:11.3f}")

 tanks   i[m^4]   dGM[m]   GM_eff[m]   GZ(20deg)[m]
     1    144.0    2.195     -1.462        -0.379
     2     36.0    0.549      0.185         0.184
     3     16.0    0.244      0.489         0.288
     4      9.0    0.137      0.596         0.325

Un mamparo lleva $i$ de 144 a 36, exactamente la cuarta parte. El brazo adrizante a 20 grados cambia de signo, de −0.379 m a +0.184 m. La forma cerrada empleada aquí, $GZ = (GM + \tfrac{1}{2}BM\tan^2\phi)\sin\phi$, coincide con el cálculo por polígonos mientras la cubierta siga seca: sin pérdida alguna da 0.3716 m a 20 grados, el mismo número de la tabla anterior.

Antes de poner un casco a flotar en un cálculo 6-DOF con VOF#

En cuanto un cuerpo flotante se resuelve con CFD, cada uno de estos números se convierte en un control sobre el solver.

Primero, conviene calcular $GM$ a mano antes de fijar el calado inicial. Con la superficie libre capturada por VOF (comparación de métodos de captura de interfaz) y el movimiento de sólido rígido de 6 grados de libertad acoplado (FEM de sólido rígido con cuaterniones), el casco oscila por sí solo. Si el periodo de esa oscilación libre amortiguada, $T_\phi = 2\pi k/\sqrt{g\,GM}$ con $k$ el radio de giro de balance, no coincide con el valor a mano, hay que sospechar de la malla o de la inercia introducida.

Segundo, la resolución de malla se come $BM$ directamente. $BM$ es una integral ponderada por $x^2$ sobre el plano de flotación, así que las celdas próximas al costado son las que más aportan. Si la superficie libre se difumina sobre dos o tres celdas, el ancho efectivo del plano de flotación se emborrona y el momento adrizante queda subestimado. Refinar localmente en torno a la línea de flotación sale barato.

Tercero, si el cálculo se hace con los tanques llenos, la pérdida por superficie libre aparece sola, y aparece junto con el sloshing. Cuando el líquido se desfasa respecto del movimiento del casco, el resultado puede ser peor o mejor que el $\delta GM$ cuasiestático. Ahí es donde los tratamientos implícitos de la superficie libre se ganan el sueldo (el Newton anidado de Casulli–Zanolli). El cálculo a mano sigue siendo válido en ese caso. Solo deja de ser la respuesta: pasa a ser la referencia con la que desconfiar del resultado.