Cuánto debe fluir el agua antes de volverse una parábola — Longitud de entrada y Hagen–Poiseuille

Al abrir del todo un grifo, el chorro se mantiene liso durante un tramo. Dentro de una tubería ocurre algo parecido. En la entrada, el agua casi no siente la pared. Su perfil es casi plano. Pero tras fluir un poco, la velocidad de la sección se acomoda en una parábola suave. El tramo intermedio es el protagonista de hoy.

Al mover Re de 100 a 2000, la línea naranja fully developed se desplaza a la derecha.

Mientras esa línea recorre de cinco a cien diámetros, el perfil plano de entrada todavía no es una parábola. La velocidad en el eje llega al doble de la media solo aguas abajo de la línea.

La distancia que tarda la pared en difundir la noticia#

En la pared el fluido no se desliza (no-slip: velocidad nula en la superficie). Esa condición no alcanza toda la sección de inmediato en la entrada.

Al principio solo se forma una capa límite delgada (la capa cercana a la pared donde la velocidad cambia bruscamente). A medida que el flujo avanza, esa capa crece hacia adentro. En el instante en que las capas límite superior e inferior se encuentran en el centro, el perfil deja de cambiar. Desde ese punto el flujo se llama completamente desarrollado (fully developed).

La distancia desde la entrada hasta el desarrollo completo es la longitud de entrada hidrodinámica $L_h$. En flujo laminar la fijan el diámetro $D$ y el número de Reynolds (razón entre fuerzas inerciales y viscosas).

Aquí $u_m$ es la velocidad media de la sección, $\rho$ la densidad y $\mu$ la viscosidad. Con $\mathrm{Re}_D=2000$ la longitud de entrada llega a 100 diámetros. Si en una línea de laboratorio delgada se elige mal el punto de medición, se mide un flujo que aún se está desarrollando.

Conviene sustituir los números. Con $\mathrm{Re}_D=2000$, $L_h/D\approx0.05\times2000=100$. Una tubería de 2 cm necesita entonces 2 m. El script usa $\mathrm{Re}=1600$ y $D=0.02$ m, así que $0.05\times1600\times0.02=1.60$ m, ochenta diámetros. Una estación a 0.80 m, o $40D$, está a mitad de camino. Esa sección todavía no está desarrollada. La velocidad en el eje no llega a $2u_m=0.160$ m/s. Con $\mathrm{Re}_D=100$, $L_h/D\approx5$: 10 cm en la misma tubería. Un tubo corto de mesa queda prácticamente desarrollado a ese Reynolds. Si sube el caudal y la tubería no cambia, la misma toma pasa de desarrollada a todavía en desarrollo.

La parábola de la región desarrollada — Hagen–Poiseuille#

Una vez completamente desarrollado, la velocidad axial deja de cambiar. Se cumple $\partial u/\partial x = 0$ y la velocidad radial $v=0$. La ecuación de cantidad de movimiento en coordenadas cilíndricas se simplifica.

El gradiente de presión $dp/dx$ es constante. Se imponen $u(R)=0$ en la pared y $du/dr=0$ en el centro, y se integra dos veces.

Aquí $R=D/2$ es el radio de la tubería y $r$ la distancia al centro. El resultado es limpio. La velocidad en el eje es exactamente el doble de la media. Esta parábola es el flujo de Hagen–Poiseuille.

En $r=0$ el perfil da $u=2u_m$. Con $u_m=0.08$ m/s el eje queda en 0.160 m/s. El radio donde $u=u_m$ es $r/R=1/\sqrt{2}$. En la pared, $r=R$, la velocidad es cero. El gradiente que cierra esta parábola es $dp/dx=-32\mu u_m/D^2$. Con $\mu=10^{-3}$ y $D=0.02$, $D^2=4\times10^{-4}$, y $-32\times10^{-3}\times0.08/(4\times10^{-4})=-6.40$ Pa/m. Diez metros de esa pendiente son 64 Pa. Ochenta metros son 512 Pa. La recta vale solo después del desarrollo completo. Dentro del primer 1.60 m la capa límite todavía saca cantidad de movimiento del núcleo y lo acelera, así que la caída de presión es más pronunciada que esta recta.

Por qué la presión cae a un ritmo constante — el factor de fricción#

Al promediar la parábola sobre la sección, la velocidad media queda ligada directamente al gradiente de presión.

Un gradiente constante significa que la presión baja de forma lineal a lo largo de la tubería. Al empaquetar esa pérdida en un número adimensional se obtiene el factor de fricción de Darcy $f$.

El factor de fricción laminar depende solo del número de Reynolds. La rugosidad de la tubería no interviene. Abajo, deslizar el número de Reynolds mueve el punto a lo largo de la curva del factor de fricción.

Para $\mathrm{Re}_D<2300$ el punto sigue con exactitud la recta $64/\mathrm{Re}$. Al cruzar el umbral, la curva se dobla y cambia a otra ley.

El umbral de 2300 — de laminar a turbulento#

Cuando $\mathrm{Re}_D$ supera unos 2300, el flujo antes liso se rompe. Se mezclan remolinos y transiciona a turbulencia. Cómo se parte ese umbral dentro de una tubería está en el Reynolds donde un chorro liso se desordena.

En flujo turbulento la longitud de entrada se acorta. $L_h/D$ se queda entre 10 y 60, frente a los cien del laminar. A cambio, la fricción sube. Una correlación empírica para tubería lisa es la ley de Blasius.

El exponente se suaviza de $-1$ a $-1/4$. Aunque suba el número de Reynolds, la fricción ya no cae tan rápido como antes. Hay que empujar el mismo caudal con más presión.

Reproducir en Python la longitud de entrada y la fricción#

Conviene seguir una tubería pequeña con números.

import numpy as np
 
def entrance_length(Re, D):
    # longitud de entrada hidrodinamica laminar [m]
    return 0.05 * Re * D
 
def poiseuille_profile(r, R, u_mean):
    # perfil de velocidad laminar desarrollado (Hagen-Poiseuille)
    return 2.0 * u_mean * (1.0 - (r / R) ** 2)
 
def darcy_friction(Re):
    # factor de friccion laminar (Re < 2300)
    return 64.0 / Re
 
D = 0.02          # diametro de tuberia [m]
rho, mu = 1000.0, 1e-3
u_mean = 0.08     # velocidad media [m/s]
 
Re = rho * u_mean * D / mu
print(f"Re = {Re:.0f}")                                 # Re = 1600
print(f"longitud de entrada = {entrance_length(Re, D):.2f} m")   # 1.60 m
print(f"velocidad en el eje = {poiseuille_profile(0, D/2, u_mean):.3f} m/s")  # 0.160
dpdx = -32 * mu * u_mean / D**2
print(f"gradiente de presion = {dpdx:.2f} Pa/m")        # -6.40 Pa/m
print(f"factor de friccion f = {darcy_friction(Re):.4f}")  # 0.0400

Una tubería de 2 cm y, aun así, la longitud de entrada es de 1.6 m: 80 diámetros. La mayoría de los tubos cortos de mesa manejan flujo que todavía se está desarrollando.

Una toma antes de la longitud de entrada#

Si la toma de presión queda antes de $L_h$, $dp/dx=-32\mu u_m/D^2$ todavía no es constante. El $\mathrm{Re}=1600$, el $f=0.0400$ y el gradiente $-6.40$ Pa/m del script pertenecen al tramo ya desarrollado. Usar la misma fórmula dentro del primer 1.60 m deja la pérdida corta. Cerca de la entrada el núcleo sigue acelerando y la caída de presión es más pronunciada.

Al cruzar a turbulencia la entrada se acorta y la fricción crece. Pasado un $\mathrm{Re}_D$ de unos 2300, $L_h/D$ queda entre 10 y 60. La fricción abandona $64/\mathrm{Re}$ y sube al ajuste de Blasius $0.316\,\mathrm{Re}_D^{-1/4}$. Con $\mathrm{Re}_D=10^4$, $64/\mathrm{Re}_D=0.0064$, y la raíz cuarta de $10^4$ es 10, así que $0.316\times0.1=0.0316$. Unas cinco veces más. Que la tubería sea corta no justifica conservar la fórmula laminar. La altura de la bomba se queda corta. El cortante de pared que sigue hasta la separación de un flujo exterior es el tema de por qué una pelota rugosa llega más lejos.