Olas colgadas en el cielo — La inestabilidad de Kelvin-Helmholtz

Con densidades iguales y sin gravedad ni tensión, sigma vale k por ΔU sobre 2 y las ondas cortas se disparan.

De vez en cuando el cielo luce una hilera de olas marinas como congeladas. Crestas en gancho, alineadas como rompientes. En una foto parecen un montaje. Son nubes reales. Nubes de Kelvin-Helmholtz. El aire copia el instante justo antes de que una ola rompa.

Los ganchos salen de una frontera delgada donde una corriente rápida se encuentra con una lenta. Una capa de cizalla. Esa frontera no se queda plana. Cuándo se enrolla y cuándo permanece quieta cabe en una sola fórmula de tasa de crecimiento. Al final una capa delgada de vórtices se enrolla a mano.

Al mover los controles de cizalla $\Delta U$ , razón de densidades, gravedad y tensión superficial, la curva de crecimiento se tumba en el suelo o la banda naranja se estrecha por ambos lados.

UNSTABLE — fastest growth at λ* ≈ 0.79 cm (σ ≈ 597.78 /s)

Shear ΔU: 8.0 m/sρ_upper/ρ_lower: 1.0e-2Gravity g: 9.8Surface tension T: 0.072

Con $\Delta U$ cerca de 6 la curva pasa a "STABLE". Al subir gravedad o tensión superficial, la banda inestable se acorta por los dos extremos. Con la razón de densidades cerca de 1, una cizalla débil ya dispara la curva.

Olas colgadas en el cielo#

Las nubes de Kelvin-Helmholtz no son el único lugar donde esto ocurre. Lo mismo sucede por todas partes. Las costuras donde se separan las bandas de Júpiter, las ondas internas donde el agua de mar de distinta densidad se desliza sobre sí misma, la breve espiral al verter leche en el café. Incluso el punto donde una cinta de humo de cigarrillo que sube recta se dispersa de golpe sigue la misma regla.

Comparten un solo ingrediente. Dos capas de fluido fluyen lado a lado a velocidades distintas. La capa superior rápida, la inferior lenta. La frontera delgada entre ambas se desliza. Ese deslizamiento —la cizalla— es la semilla.

La intuición dice que las dos corrientes deberían pasar deslizándose una junto a otra. No es así. Basta una ondulación mínima en la frontera para que esa ondulación crezca por sí sola. Esta es la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz (una inestabilidad de la interfaz provocada por la cizalla).

Qué ocurre cuando dos corrientes se deslizan#

Supongamos que sobre la frontera se levanta un pequeño montículo. La corriente rápida de arriba debe pasar por encima. El paso sobre la cresta se estrecha. Para que el caudal se mantenga, el fluido se acelera donde el paso es angosto.

Más rápido significa menor presión. Es el principio de Bernoulli (donde el flujo es rápido, la presión es baja). La menor presión sobre la cresta succiona la cresta aún más hacia arriba. En el valle ocurre lo contrario: el flujo se frena, la presión sube y el valle se hunde más.

En resumen: la cresta sube más y el valle cava más hondo. Una ondulación pequeña se alimenta a sí misma, una retroalimentación positiva. Una vez que empieza, no se detiene. Ese es el mecanismo central de la inestabilidad.

Un malentendido frecuente: "Agua pesada abajo, aire ligero arriba, ¿no es eso estable?". Solo por gravedad, sí. Pero una cizalla suficientemente fuerte vence el efecto estabilizador de la gravedad. Hasta una estratificación estable colapsa frente a un viento fuerte.

La relación de dispersión — Qué longitudes de onda crecen#

Este forcejeo se condensa en una sola ecuación. Una capa superior (densidad $\rho_1$ ) y una inferior (densidad $\rho_2$ ) se deslizan a velocidad relativa $\Delta U$ , con la gravedad $g$ y la tensión superficial $T$ actuando sobre la interfaz. La rapidez con que crece una ondulación de número de onda $k$ (ondas por unidad de longitud) —su tasa de crecimiento $\sigma$ — es:

\sigma(k) = k\sqrt{\frac{\rho_1\rho_2}{(\rho_1+\rho_2)^2}(\Delta U)^2 - \frac{g(\rho_2-\rho_1)}{(\rho_1+\rho_2)\,k} - \frac{T k}{\rho_1+\rho_2}}

$\sigma$ es la velocidad con que la ondulación se agranda. El primer término bajo la raíz es la cizalla (desestabiliza), el segundo es la gravedad (el fluido pesado abajo estabiliza) y el tercero es la tensión superficial (tensa la interfaz y estabiliza).

Si el radicando es positivo, $\sigma$ es real y la ondulación crece de forma exponencial. Si es negativo, $\sigma$ es imaginario: la ondulación solo oscila y no crece. La condición de inestabilidad es que el radicando sea positivo, es decir, que la cizalla venza a los otros dos términos.

\frac{\rho_1\rho_2}{\rho_1+\rho_2}(\Delta U)^2 > \frac{g(\rho_2-\rho_1)}{k} + T k

El caso más puro queda así. Si las dos capas tienen igual densidad ( $\rho_1=\rho_2=\rho$ ) y no hay gravedad ni tensión superficial, la fórmula se reduce a algo sorprendentemente simple.

\sigma = \frac{k\,\Delta U}{2}

Cuanto mayor es el número de onda —cuanto más corta la longitud de onda— más rápido crece. Sin ningún freno, longitudes de onda arbitrariamente cortas se disparan. En el flujo real, la viscosidad corta esta fuga en el extremo de las longitudes de onda cortas.

La gravedad y la tensión superficial pisan el freno#

Los dos frenos detienen longitudes de onda distintas. El término de gravedad va como $1/k$ , así que suprime las ondas largas (pequeño $k$ ). El término de tensión superficial va como $k$ , así que suprime las ondas cortas (gran $k$ ). En medio sobrevive una banda de longitudes de onda inestables.

Si la cizalla es débil, esa banda nunca se abre. Al aumentar la cizalla, en cierto momento la inestabilidad irrumpe primero en una longitud de onda concreta. Ese umbral es exactamente la velocidad mínima de viento a la que una brisa empieza a levantar olas en una superficie en calma.

\Delta U_{\min}^2 = \frac{2(\rho_1+\rho_2)}{\rho_1\rho_2}\sqrt{g\,T\,(\rho_2-\rho_1)}

Con aire y agua se obtiene $\Delta U_{\min} \approx 6.6\ \mathrm{m/s}$ , y la primera longitud de onda en irrumpir ronda 1.7 cm. Kelvin lo calculó en el siglo XIX. (Una superficie de agua real se riza también a velocidades de viento menores, por la viscosidad: un límite de la teoría ideal.)

Para un flujo estratificado de forma continua, el veredicto lo da el número de Richardson (la razón entre flotabilidad y cizalla). $\mathrm{Ri} = N^2/(dU/dz)^2$ , donde $N$ es la frecuencia de flotabilidad. El teorema de Miles-Howard dice que la inestabilidad es posible en algún punto por debajo de $\mathrm{Ri} < 1/4$ . Es el criterio práctico para predecir cuándo estalla la turbulencia en la atmósfera y el océano.

La banda naranja de la curva de arriba es la ventana que se abre por primera vez en este umbral. La velocidad dentro del núcleo ya enrollado se solapa con el reparto de vórtices forzados y libres.

Dibujar la curva de crecimiento en Python#

Al pasar la fórmula directamente a código se puede leer qué longitud de onda crece primero a cualquier velocidad de viento.

import math
 
def kh_growth_rate(k, dU, rho_u, rho_l, g=9.81, T=0.072):
    """Tasa de crecimiento sigma(k) de un modo de Kelvin-Helmholtz."""
    shear   = rho_u * rho_l * dU**2 / (rho_u + rho_l)**2   # desestabiliza (cizalla)
    gravity = g * (rho_l - rho_u) / ((rho_u + rho_l) * k)  # estabiliza ondas largas
    tension = T * k / (rho_u + rho_l)                      # estabiliza ondas cortas
    disc = shear - gravity - tension
    return k * math.sqrt(disc) if disc > 0 else 0.0
 
rho_air, rho_water = 1.225, 1000.0
ks = [1 + 0.2 * i for i in range(4000)]
for dU in (3.0, 6.6, 10.0):
    s = [kh_growth_rate(k, dU, rho_air, rho_water) for k in ks]
    smax = max(s)
    if smax > 0:
        kstar = ks[s.index(smax)]
        lam = 2 * math.pi / kstar * 100   # cm
        print(f"dU={dU:4.1f} m/s -> unstable, lambda*={lam:5.2f} cm, sigma_max={smax:6.2f} /s")
    else:
        print(f"dU={dU:4.1f} m/s -> stable (no waves)")

El resultado de ejecutarlo es:

dU= 3.0 m/s -> stable (no waves)
dU= 6.6 m/s -> unstable, lambda*= 1.69 cm, sigma_max=  4.89 /s
dU=10.0 m/s -> unstable, lambda*= 0.78 cm, sigma_max=183.30 /s

Al subir el control del número de vórtices y el de la cizalla $\Delta U$ , cambian a la vez la velocidad del enrollamiento y el espaciado de los ganchos.

Billows: 2Shear ΔU: 1.0Bump: 0.03

Una línea suave se enrosca en un ojo de gato en pocos segundos. Con más $\Delta U$ enrolla más rápido. Con más vórtices los ganchos se parten más finos. Reset devuelve una onda plana.

Con un viento de 3 m/s la superficie sigue en calma. Al cruzar 6.6 m/s, la primera ondulación tiene $\lambda^*=1.69$ cm y $\sigma_{\max}=4.89$ /s. A 10 m/s, $\lambda^*=0.78$ cm y $\sigma_{\max}=183.30$ /s. El viento solo sube unas 1.5 veces, de 6.6 a 10. La tasa de crecimiento salta unas 37 veces, de 4.89 a 183.30. Justo sobre el umbral el radicando es delgado.

Los 1.69 cm impresos son $k=2\pi/0.0169$ , cerca de $372\ \mathrm{m}^{-1}$ . Si ese $k$ y $\Delta U=6.6$ entran en la fórmula sin frenos $\sigma=k\Delta U/2$ , $\sigma$ cae en los miles por segundo. El 4.89 /s impreso es otro orden. A 6.6 m/s la cizalla casi cancela gravedad y tensión superficial. Las densidades son aire 1.225 y agua 1000, con $g=9.81$ y $T=0.072$ . Esos cuatro números fabrican $\Delta U_{\min}\approx 6.6$ m/s. La caída de 1.69 cm a 0.78 cm quiere decir que el lado corto empieza a ganar.

El ojo aparece después de la etapa lineal#

La teoría lineal aguanta mientras el montículo sigue pequeño. Cuando la cresta es grande, la historia cambia. La interfaz no se detiene en una onda. Se enrolla entera. La capa delgada de vórtices forma un tren. Esa es la nube en gancho, el ojo de gato de Stuart (cat's eye).

La fórmula de la tasa de crecimiento solo ve la etapa lineal, la primera subida de la ondulación. El ojo de gato es no lineal. La interfaz tira de sí misma. Cada marca arrastra a las vecinas con una velocidad inducida no viscosa. La ondulación se levanta. Después se enrolla.

Por encima de Ri igual a 1/4, la cizalla sola no enrolla#

Si $\mathrm{Ri}=N^2/(dU/dz)^2$ queda por encima de 1/4, el teorema de Miles-Howard no permite la inestabilidad. La estratificación sujeta la cizalla. En una interfaz aire-agua la salida es estable siempre que $\Delta U$ esté bajo 6.6 m/s. La línea de 3 m/s no abre ninguna onda.

La misma interfaz, partida en gotas solo por la tensión, es la ruptura de Plateau–Rayleigh de un chorro. Aquí la pregunta es si la cizalla vence esa tensión. Sin frenos, como en $\sigma=k\Delta U/2$ , las ondas cortas ganan sin límite. La viscosidad corta ese extremo. Un gancho en el cielo significa que la cizalla ya ganó, antes de ese corte.