¿Por qué el chorro de agua se rompe en gotas? — Inestabilidad de Plateau-Rayleigh y regímenes de ruptura

18 ms en un chorro de 1 mm a 1 m/s sitúan el estrangulamiento a 1,8 cm, no a los 10 cm bajo el grifo.

El grifo de la cocina queda a medias. El primer palmo es una columna lisa. A unos 10 cm se corta en gotas regulares. La escena es diaria. Por qué un continuo se parte solo no tiene una respuesta inmediata.

En 1849 Plateau se quedó con las longitudes que reducen el área. En 1879 Rayleigh eligió, de la relación de dispersión, la que crece más rápido. Las boquillas de motor y los cabezales de impresión siguen puntuando el resultado con el número de Weber (inercia sobre tensión superficial) y el de Ohnesorge (viscosidad sobre inercia y tensión superficial). Unos chorros quedan en gotas gruesas. Otros pasan a niebla.

Al mover el deslizador del número de onda $kR$ , la longitud sembrada en la columna se desplaza junto con el punto de la curva de crecimiento.

파수 kR =0.70Ohnesorge =0.02

kR은 파장 λ를 반지름으로 나눈 값(λ = 2πR/kR). kR < 1이면 Plateau 조건을 만족해 불안정, 가장 빠른 성장은 kR ≈ 0.697에서 발생한다. Ohnesorge를 올리면 점성이 커져 성장이 느려진다.

Al subir $kR$ de 0,2 a 0,7 el crecimiento se acelera y la columna se parte antes, y al pasar $kR = 1,1$ la curva se pega al suelo y la columna permanece lisa. Subir Ohnesorge de 0 a 0,4 solo frena el crecimiento, y el rango inestable de $kR$ no se mueve.

Por qué un continuo elige fragmentarse#

La tensión superficial es una fuerza que busca reducir el área superficial. Para un mismo volumen de líquido, la forma esférica es la que tiene la menor área. Por ello, una masa de agua forma una esfera en gravedad cero.

Entonces, un cilindro largo de líquido y una cadena de gotas creada al cortar ese cilindro en intervalos regulares (con el mismo volumen) no tienen la misma área. ¿Cuál queda con menos superficie? Contra la intuición, la cadena de gotas tiene un área menor, siempre que el intervalo de corte sea mayor que la circunferencia del cilindro. Esta es la razón por la cual una columna de agua se fragmenta: es el resultado natural de buscar un estado de menor energía.

La intuición geométrica de Plateau#

Plateau calculó el cambio en el área superficial de un cilindro de radio $R$ cuando se somete a una pequeña perturbación axial de longitud de onda $\lambda$ .

\Delta A \propto \left[1 - \left(\frac{2\pi R}{\lambda}\right)^{2}\right]

Aquí, $2\pi R/\lambda$ es el número de onda adimensional $kR$ (el producto del número de onda $k = 2\pi/\lambda$ y el radio). Si este valor es menor que 1, $\Delta A < 0$ , lo que significa que el área superficial disminuye a medida que la perturbación crece, resultando energéticamente favorable. Por el contrario, si es mayor que 1, $\Delta A > 0$ y la perturbación se disipa.

La condición se resume de forma sencilla:

\lambda > 2\pi R \ \Rightarrow \ \text{Inestable}, \qquad \lambda < 2\pi R \ \Rightarrow \ \text{Estable}

Solo crecen las longitudes de onda mayores que la circunferencia del cilindro. Este criterio se conoce como el límite de Plateau.

Estabilidad lineal de Rayleigh#

Plateau solo respondió "qué longitudes de onda pueden crecer". Treinta años después, Rayleigh identificó "qué longitud de onda crece más rápido" insertando una pequeña perturbación $\eta = \epsilon e^{\sigma t} \cos(kx)$ en las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos no viscosos para hallar la relación de dispersión.

\sigma^{2} = \frac{\sigma_{s}}{\rho R^{3}} \, kR \, \bigl(1 - (kR)^{2}\bigr) \, \frac{I_{1}(kR)}{I_{0}(kR)}

Donde $\sigma$ es la tasa de crecimiento (unidad $s^{-1}$ ), $\sigma_{s}$ es la tensión superficial (N/m), $\rho$ es la densidad del líquido e $I_{0}, I_{1}$ son funciones de Bessel modificadas. El término $1-(kR)^{2}$ en el paréntesis es exactamente el límite de Plateau.

El valor máximo ocurre en $kR \approx 0,697$ , lo que corresponde a una longitud de onda $\lambda_{\max} \approx 9,02 R$ . Una columna de agua prefiere cortarse en un periodo de aproximadamente 9 veces su radio. Este periodo explica casi a la perfección el espaciado de las gotas en un grifo común.

Si se incluye la viscosidad (como organizó Chandrasekhar), $\sigma$ disminuye, pero el límite de inestabilidad $kR < 1$ no cambia. La viscosidad solo ralentiza el crecimiento, pero no afecta las condiciones necesarias para la fragmentación.

Weber y Ohnesorge: El mapa de regímenes de ruptura#

Mientras que la explicación anterior es suficiente para flujos lentos como el de un grifo, los chorros de alta velocidad en cámaras de combustión de cohetes o inyectores diésel involucran la inercia del gas circundante. Aquí aparecen dos números adimensionales:

We = \frac{\rho_{g} U^{2} D}{\sigma_{s}}, \qquad Oh = \frac{\mu_{l}}{\sqrt{\rho_{l} \sigma_{s} D}}

$We$ es la relación entre la inercia del gas y la tensión superficial, y $Oh$ es la relación entre la viscosidad del líquido y la (inercia-tensión superficial). Al resumir los datos experimentales, un chorro atraviesa cuatro regímenes a medida que aumenta su velocidad.

Régimen	Fuerzas principales	Tamaño de gota vs diámetro de chorro	Ubicación de ruptura
Rayleigh breakup	Tensión superficial	Gota > Diámetro de chorro	Lejos de la boquilla
First wind-induced	Tensión superficial + Inercia del gas	Gota ≈ Diámetro de chorro	Cerca de la boquilla
Second wind-induced	Inercia del gas dominante	Gota < Diámetro de chorro	Muy cerca de la boquilla
Atomization	Desintegración por inercia pura	Gota ≪ Diámetro de chorro	Inmediata en la punta

Si $Oh$ es pequeño ( $< 0,1$ ), el régimen se define solo por $We$ . A medida que $Oh$ aumenta, se requieren correcciones por viscosidad y, en la práctica, se trazan límites usando números compuestos como $Oh(We)^{0,5}$ . Los grifos e impresoras suelen caer en la región de Rayleigh breakup. Los inyectores diésel buscan la Atomization, elevando $We$ por encima de $10^{5}$ . Cuando el chorro ya es gotas, el gas que las sigue desgarrando queda en el número de Weber y la analogía de Taylor. El $We$ de esta nota elige el régimen. Aquella sigue la oscilación de una sola gota.

El volumen de una longitud de onda fija el diámetro de la gota#

La longitud más rápida es $\lambda_{\max} \approx 9,02 R$ . El tramo que se corta tiene el volumen del cilindro $\pi R^{2}\lambda$ , es decir $9,02\pi R^{3}$ . La esfera del mismo volumen cumple $\frac{4}{3}\pi a^{3} = 9,02\pi R^{3}$ , de modo que $a^{3}/R^{3} = 9,02 \times 3/4 = 6,765$ . La raíz cúbica es cerca de 1,89. El diámetro de la gota queda alrededor de 1,9 diámetros del chorro. Por eso solo la fila de Rayleigh dice que la gota es más gruesa que el chorro.

La longitud donde se abre la inestabilidad es la circunferencia, y solo crece $\lambda > 2\pi R$ , unos $6,28 R$ . Entonces $9,02/6,28 \approx 1,44$ . El periodo más rápido es apenas un 44% más largo que la onda inestable más corta. Si la boquilla solo mete una arruga más corta, la columna permanece lisa.

El factor que encabeza $\sigma^{2}$ es $\sigma_{s}/(\rho R^{3})$ . Lo que multiplica a $kR$ depende solo del número de onda, así que el $\sigma$ máximo cae como $R^{-3/2}$ . El caso del código es un radio de 1 mm, $\sigma \approx 380\,\mathrm{s}^{-1}$ y unos 18 ms. A 1 m/s el estrangulamiento está a 1,8 cm. No es el tramo de 10–15 cm bajo el fregadero. Una columna más gruesa alarga el tiempo con la misma fórmula.

Búsqueda de la longitud de onda más rápida con Python#

Se traslada la relación de dispersión de Rayleigh usando funciones de Bessel para buscar numéricamente el número de onda óptimo. Se utilizan i0 e i1 de scipy.

import numpy as np
from scipy.special import i0, i1
from scipy.optimize import minimize_scalar
 
def rayleigh_sigma(kR, sigma_s=0.072, rho=1000.0, R=1e-3):
    """Tasa de crecimiento de Plateau-Rayleigh no viscoso (s^-1)."""
    if kR <= 0 or kR >= 1:
        return 0.0
    coeff = sigma_s / (rho * R**3)
    return np.sqrt(coeff * kR * (1 - kR**2) * i1(kR) / i0(kR))
 
def fastest_mode(R, sigma_s=0.072, rho=1000.0):
    """Número de onda y longitud de onda de crecimiento más rápido."""
    res = minimize_scalar(
        lambda x: -rayleigh_sigma(x, sigma_s, rho, R),
        bounds=(0.01, 0.99), method='bounded'
    )
    kR_star = res.x
    wavelength = 2 * np.pi * R / kR_star
    sigma = rayleigh_sigma(kR_star, sigma_s, rho, R)
    return kR_star, wavelength, sigma
 
if __name__ == "__main__":
    R = 1e-3          # Columna de agua de 1 mm de radio
    kR_star, lam, sig = fastest_mode(R)
    t_break = np.log(R / 1e-6) / sig   # Asumiendo ε_0 = 1 μm
    print(f"kR* = {kR_star:.3f}")
    print(f"lambda_max = {lam*1e3:.2f} mm  (= {lam/R:.2f} R)")
    print(f"sigma_max = {sig:.1f} /s")
    print(f"tiempo de ruptura ~ {t_break*1e3:.1f} ms")

El resultado es kR* ≈ 0,697, λ_max ≈ 9,02 R, σ_max ≈ 380 /s, y un tiempo de ruptura de unos 18 ms. Multiplicar por $U = 1\,\text{m/s}$ da 1,8 cm. Usar los 10-15 cm bajo el grifo como comprobación de este caso deja longitud de sobra. Con una semilla de 1 μm la amplitud crece mil veces; dividir $\ln 1000 \approx 6,9$ entre 380 devuelve esos 18 ms.

Tomar los 18 ms de 1 mm como altura de grifo desplaza el corte#

1,8 cm y 10 cm no son la misma columna. Como $\sigma$ escala con $R^{-3/2}$ , fijar 18 ms antes de medir el radio acorta la longitud de ruptura. $\lambda_{\max} \approx 9 R$ elige la longitud de onda. No es una regla universal de la distancia de caída.

Para dejar gotas gruesas basta quedarse en Rayleigh y fijar la longitud cerca de esos 9 radios. Para niebla, hay que subir $We$ por encima de $10^{5}$ y entrar en atomización. Cuánto inclina la viscosidad ese límite no se lee solo con $Oh$ . La escala que separa inercia y viscosidad está en cómo el número de Reynolds cambia el mundo del flujo.