하늘에 걸린 파도의 정체 — 켈빈-헬름홀츠 불안정

전단이 6.6 m/s를 넘기 전에는 중력과 표면장력이 수면 파를 재운다.

가끔 하늘에 바다 파도가 그대로 얼어붙은 듯한 구름이 걸린다. 나란히 줄지어 말려 올라간 갈고리. 사진으로 보면 합성 같다. 실제로 있는 구름이다. 이름도 있다. 켈빈-헬름홀츠 구름. 파도가 부서지기 직전을 공기가 흉내 낸 것이다.

갈고리가 어떻게 생기는지부터 따라간다. 빠른 흐름과 느린 흐름이 맞닿은 얇은 경계면, 전단층이다. 이 면이 왜 소용돌이로 말리는지, 언제 말리고 언제 잠잠한지는 성장률 공식 하나로 갈린다. 마지막엔 얇은 와층을 말아 올려 그 갈고리를 만든다.

전단 $\Delta U$ , 밀도비, 중력, 표면장력 슬라이더를 움직이면 성장률 곡선이 바닥에 붙거나 주황 띠가 양옆으로 좁아진다.

UNSTABLE — fastest growth at λ* ≈ 0.79 cm (σ ≈ 597.78 /s)

Shear ΔU: 8.0 m/sρ_upper/ρ_lower: 1.0e-2Gravity g: 9.8Surface tension T: 0.072

$\Delta U$ 를 6 근처로 내리면 곡선이 "STABLE"로 눕는다. 중력이나 표면장력을 키우면 불안정 띠가 양쪽에서 줄어든다. 밀도비가 1에 가까우면 약한 전단에도 곡선이 치솟는다.

하늘에 걸린 파도#

켈빈-헬름홀츠 구름만 특별한 게 아니다. 같은 일이 사방에서 벌어진다. 목성의 줄무늬가 갈라지는 경계, 바닷속 서로 다른 밀도의 물이 미끄러지며 만드는 내부파, 커피에 우유를 부었을 때 잠깐 나타나는 나선. 심지어 담배 연기가 곧게 오르다 갑자기 흐트러지는 그 지점도 같은 원리다.

공통점은 하나다. 속도가 다른 두 유체층이 나란히 흐른다. 위층은 빠르게, 아래층은 느리게. 둘 사이의 얇은 경계가 미끄러진다. 이 미끄러짐(전단)이 씨앗이다.

직관적으로는 두 흐름이 그냥 나란히 지나가면 될 것 같다. 실제로는 그렇지 않다. 경계면에 아주 작은 흔들림만 있어도 그 흔들림이 스스로 자란다. 이것이 켈빈-헬름홀츠 불안정(전단에 의한 계면 불안정)이다.

두 흐름이 미끄러질 때 무슨 일이 벌어지나#

경계면에 작은 봉우리가 하나 솟았다고 하자. 위쪽 빠른 흐름은 이 봉우리를 넘어가야 한다. 넘어가는 길목은 좁아진다. 유량이 같으려면 좁은 곳에서 속도가 빨라진다.

빨라지면 압력이 낮아진다. 베르누이의 법칙(속도가 빠른 곳은 압력이 낮다)이다. 봉우리 위쪽 압력이 낮아지면 봉우리는 위로 더 빨려 올라간다. 골짜기에서는 반대로 흐름이 느려져 압력이 높아지고, 골짜기는 더 눌린다.

봉우리는 더 솟는다. 골짜기는 더 파인다. 작은 흔들림이 스스로를 키우는 되먹임(양의 피드백)이다. 한번 열리면 혼자 큰다.

여기서 오해 하나. "밀도가 큰 물이 아래, 작은 공기가 위에 있으니 안정 아닌가?" 중력만 보면 맞다. 하지만 전단이 충분히 세면 중력의 안정 효과를 이긴다. 안정된 성층도 강한 바람 앞에서는 무너진다.

분산 관계 — 자라는 파장과 잠잠한 파장#

이 힘겨루기를 하나의 식으로 압축할 수 있다. 위층(밀도 $\rho_1$ )과 아래층(밀도 $\rho_2$ )이 상대속도 $\Delta U$ 로 미끄러지고, 계면에 중력 $g$ 와 표면장력 $T$ 가 작용한다. 파수 $k$ (단위 길이당 파동 개수)의 흔들림이 자라는 속도, 즉 성장률 $\sigma$ 는 다음과 같다.

\sigma(k) = k\sqrt{\frac{\rho_1\rho_2}{(\rho_1+\rho_2)^2}(\Delta U)^2 - \frac{g(\rho_2-\rho_1)}{(\rho_1+\rho_2)\,k} - \frac{T k}{\rho_1+\rho_2}}

$\sigma$ 는 흔들림이 커지는 속도다. 근호 안 첫 조각은 전단이다. 불안정을 일으킨다. 다음 조각은 중력이다. 무거운 물이 아래에 있으면 안정시킨다. 마지막 조각은 표면장력이다. 계면을 팽팽하게 당겨 안정시킨다.

근호 안이 양수면 $\sigma$ 가 실수가 되어 흔들림이 지수적으로 자란다. 음수면 $\sigma$ 가 허수가 되어 진동만 할 뿐 자라지 않는다. 불안정 조건은 근호 안이 양수인 것, 즉 전단 항이 나머지 둘을 이기는 것이다.

\frac{\rho_1\rho_2}{\rho_1+\rho_2}(\Delta U)^2 > \frac{g(\rho_2-\rho_1)}{k} + T k

가장 순수한 경우를 보자. 두 층의 밀도가 같고( $\rho_1=\rho_2=\rho$ ) 중력·표면장력이 없으면 식은 놀랍도록 단순해진다.

\sigma = \frac{k\,\Delta U}{2}

파수가 클수록, 즉 파장이 짧을수록 더 빨리 자란다. 브레이크가 전혀 없다면 아무리 짧은 파장도 폭발적으로 자란다. 실제 유동에서 점성이 이 폭주를 짧은 파장 쪽에서 잘라준다.

중력과 표면장력이 브레이크를 건다#

두 브레이크는 서로 다른 파장을 막는다. 중력 항은 $1/k$ 에 비례하니 파장이 긴 쪽(작은 $k$ )을 억누른다. 표면장력 항은 $k$ 에 비례하니 파장이 짧은 쪽(큰 $k$ )을 억누른다. 둘 사이에 불안정한 파장의 띠가 남는다.

전단이 약하면 이 띠는 아예 열리지 않는다. 전단을 키우면 어느 순간 특정 파장에서 처음 불안정이 뚫린다. 그 문턱이 바로 바람이 잔잔한 수면에 파도를 만들기 시작하는 최소 풍속이다.

\Delta U_{\min}^2 = \frac{2(\rho_1+\rho_2)}{\rho_1\rho_2}\sqrt{g\,T\,(\rho_2-\rho_1)}

공기와 물을 넣으면 $\Delta U_{\min} \approx 6.6\ \mathrm{m/s}$ , 가장 먼저 뚫리는 파장은 약 1.7 cm다. 켈빈이 19세기에 계산한 값이다. (실제 수면은 점성 때문에 더 낮은 풍속에서도 잔물결이 인다. 이상 이론의 한계다.)

연속적으로 성층된 흐름에서는 리처드슨 수(부력 대 전단의 비)로 판정한다. $\mathrm{Ri} = N^2/(dU/dz)^2$ , 여기서 $N$ 은 부력 진동수다. 마일스-하워드 정리에 따르면 $\mathrm{Ri} < 1/4$ 어딘가에서 불안정이 가능하다. 대기·해양에서 난류가 언제 터지는지 예측하는 실전 기준이다.

앞 곡선의 주황 띠가 이 문턱에서 처음 열린다. 말린 뒤 핵의 속도 분포는 강제 와동과 자유 와동이 나눠 갖는 그림과 겹친다.

Python으로 그린 성장률 곡선#

공식을 그대로 코드로 옮기면 어떤 풍속에서 어떤 파장이 가장 먼저 자라는지 바로 확인할 수 있다.

import math
 
def kh_growth_rate(k, dU, rho_u, rho_l, g=9.81, T=0.072):
    """켈빈-헬름홀츠 모드의 성장률 sigma(k)."""
    shear   = rho_u * rho_l * dU**2 / (rho_u + rho_l)**2   # 불안정화 (전단)
    gravity = g * (rho_l - rho_u) / ((rho_u + rho_l) * k)  # 긴 파장 안정화
    tension = T * k / (rho_u + rho_l)                      # 짧은 파장 안정화
    disc = shear - gravity - tension
    return k * math.sqrt(disc) if disc > 0 else 0.0
 
rho_air, rho_water = 1.225, 1000.0
ks = [1 + 0.2 * i for i in range(4000)]
for dU in (3.0, 6.6, 10.0):
    s = [kh_growth_rate(k, dU, rho_air, rho_water) for k in ks]
    smax = max(s)
    if smax > 0:
        kstar = ks[s.index(smax)]
        lam = 2 * math.pi / kstar * 100   # cm
        print(f"dU={dU:4.1f} m/s -> unstable, lambda*={lam:5.2f} cm, sigma_max={smax:6.2f} /s")
    else:
        print(f"dU={dU:4.1f} m/s -> stable (no waves)")

실행 결과는 이렇다.

dU= 3.0 m/s -> stable (no waves)
dU= 6.6 m/s -> unstable, lambda*= 1.69 cm, sigma_max=  4.89 /s
dU=10.0 m/s -> unstable, lambda*= 0.78 cm, sigma_max=183.30 /s

소용돌이 개수와 전단 $\Delta U$ 슬라이더를 올리면 말리는 속도와 갈고리 간격이 같이 바뀐다.

Billows: 2Shear ΔU: 1.0Bump: 0.03

완만한 선이 몇 초 만에 고양이 눈으로 감긴다. $\Delta U$ 를 키우면 더 빨리 말리고, 개수를 늘리면 갈고리가 잘게 나뉜다. Reset은 다시 평평한 물결이다.

바람이 초속 3 m면 수면은 잔잔하다. 6.6 m/s를 넘기는 순간 $\lambda^*=1.69$ cm, $\sigma_{\max}=4.89$ /s인 잔물결이 처음 자란다. 10 m/s에서는 $\lambda^*=0.78$ cm, $\sigma_{\max}=183.30$ /s다. 풍속은 6.6에서 10으로 약 1.5배인데 성장률은 4.89에서 183.30으로 약 37배다. 문턱 직후라 근호 안이 얇다.

코드의 1.69 cm는 $k=2\pi/0.0169$ 라 대략 $372\ \mathrm{m}^{-1}$ 이다. 브레이크를 전부 뺀 $\sigma=k\Delta U/2$ 에 $\Delta U=6.6$ 을 넣으면 $\sigma$ 는 초당 천 단위다. 출력의 4.89 /s와 자릿수가 다르다. 6.6 m/s는 전단과 중력·표면장력이 거의 비기는 자리다. 밀도는 공기 1.225, 물 1000, $g=9.81$ , $T=0.072$ 다. 이 네 값이 $\Delta U_{\min}\approx 6.6$ m/s를 만든다. 파장이 1.69 cm에서 0.78 cm로 준 것은 짧은 쪽이 이기기 시작했다는 뜻이다.

선형 다음에 눈이 생긴다#

불안정이 처음 자라는 동안은 선형 이론이 맞는다. 봉우리가 커지면 이야기가 바뀐다. 계면은 물결에서 멈추지 않고 통째로 말린다. 얇은 와층이 감기며 소용돌이 열을 이룬다. 갈고리 구름의 정체이고, 스튜어트의 고양이 눈(cat's eye)이다.

성장률 공식은 물결이 처음 커지는 선형 단계만 본다. 고양이 눈은 비선형 단계다. 계면이 자기 자신을 끌어당겨 생긴다. 각 점은 점성 없는 유도 속도로 이웃을 당긴다. 물결이 서고, 그다음 말린다.

Ri가 1/4를 넘으면 전단만으로 안 말린다#

$\mathrm{Ri}=N^2/(dU/dz)^2$ 가 1/4보다 크면 마일스-하워드 정리는 불안정을 허락하지 않는다. 성층이 전단을 누른 상태다. 공기-물 계면에서도 $\Delta U$ 가 6.6 m/s 아래면 출력이 stable이다. 3 m/s 줄은 파를 하나도 안 연다.

같은 계면이 장력만으로 방울이 되는 쪽은 물줄기의 Plateau–Rayleigh 분열이다. 여기서는 전단이 그 장력을 이기는 쪽만 본다. $\sigma=k\Delta U/2$ 처럼 브레이크가 없으면 짧은 파가 끝없이 이긴다. 점성이 그 끝을 자른다. 하늘에 걸린 갈고리는, 그 절단 전에 전단이 이미 이긴 자리다.