Por qué el penacho de una chimenea se enrosca hacia arriba en vez de tumbarse — El chorro en flujo cruzado y su par de vórtices contrarrotantes

La regla de la trayectoria es rd, no d. La sección en riñón la levanta el par contrarrotante que nace junto a la boquilla.

El penacho de una central térmica, en una mañana fría, parece honesto al principio. Sube recto. A cierta altura se inclina, y un corte transversal no muestra ni una rosquilla ni un círculo, sino un par de riñones. Es un chorro en flujo cruzado (jet in crossflow, JICF). La perilla de la trayectoria no es el número de Reynolds. Es la razón de velocidades $r$ .

Al subir r de 2 a 10, el chorro penetra mucho más alto antes de inclinarse.

Velocity ratio r = 4.0Power-law exponent B = 0.33Crossflow speed = 1.0

The natural length scale is r·d, not d alone. Raise r and the plume punches higher before the crossflow bends it; the three pink ghosts are the trajectories for r = 2, 6, 10.

Las tres curvas fantasma rosadas son las trayectorias para $r = 2, 6, 10$ . Al cambiar B, la razón de velocidades queda quieta y solo cambia el arqueo. Importa sobre cuál fantasma se apoya la línea central blanca.

Por qué el penacho de una chimenea se enrosca hacia arriba en vez de tumbarse#

Un chorro inyectado en un viento cruzado está por todas partes. El penacho de una chimenea, la inyección de combustible en la cámara de una turbina de gas, la película de enfriamiento (film cooling) que protege un álabe de turbina, la desembocadura de un río en el mar, las columnas de ceniza volcánica, los chorros de sustentación de una aeronave VTOL: todo es el mismo problema.

El núcleo es una contienda entre dos cantidades de movimiento. Cerca de la boquilla gana la del chorro, así que la columna sube casi vertical. A medida que asciende, el viento cruzado sigue empujando. Pasado cierto punto, gana el viento. La columna se inclina y al final se acuesta a lo largo del viento.

Pero no se limita a acostarse. Su sección se deforma. Un chorro redondo se enrosca en forma de riñón. Dentro de ese enroscamiento se esconde un par de remolinos que giran en sentidos opuestos.

En una sola boquilla viven cuatro tipos de vórtices#

Un JICF no produce un solo tipo de vórtice. Fric y Roshko (1994) los ordenaron en cuatro sistemas distintos.

Vórtices de la capa de cortadura (jet shear-layer vortices): anillos formados justo encima de la boquilla cuando la capa de cortadura cilíndrica del borde del chorro se enrolla. Aparecen primero. El enrollamiento es el mismo sitio que dos capas con un salto de velocidad.
Par de vórtices contrarrotantes (counter-rotating vortex pair, CVP): el protagonista que domina la sección aguas abajo, la identidad detrás del riñón o del hongo.
Vórtice de herradura (horseshoe vortex): una herradura enrollada alrededor de la base de la columna del chorro donde toca la pared, igual que la capa límite se enrolla alrededor de un obstáculo montado en la pared.
Vórtices de estela (wake vortices): vórtices verticales que van desde detrás del chorro hasta la pared. Se confunden con la calle detrás de un cilindro sólido, pero Fric y Roshko mostraron que nacen de la separación de la capa límite de la pared, no del chorro.

Que los cuatro vivan a la vez es lo que separa de manera decisiva a un JICF de una simple estela de cilindro.

La perilla real no es Reynolds — la razón de velocidades r y la razón de flujo de cantidad de movimiento J#

Lo que fija cuán profundo penetra el chorro no es la razón de viscosidades, el número de Reynolds. La variable que gobierna es la razón de velocidades (velocity ratio).

r = \frac{v_j}{u_\infty}

Aquí $v_j$ es la velocidad de salida de la boquilla y $u_\infty$ la velocidad del viento cruzado. Cuando los dos fluidos difieren en densidad, la medida más adecuada es la razón de flujo de cantidad de movimiento (momentum flux ratio).

J = \frac{\rho_j\, v_j^2}{\rho_\infty\, u_\infty^2}

Aquí $\rho_j$ y $\rho_\infty$ son las densidades del chorro y del viento cruzado. Con densidades iguales, $J = r^2$ . El número de Reynolds solo fija los detalles — cuándo la capa de cortadura transiciona a turbulencia, cuán fino se rompe el arrugado de los vórtices — mientras que el panorama grande, la trayectoria y la profundidad de penetración, lo sostiene $r$ (o $J$ ).

La trayectoria se mide a sí misma en rd#

Innumerables experimentos convergen en una sola conclusión. La trayectoria media de la línea central del chorro sigue una ley de potencias.

\frac{z}{r d} = A \left( \frac{x}{r d} \right)^{B}

Aquí $x$ es la distancia en la dirección del viento, $z$ la altura y $d$ el diámetro de la boquilla. El coeficiente se agrupa en $A \approx 1.6\text{–}2.1$ y el exponente en $B \approx 0.28\text{–}0.34$ entre experimentos (Pratte–Baines 1967, Margason 1993). Lo decisivo es la regla de medir. Si la longitud se mide no por $d$ a secas, sino por $rd$ , las trayectorias de distintas razones de velocidad colapsan en una sola curva. Una razón de velocidades mayor sube más alto a la misma $x/d$ .

El código de abajo usa A=1.6, B=0.33 y d=1. En x=10 la regla rd es simplemente r. Para r=2, x/(rd)=5, 5 elevado a 0.33 vale cerca de 1.701, y 1.6 por 2 por 1.701 da 5.44, la primera línea impresa. Para r=4, x/(rd)=2.5, 2.5 elevado a 0.33 vale 1.353, y 1.6 por 4 por 1.353 da 8.66. Para r=8, x/(rd)=1.25, 1.25 elevado a 0.33 vale 1.076, y 1.6 por 8 por 1.076 da 13.77, que redondea al 13.78 impreso.

Duplicar r no duplica la altura. Los pasos van de 5.44 a 8.66 y luego de 8.66 a 13.78. Ambas razones quedan cerca de 1.59. La altura z escala como r elevado a (1−B). Con B=0.33 el exponente es 0.67, y 2 elevado a 0.67 vale 1.59. A x fijo, duplicar la razón de velocidades solo compra un 59 por ciento más de penetración. Llevar r de 2 a 8, un factor de cuatro, multiplica la altura por cerca de 2.53, así que 5.44d pasa a 13.78d. En ese mismo tramo J pasa de 4 a 64, un factor de dieciséis. La razón de cantidad de movimiento y la altura del penacho no comparten regla.

El par de vórtices contrarrotantes — cómo se forma la sección en hongo#

El CVP nace cuando la capa de cortadura cilíndrica del chorro se inclina y se pliega en el viento cruzado. Las capas de cortadura de ambos lados del chorro se reorganizan en dos vórtices que giran en sentidos opuestos en la sección. Entre ellos el fluido asciende; por fuera se pliega y baja. El resultado es la sección en riñón o en hongo.

Su intensidad escala con la circulación del chorro, $\Gamma_j \propto v_j d$ : un chorro más rápido significa un par más fuerte. Y, como señala la fuente, el CVP se genera muy cerca de la salida de la boquilla y se debilita aguas abajo a medida que su vorticidad se difunde.

Los números caen en la salida que sigue. El centro sube y el borde baja. El hongo queda justo debajo de esa salida.

Un compás más perezoso que el de un cilindro — el número de Strouhal de un JICF#

La frecuencia $f$ con que se desprenden los vórtices de la estela se recoge en el número adimensional de Strouhal.

St = \frac{f\, d}{u_\infty}

Aquí $f$ es la frecuencia de desprendimiento y $d$ el diámetro de la boquilla. Detrás de un cilindro circular sólido, $St \approx 0.21$ se mantiene casi constante en un amplio rango de Reynolds. Sin embargo, la estela de JICF que Hester y colaboradores (1971) midieron en un túnel de viento subsónico mostró un número de Strouhal menor a la mitad del de un cilindro de tamaño comparable.

La mitad del valor del cilindro $St \approx 0.21$ es 0.105. La estela de JICF que midieron Hester y colaboradores queda por debajo. Esta nota no sustituye esos datos de túnel por un número inventado. Copiar 0.21 al chorro deja la frecuencia al menos dos veces demasiado rápida.

¿Por qué tan perezoso? Un cilindro se separa limpiamente de una pared rígida y desprende vórtices en un solo compás. El "obstáculo" de un JICF no es una pared rígida, sino una columna de fluido tambaleante en la que el viento cruzado puede filtrarse. Además, las raíces de los vórtices de estela están en la capa límite de la pared, no en el chorro mismo. Como el obstáculo efectivo es blando, el compás del desprendimiento se vuelve más lento.

Python — trayectoria y campo inducido por el CVP#

import numpy as np
 
def jet_trajectory(x, r, d=1.0, A=1.6, B=0.33):
    """Trayectoria media del chorro en flujo cruzado: z/(rd) = A (x/(rd))^B, x>=0."""
    rd = r * d
    x = np.asarray(x, dtype=float)
    return np.where(x > 0, A * rd * (x / rd) ** B, 0.0)
 
def cvp_velocity(y, z, gamma, b, zc=2.0, core=0.15):
    """Velocidad (u_y, u_z) inducida en (y, z) por el par contrarrotante.
    Izquierda +Γ (antihorario), derecha -Γ (horario) -> el flujo sube en el centro."""
    def one(y0, z0, g):
        dy, dz = y - y0, z - z0
        r2 = dy**2 + dz**2 + core**2
        return -g / (2 * np.pi) * dz / r2, g / (2 * np.pi) * dy / r2
    uy1, uz1 = one(-b / 2, zc, +gamma)
    uy2, uz2 = one(+b / 2, zc, -gamma)
    return uy1 + uy2, uz1 + uz2
 
if __name__ == "__main__":
    # 1) Para la misma boquilla, una razón de velocidades r mayor penetra más alto
    for r in (2, 4, 8):
        print(f"r={r:>2}: z(x=10d) = {jet_trajectory(10.0, r):.2f} d")
 
    # 2) La línea central entre los vórtices sube; el borde baja (mushroom)
    _, uz_c = cvp_velocity(0.0, 2.0, gamma=3.0, b=1.5)
    _, uz_e = cvp_velocity(1.5, 2.0, gamma=3.0, b=1.5)
    print(f"center (y=0): u_z = {uz_c:+.3f}  (>0 -> sube)")
    print(f"edge   (y=b): u_z = {uz_e:+.3f}  (<0 -> baja)")

Al ejecutarlo se imprime:

r= 2: z(x=10d) = 5.44 d
r= 4: z(x=10d) = 8.66 d
r= 8: z(x=10d) = 13.78 d
center (y=0): u_z = +1.224  (>0 -> sube)
edge   (y=b): u_z = -0.401  (<0 -> baja)

Circulation Γ = 3.0Separation b = 1.5Downstream / diffusion = 0.00

Left vortex spins counter-clockwise (+Γ), right clockwise (−Γ): between them the dye is pumped upward and folds outward into the kidney-shaped mushroom. Push the downstream slider toward 1 and diffusion saps Γ — the mushroom stalls, just as the real CVP weakens far from the exit.

Al duplicar o cuadruplicar la razón de velocidades, el chorro penetra más alto a la misma distancia aguas abajo. Y el centro del par sube mientras su borde baja: la aritmética de un hongo que crece, en números llanos.

El vórtice izquierdo gira en sentido antihorario ( $+\Gamma$ ); el derecho, en sentido horario ( $-\Gamma$ ). El colorante del centro asciende y se pliega hacia afuera, haciendo crecer el hongo. Al llevar el deslizador downstream hacia 1, la difusión carcome a $\Gamma$ hasta que el hongo se detiene. Ahí se encoge el ascenso central impreso. El CVP real se apaga igual lejos de la salida.

La muestra central está en y=0, z=2, y con separación b=1.5 los núcleos quedan en y=±0.75. Un radio de núcleo de 0.15 suma 0.0225 a la distancia al cuadrado. Desde el núcleo izquierdo, dy=0.75 y dz=0, así que el denominador es 0.5625+0.0225=0.585. Con Γ=3, Γ/(2π) vale cerca de 0.477. La velocidad vertical de un núcleo es 0.477 por 0.75 dividido entre 0.585, cerca de 0.612. El núcleo opuesto suma lo mismo en la misma dirección, y el total es +1.224. En el borde y=1.5 el núcleo derecho, más cercano, aporta −0.612 y el izquierdo, más lejano, aporta +0.211. La suma es −0.401. El ascenso es unas tres veces el descenso porque en el centro los dos núcleos se suman, mientras que en el borde gana el más cercano. El núcleo usa la misma velocidad inducida que un vórtice libre. Solo el núcleo de 0.15 en el denominador evita que la velocidad explote en el centro.

Si el 0.21 del cilindro se copia como compás del chorro#

Fijar St en 0.21 y sacar la frecuencia solo con el diámetro y el viento cruzado deja un compás al menos dos veces más rápido que la estela de un JICF. Incluso 0.105, la mitad de 0.21, sigue siendo solo un techo. Si no entra en la fórmula que el obstáculo no es una pared rígida, el compás se desvía así.

La trayectoria se desvía igual. Medir x solo con d y soltar r impide que 5.44d en r=2 caiga sobre 13.78d en r=8. La perilla es la razón de velocidades $r = v_j/u_\infty$ (o la razón de flujo de cantidad de movimiento $J$ ). La regla que colapsa las curvas es $rd$ . Conviene elegir ambas antes de ajustar el penacho.