Por qué se curva una pelota que gira — el efecto Magnus y la circulación

Alinear el giro con el eje de vuelo anula el producto vectorial y la fuerza lateral desaparece. La razón de giro S fija cuánto se curva.

En 1742 Benjamin Robins veía balas de mosquete que no volaban rectas. Misma arma, misma pólvora, misma puntería. Unas se iban a la izquierda. Otras a la derecha. La bala esférica giraba al salir del cañón. Giro y desvío salían juntos.

Un siglo después Gustav Magnus fijó esa fuerza lateral en un experimento. Un cuerpo que gira se desplaza de lado dentro de un flujo. La cantidad que escribe el tamaño de esa fuerza es la circulación.

Al mover el control de giro desde cero hacia el efecto retro, las líneas de arriba se aprietan y la flecha de la fuerza apunta hacia arriba.

Spin topspin backspin 0.80Flow speed U 1.00

Se observa si el punto de estancamiento baja. Al invertir el giro, la flecha se invierte.

Un viejo dolor de cabeza: la bala de cañón que se curva#

Los artilleros lo sabían antes que Robins. Las balas de cañón fallan. Y no solo por el viento. Las tolerancias de fundición dejaban una holgura entre el ánima y la bala (el término de la época era windage), y en el instante del disparo la bala rebotaba contra la pared del cañón y adquiría un giro impredecible. Ese giro torcía su vuelo.

Lo que estaba en juego era enorme. La balística era un cálculo del que dependía la supervivencia de las naciones. Newton dedujo una trayectoria parabólica en los Principia, pero la bala real se salía de la parábola. Robins separó esa desviación de manera experimental: parte era resistencia del aire, parte era giro.

La pregunta central es esta. ¿Por qué el giro crea una fuerza lateral?

El empuje lateral proviene de la circulación#

Comencemos por la magnitud. Cuando un cilindro que gira se coloca en una corriente uniforme de velocidad $U_\infty$ , la fuerza lateral por unidad de longitud es asombrosamente simple.

L' = \rho\, U_\infty\, \Gamma

Aquí $\rho$ es la densidad del fluido, $U_\infty$ la velocidad de la corriente libre y $\Gamma$ la circulación. Esta relación es el teorema de Kutta–Joukowski que ata la sustentación a la circulación. La sustentación depende únicamente de la circulación. La forma del cuerpo interviene solo por cuánta circulación logra generar.

La circulación es la velocidad integrada a lo largo de un camino cerrado.

\Gamma = \oint_C \mathbf{u}\cdot d\boldsymbol{\ell}

$\mathbf{u}$ es la velocidad del flujo y $d\boldsymbol{\ell}$ es el vector tangente elemental a lo largo del camino. Una circulación distinta de cero significa que hay un flujo giratorio neto alrededor del cuerpo. Un cilindro de radio $a$ y velocidad angular $\omega$ arrastra el fluido en su superficie y construye exactamente ese giro neto.

\Gamma = 2\pi a^2 \omega

La dirección queda fijada por un producto vectorial.

\mathbf{F}_M \propto \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{U}_\infty

$\boldsymbol{\omega}$ es el vector de velocidad angular. Esta expresión será, más adelante, la llave que abre el secreto del rayado del cañón.

Como $\Gamma=2\pi a^2\omega$ , duplicar $\omega$ duplica la circulación. La fuerza lateral estacionaria $L'=\rho U_\infty\Gamma$ se duplica con ella. La forma no aparece en esa línea. El radio $a$ entra al cuadrado: con la misma velocidad angular, una pelota mayor acumula circulación más rápido. La dirección es $\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{U}_\infty$ . Vectores paralelos dan producto nulo y la fuerza lateral desaparece. La alineación que el rayado usa más adelante es esa línea.

Por qué el giro sí crea circulación#

¿De dónde sale la circulación? La respuesta está en la viscosidad y en la condición de no deslizamiento (no-slip condition: el fluido en una pared se mueve con la pared).

Una cara de la pelota que gira rota en el mismo sentido que el flujo; la cara opuesta rota en contra. En el lado que corrota, la superficie empuja la capa límite, así que el flujo se separa más tarde (separación retardada). En el lado contrarrotante, el flujo se separa antes. El resultado neto es una estela que se inclina hacia un lado.

Si la estela se inclina hacia abajo, el fluido gana cantidad de movimiento hacia abajo. Por reacción, la pelota es empujada hacia arriba. Esa es la esencia de la fuerza de Magnus. La pelota desvía el flujo hacia un lado y lo paga con una fuerza hacia el otro.

Cuánto se curva lo decide la razón de giro#

Dejemos de lado el número de Reynolds por un momento. El número adimensional que gobierna la intensidad del efecto Magnus es la razón de giro (spin ratio).

S = \frac{a\,\omega}{U_\infty}

El numerador es la velocidad de la superficie; el denominador, la de la corriente libre. $S$ indica "cuántas veces más rápido gira la superficie de la pelota que sopla el viento". Cuanto mayor es $S$ , mayor es la circulación y mayor el coeficiente de sustentación. Una curva de béisbol ronda $S \approx 0.2\text{–}0.4$ ; un remate de fútbol muy combado es más alto.

Integremos un vuelo bidimensional sencillo y dibujemos la trayectoria. Solo entran la resistencia y la fuerza de Magnus.

import numpy as np
 
def magnus_trajectory(u0, spin, cm=0.16, cd=0.006, dt=0.012, steps=900):
    # Plano visto desde arriba. x es el avance, y es el lado.
    pos = np.array([0.0, 0.0])
    vel = np.array([u0, 0.0])   # lanzada recta
    path = [pos.copy()]
    for _ in range(steps):
        sp = np.hypot(*vel) + 1e-9
        # Magnus: perpendicular a la velocidad (-vy, vx), el signo lo fija el giro
        a_magnus = cm * spin * np.array([-vel[1], vel[0]])
        a_drag   = -cd * sp * vel          # resistencia: opuesta a la velocidad
        vel = vel + (a_magnus + a_drag) * dt
        pos = pos + vel * dt
        path.append(pos.copy())
        if pos[0] > 30:
            break
    return np.array(path)
 
for s in (0.0, 1.0, 2.0):
    p = magnus_trajectory(14.0, s)
    print(f"spin={s}:  desvio lateral = {p[-1, 1]:6.2f} m")
# spin=0.0:  desvio lateral =   0.00 m
# spin=1.0:  desvio lateral =   3.71 m
# spin=2.0:  desvio lateral =   6.90 m

Duplicar el giro no duplica exactamente el desvío. Cuando la trayectoria se curva, la dirección de la velocidad cambia, así que la dirección de la fuerza también sigue rotando. Es no lineal.

La corrida usa $u_0=14$ , $c_m=0.16$ , $c_d=0.006$ , $\Delta t=0.012$ , como máximo 900 pasos, y se detiene cuando $x>30$ . La salida da un desvío lateral de 0.00 m con spin 0, 3.71 m con spin 1 y 6.90 m con spin 2. El doble de 3.71 es 7.42. Los 6.90 m impresos quedan 0.52 m por debajo. En cuanto la trayectoria se curva, la aceleración de Magnus $(-v_y, v_x)$ gira con la velocidad. La fuerza no queda fija en el eje lateral inicial, así que el desvío no crece de forma lineal. En la razón de giro $S=a\omega/U_\infty$ , un denominador menor sube $S$ . Bajar la velocidad de lanzamiento hace que el mismo $\omega$ curve más. Una curva de béisbol queda cerca de $S\approx 0.2\text{–}0.4$ . Reynolds se dejó aparte porque la línea de la sustentación no lleva Re.

Al mover el control de giro de un extremo al otro y bajar la velocidad de lanzamiento, la trayectoria azul salta al otro lado de la línea discontinua y el mismo giro se desvía más.

Spin curve left right 1.40Launch speed 14.0 m/s

Al llevar el giro de un extremo al otro, la trayectoria azul salta al lado opuesto de la línea discontinua (la referencia sin giro). Al bajar la velocidad de lanzamiento, el mismo giro se curva más. La velocidad de la superficie crece respecto al flujo, así que $S$ sube.

El rayado, la solución al revés#

Aquí aparece la paradoja. La solución que halló Robins no fue eliminar el giro, sino controlarlo. Se tallan surcos en espiral dentro del cañón (rayado, rifling) para que el proyectil gire alrededor de su eje de vuelo.

¿Por qué funciona? La fuerza de Magnus escala como $\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{U}_\infty$ . El eje de giro que impone el rayado es la dirección de vuelo, así que $\boldsymbol{\omega}$ queda paralelo a $\mathbf{U}_\infty$ . Cuando dos vectores son paralelos, su producto vectorial es cero. La fuerza lateral desaparece.

Al mismo tiempo, este giro axial da estabilidad giroscópica, como un trompo. Amarra a un eje fijo el giro aleatorio que el proyectil solía adquirir al voltearse. El Magnus aleatorio se esfuma y el proyectil vuela recto. No por quitar el giro, sino por alinearlo al ángulo donde la fuerza lateral es cero.

Si el eje del rayado no coincide con el vuelo, la fuerza lateral permanece#

La fuerza de Magnus es $\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{U}_\infty$ . El rayado que pone el eje de giro a lo largo del vuelo deja los dos vectores paralelos, y el producto vectorial es cero. La fuerza lateral desaparece. Ese giro axial es también estabilidad giroscópica, como un trompo. Amarra a un eje el giro aleatorio que el proyectil tomaba al rebotar en la pared del cañón. El giro no se borró. Se giró hasta el ángulo donde la fuerza lateral es cero.

Una circulación distinta de cero significa un giro neto alrededor del cuerpo. Un cilindro arrastra ese giro en la superficie como $\Gamma=2\pi a^2\omega$ . Una estela inclinada hacia abajo da al fluido cantidad de movimiento hacia abajo, y la pelota se empuja hacia arriba. Poner a Reynolds en la línea que escribe el tamaño de esta fuerza choca con $S$ . El relato de cómo el número de Reynolds parte la escala de un flujo entra en la separación, no en la línea $L'=\rho U_\infty\Gamma$ .