Tres retratos de un flujo — por qué difieren líneas de corriente, trayectoria y traza

Una cinta de tinta es una línea de traza. En flujo estacionario la aceleración sale del término convectivo, y un término local nulo no deja quieta la garganta.

Un hilo de tinta cayó en un río y quedó en una foto. En el mismo instante se trazó el recorrido de una hoja. Las dos líneas salieron distintas. El flujo es uno solo y las imágenes son dos. Las líneas de corriente, de trayectoria y de traza se separan en el tiempo, y esa separación linda con la derivada material (la tasa de cambio que se ve al viajar con el fluido).

Al bajar el control de contracción hasta 0.25, la velocidad de la partícula cerca de la garganta salta a cuatro veces.

contraction (outlet/inlet) = 0.40

Nothing in this field depends on time, so ∂u/∂t = 0 at every fixed point. Yet the pink parcel still accelerates into the throat — all of it from the convective term u·∂u/∂x.

Aun así, la barra de $\partial u/\partial t$ sigue pegada a cero. Toda la aceleración sale del término convectivo azul. El término local es cero, y la partícula igual se acelera.

Un flujo, tres imágenes distintas#

Hay más de una forma de dibujar un flujo. En el laboratorio suelen usarse tres.

En un instante, se unen las direcciones de la velocidad en todos los puntos. Se marca una sola partícula y se siguen sus huellas. Se suelta tinte de forma continua desde un punto y se fotografía la cinta. El flujo es el mismo, y los resultados no siempre coinciden.

El tiempo es el lugar de la separación. Cuando el flujo cambia con el tiempo (no estacionario), las tres imágenes se separan. Cuando no cambia (estacionario), las tres se superponen con exactitud.

Corriente, trayectoria, traza — tres definiciones#

Conviene fijar cada curva con una fórmula. El campo de velocidad se escribe $\mathbf{u}(\mathbf{x}, t)$ .

Línea de corriente (streamline): en un instante fijo $t$ , la curva tangente a la velocidad en cada punto.

\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v}

Aquí $u, v$ son las componentes de la velocidad en ese instante. Es una instantánea con el tiempo detenido.

Línea de trayectoria (pathline): el recorrido real de una sola partícula integrado en el tiempo.

\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{u}(\mathbf{x}, t)

Conviene pensarlo como el diario de viaje de una hoja.

Línea de traza (streakline): la línea que une las posiciones actuales de todas las partículas que pasaron por un punto fijo $\mathbf{x}_0$ . El humo que sube de una chimenea, o una cinta de tinte, es precisamente esto. Un filamento de tinte metido en un tubo es del mismo tipo. El colorante de el momento en que un hilo de agua se desordena es esta cinta, no una línea de corriente.

Solo coinciden en flujo estacionario#

Un flujo estacionario es aquel cuyo campo de velocidad no depende del tiempo, es decir $\partial \mathbf{u} / \partial t = 0$ . Entonces, una vez que una partícula pasa por un punto, toda partícula posterior recorre el mismo camino: el camino no cambia con el tiempo.

Por eso la trayectoria y la traza se vuelven idénticas. La línea de corriente también es la misma en cada instante, así que las tres se superponen. El "dibujo limpio de líneas de corriente" de los libros se apoya, en silencio, sobre la hipótesis de estacionariedad.

En flujo no estacionario esa hipótesis se rompe. El camino de una partícula anterior difiere del de una posterior, y la dirección tangente instantánea cambia a cada momento. Por eso las tres curvas se separan.

Euler, Lagrange y la derivada material#

En la raíz de esta separación hay dos puntos de vista: el euleriano (observar en un punto fijo del espacio) y el lagrangiano (observar siguiendo a una partícula). La línea de corriente es euleriana; la de trayectoria es lagrangiana.

El puente entre ambos es la derivada material.

\frac{D\phi}{Dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\phi

Aquí $\phi$ es cualquier magnitud de campo, el primer término de la derecha es la tasa local de cambio y el segundo es la tasa convectiva. El primero significa "cambio en el tiempo en un punto fijo"; el segundo, "cambio porque la partícula se ha desplazado".

Aquí tropieza la intuición. Incluso en flujo estacionario con $\partial \mathbf{u}/\partial t = 0$ , una partícula puede acelerar. Basta imaginar una tobera que se estrecha. En un punto fijo, la velocidad nunca cambia con el tiempo. Pero la partícula succionada hacia la garganta sigue acelerando. Toda esa aceleración proviene del término convectivo $u\,\partial u/\partial x$ .

El factor de cuatro con contracción 0.25, y la barra del término local pegada a cero, ya salieron en el control de arriba. Lo nuevo aquí es que solo el término convectivo produce ese factor de cuatro.

Python — dibujar las tres curvas en un flujo oscilante#

Conviene dibujar las tres curvas a la vez. Se usa un flujo cuya velocidad transversal es una onda que se propaga aguas abajo: $u = U$ , $v = V_0\cos(\omega t - k x)$ , con $k = \omega/U$ . En este flujo las tres curvas adoptan formas limpiamente distintas.

import numpy as np
 
U, V0, omega = 1.0, 0.6, 2.0
k = omega / U
 
def velocity(x, t):
    """onda transversal que viaja aguas abajo: devuelve (u, v)"""
    return U, V0 * np.cos(omega * t - k * x)
 
def pathline(t0, t_end, dt=0.01):
    """recorrido de la partícula liberada en el origen en el instante t0 (numérico)"""
    x, y, t = 0.0, 0.0, t0
    xs, ys = [x], [y]
    while t < t_end:
        u, v = velocity(x, t)
        x += u * dt; y += v * dt; t += dt
        xs.append(x); ys.append(y)
    return np.array(xs), np.array(ys)
 
def streakline(t_now, n=400):
    """cinta de tinte en t_now: posiciones actuales de partículas liberadas en s<=t_now"""
    s = np.linspace(0.0, t_now, n)
    x = U * (t_now - s)
    y = V0 * np.cos(omega * s) * (t_now - s)   # solución exacta para este flujo
    return x, y
 
def streamline_snapshot(t_now, x_max=10.0, n=400):
    """línea de corriente por el origen en el instante t_now"""
    x = np.linspace(0.0, x_max, n)
    y = (V0 / omega) * (np.sin(omega * t_now) - np.sin(omega * t_now - k * x))
    return x, y
 
t_now = 6.0
xp, yp = pathline(0.0, t_now)
xs, ys = streakline(t_now)
xl, yl = streamline_snapshot(t_now)
print(f"fin trayectoria : ({xp[-1]:.2f}, {yp[-1]:.2f})")
print(f"rango traza  y  : [{ys.min():.2f}, {ys.max():.2f}]")
print(f"rango corriente y: [{yl.min():.2f}, {yl.max():.2f}]")

La salida muestra que las tres curvas ocupan territorios completamente distintos. La trayectoria corre recta, la línea de corriente es una ondulación leve de amplitud $V_0/\omega$ , y la traza oscila mucho más. Un flujo, tres imágenes distintas.

Los números del código son U=1, V0=0.6, ω=2 y t_now=6. Como k=ω/U, k vale 2. Sobre la partícula, la fase ωt−kx se cancela. Si u queda fija en U, entonces x=Ut, de modo que kx=ωt y v es la constante V0. La trayectoria no es una curva. Es la recta y=(V0/U)x=0.6x. En t=6 el extremo es (6, 3.6). Una integración con dt=0.01 pisa esa misma recta en cada paso, mientras la fase siga en cero.

La fórmula de la línea de corriente multiplica (V0/ω) por una diferencia de senos. V0/ω=0.6/2=0.3. Una diferencia de senos queda entre −2 y 2, así que y no puede salir de ±0.6. Ese límite es el ancho de la ondulación leve. Para llegar al borde, kx tiene que girar más de una vuelta. Con k=2 y x de 0 a 10, el ancho de fase es 20 radianes, más de tres vueltas. En t_now=6, ωt=12, de modo que una sola instantánea cubre esa ventana. El valor ±0.6 no es un adorno de la fórmula. Es el borde que esta ventana sí alcanza.

La traza es y=V0 cos(ωs) por (t−s). El valor absoluto del coseno no pasa de 1, y t−s crece hasta 6. La cota de |y| es 0.6 por 6, es decir 3.6. Seis veces el límite 0.6 de la línea de corriente. Con el mismo V0, solo la traza se balancea tanto, porque entra multiplicada la diferencia de los instantes de emisión. Una contracción de 0.25 es una razón de áreas. En flujo incompresible la velocidad es la inversa del área, así que en la garganta queda en cuatro veces. Ese factor de cuatro lo produce por completo el término convectivo, no el término local.

Agitar la no estacionariedad#

Ahora conviene dar vida al tiempo y observar cómo se separan las tres curvas. En la simulación de abajo se ajustan la amplitud $V_0$ y la frecuencia $\omega$ .

transverse amplitude V₀ = 0.55frequency ω = 2.2

Field: u = U, v = V₀·cos(ωt − kx) with k = ω/U. Drag V₀ to 0 and the three curves collapse onto the axis — they only ever agree when the flow is steady.

Al llevar $V_0$ a cero, las tres curvas se pliegan sobre el eje: el flujo vuelve a ser estacionario. Al subir $V_0$ y $\omega$ , la línea de corriente ámbar ondula rápido, la trayectoria rosa corre recta y la traza cian dibuja otra forma de onda. Cuanto más fuerte es la no estacionariedad, más se alejan los tres retratos.

Leer la cinta de tinta como línea de corriente equivoca la dirección#

Si la tinta de una foto se anota como línea de corriente, la tangente de la velocidad se lee hacia donde el tinte está ahora. En flujo no estacionario esas dos cosas no coinciden. La línea de corriente es un corte con el tiempo detenido, y la de traza es el presente de las partículas que pasaron por un mismo sitio. El término convectivo de la derivada material $D/Dt = \partial/\partial t + \mathbf{u}\cdot\nabla$ produce aceleración incluso en flujo estacionario. Escribir que la partícula va a velocidad constante solo porque el término local es cero deja fuera el factor de cuatro de la tobera.

Si el flujo es estacionario, las tres se superponen. Si difieren, es señal de que el flujo está cambiando con el tiempo. Antes de medir la flotabilidad que eleva el humo por la chimenea, conviene decidir primero si ese humo es una línea de traza. Poner la cinta como línea de corriente deja la dirección mal.