Cuando el chorro se rompe — el número crítico de Reynolds y las capas del régimen turbulento

Si el primer punto de malla cae en la capa logarítmica, la subcapa viscosa no se calcula. La fricción de pared queda colgada de un solo intercepto, B.

Al abrir el grifo despacio, el agua cae como una varilla de vidrio. Un giro más en la llave y la varilla se rompe en gotas dispersas y ruidosas. Misma agua, misma boquilla, lo único distinto es la velocidad. ¿Qué fija ese umbral? En 1883 Reynolds respondió en Manchester con un solo hilo de tinte, y la respuesta cabe en un único número adimensional. La nota se queda en por qué el umbral cae cerca de Re ≈ 2300 y en cómo, más allá, la capa límite se parte en subcapa viscosa, zona amortiguadora y región logarítmica. Con el deslizador de Re en 1500 el hilo de tinte sigue recto; al empujarlo hacia 8000 el color llena el tubo.

Reynolds number Re = U·d/ν: 1500Laminar (Re_crit ≈ 2300)

Al cruzar 2300 solo oscila primero la punta. Antes de 4000 los torbellinos aparecen por tramos y se apagan. Una pausa en ese cuadro muestra que la transición no termina en un solo fotograma.

Cuando el filamento de tinte se enmaraña de pronto#

Reynolds inyectó tinte en el centro de un tubo de vidrio. Cambió el diámetro $d$ , la velocidad media $u$ y la viscosidad cinemática $\nu$ buscando una sola respuesta: ¿cuándo se rompe el hilo?

Bajo cualquier combinación, la transición empezaba cerca del mismo valor de un único grupo adimensional:

\mathrm{Re} = \frac{u\, d}{\nu}

donde $u$ es la velocidad media, $d$ es la longitud característica (diámetro del tubo) y $\nu = \mu / \rho$ es la viscosidad cinemática (viscosidad dinámica entre densidad). Cruzado el umbral, el hilo pierde el equilibrio.

Qué dice realmente Re ≈ 2300#

Re no es solo una constante experimental. Al adimensionalizar la ecuación de momento, el término viscoso queda multiplicado exactamente por $1/\mathrm{Re}$ . Por tanto, Re mide la razón de fuerza inercial frente a fuerza viscosa.

Re bajo → la viscosidad domina, las perturbaciones pequeñas se difuminan → el flujo laminar sobrevive.
Re alto → la inercia domina, las perturbaciones pequeñas crecen por los términos no lineales → transición a turbulencia.

En tubería, el Re crítico empírico ronda 2300. Pero el número es frágil. Con tubos pulidos, soportes sin vibración y entrada limpia, hay reportes de flujo laminar mantenido hasta Re ≈ 50.000. Por eso «Re_crit ≈ 2300» es un umbral práctico de ingeniería; el fondo de la cuestión es si las perturbaciones disponen de un canal energético lo bastante ancho para crecer. El mismo número que separa el nado de un insecto de la estela de un barco está en cómo el número de Reynolds cambia la escala de un flujo.

En la capa límite sobre placa plana (la película delgada dominada por viscosidad junto a la pared), la escala cambia. Con la distancia $x$ al borde de ataque, $\mathrm{Re}_x = U_\infty x / \nu$ se vuelve crítico cerca de $3 \times 10^5$ . Si se usa el espesor $\delta$ de la capa límite, $\mathrm{Re}_\delta$ se desestabiliza alrededor de 2700. La misma física aparece bajo otra escala.

La capa límite de Prandtl — exterior e interior#

Un año después de la ley de transición de Reynolds (1904), Prandtl planteó otra pregunta. Si la viscosidad es pequeña, ¿por qué cerca de las paredes la fricción sigue importando?

Su respuesta: aislar explícitamente la región donde la viscosidad actúa. Bautizó como capa límite la película delgada en la que la condición de no deslizamiento acelera el fluido desde cero hasta la velocidad libre, y trató el resto como flujo potencial. Con esta separación, los 2,5–25 mm sobre un ala de avión bastan para captar arrastre viscoso, transición y separación.

Una capa límite turbulenta no es una sola lámina. Adimensionalizando la distancia a la pared $y$ aparece una estructura universal:

y^+ = \frac{y\, u_\tau}{\nu}, \qquad u_\tau = \sqrt{\tau_w / \rho}

$u_\tau$ es la velocidad de fricción de pared (raíz cuadrada del esfuerzo cortante de pared $\tau_w$ sobre la densidad). $\nu / u_\tau$ es la distancia que la difusión molecular cubre — la longitud viscosa. Así, $y^+$ es «la distancia a la pared medida en longitudes viscosas».

Ley de pared — tres regiones#

Dentro de la capa límite turbulenta sobre placa plana, escalar la velocidad como $u^+ = u / u_\tau$ revela tres regiones:

Región	Rango	Perfil
Subcapa viscosa	$0 < y^+ < 5$	$u^+ = y^+$
Capa amortiguadora	$5 < y^+ < 30$	mezcla suave
Región logarítmica	$30 < y^+ < 0.2\, \delta^+$	$u^+ = \frac{1}{\kappa} \ln y^+ + B$

donde $\kappa \approx 0.41$ es la constante de von Kármán y $B \approx 5.0$ corresponde a pared lisa.

Pegado a la pared, los torbellinos se asfixian y la difusión molecular toma el control. Con esfuerzo cortante casi constante, integrar $\tau_w = \mu \, du/dy$ da exactamente $u^+ = y^+$ . Para sentir la escala: a 20 m/s y a 2 m del borde de ataque, $y^+ = 1$ corresponde a unos 0,02 mm — la subcapa viscosa equivale a un quinto del grosor de un cabello.

La región logarítmica nace del argumento de la longitud de mezcla de Prandtl (la distancia media que un torbellino recorre antes de equilibrarse con su entorno). Si cerca de la pared $\ell = \kappa y$ , junto con la hipótesis de esfuerzo cortante constante e integrando, el perfil logarítmico cae solo.

La constante $B$ de la gráfica desplaza la recta.

Log-law constant B: 5.00 smooth buffer blend shade zones

Al pasar $B$ de 5,0 a 5,5, la recta logarítmica se desplaza en paralelo hacia arriba — las paredes rugosas reducen $B$ y la succión lo aumenta. El estado de toda la superficie cabe en la ordenada al origen de una sola recta.

Si solo entra la ley logarítmica en y+ = 30, u+ vale (1/0,41)·ln(30)+5,0. ln(30) es cerca de 3,40; al dividir por 0,41 sale cerca de 8,30; sumar B deja cerca de 13,3. La ley lineal a esa misma altura dice u+ = 30, así que ambas discrepan en casi 17. En y+ = 5 la ley lineal vale 5. Forzar ahí la ley logarítmica, con ln(5) ≈ 1,61, da u+ ≈ 8,9. El hueco entre 5 y 8,9 es la zona amortiguadora. Coser las dos fórmulas en una sola cuenta dos veces la velocidad de esa banda.

A 20 m/s y a 2 m del borde de ataque, y+ = 1 medía 0,02 mm, de modo que y+ = 5 mide 0,10 mm. La ley lineal vive dentro de esa décima de milímetro. En la década de la función de pared, de 30 a 300, un factor diez en y+ suma cerca de 2,30 al logaritmo y solo cerca de 5,6 a u+ tras dividir por 0,41. Mover B de 5,0 a 5,5 levanta toda la capa logarítmica en 0,5. Ese 0,5 es cerca del 9 % de los 5,6 ganados en una década. Si la rugosidad desplaza el intercepto en 0,5, la velocidad de fricción que devuelve la función de pared se desplaza con él.

Longitud de mezcla — torbellinos como moléculas#

En flujo laminar, las moléculas transportan el momento. La ley de viscosidad de Newton $\tau = \mu\, du/dy$ es la consecuencia. En flujo turbulento, los torbellinos (estructuras organizadas de fluido de muchos tamaños) ocupan ese papel.

Prandtl tomó prestada la idea del recorrido libre medio de la teoría cinética de los gases y llamó longitud de mezcla $\ell$ a la distancia media de un torbellino antes de fundirse con el entorno. La fluctuación de velocidad $u'$ se aproxima por la diferencia de velocidad media en esa distancia y el esfuerzo cortante de Reynolds queda

\overline{u' v'} \approx -\ell^2 \left(\frac{d\bar{u}}{dy}\right)^2

Y aparece la viscosidad de remolino $\nu_t$ :

\nu_t = \ell^2 \left|\frac{d\bar{u}}{dy}\right|

Cerca de la pared, $\nu_t$ puede superar a la viscosidad molecular en $10^4$ veces. La viscosidad cinemática molecular del aire es $\nu \approx 1.5 \times 10^{-5}$ m²/s, mientras que la viscosidad de remolino atmosférica alcanza 0,01–0,1 m²/s cerca de la superficie y 1–100 m²/s en flujos a gran escala.

La longitud de mezcla es una hipótesis, pero su andamiaje sostiene los modelos RANS de orden cero, $k$ - $\varepsilon$ y $k$ - $\omega$ . Tratar a los torbellinos como moléculas resultó ser la simplificación que cimentó la CFD industrial.

Perfiles laminar y turbulento en NumPy#

El flujo laminar en tubería tiene forma cerrada — la parábola de Hagen–Poiseuille. El flujo turbulento se aproxima bien con una ley de potencia 1/n y resulta mucho más plano en la misma sección adimensional.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
def laminar_poiseuille(r, R, U_max):
    """Hagen–Poiseuille: paraboloide de revolución."""
    return U_max * (1.0 - (r / R) ** 2)
 
def turbulent_power_law(r, R, U_centerline, n=7):
    """Ajuste turbulento por ley 1/n (n=7 funciona cerca de Re ~ 1e5)."""
    return U_centerline * (1.0 - np.abs(r) / R) ** (1.0 / n)
 
def law_of_the_wall(y_plus, kappa=0.41, B=5.0):
    """Composición de tres regiones: viscosa / mezcla suave / log."""
    y_plus = np.asarray(y_plus, dtype=float)
    u_visc = y_plus
    u_log = (1.0 / kappa) * np.log(np.maximum(y_plus, 1e-12)) + B
    in_buffer = (y_plus > 5) & (y_plus < 30)
    t = np.clip((y_plus - 5) / 25.0, 0.0, 1.0)
    u_blend = u_visc * (1 - t) + u_log * t
    return np.where(y_plus <= 5, u_visc,
           np.where(y_plus >= 30, u_log, u_blend))
 
R = 1.0
r = np.linspace(-R, R, 201)
u_lam = laminar_poiseuille(r, R, U_max=1.0)
u_tur = turbulent_power_law(r, R, U_centerline=1.0, n=7)
 
bulk_lam = np.trapz(u_lam * np.abs(r), r) / np.trapz(np.abs(r), r)
bulk_tur = np.trapz(u_tur * np.abs(r), r) / np.trapz(np.abs(r), r)
print(f"laminar  bulk/centerline = {bulk_lam:.3f}")
print(f"turbulent bulk/centerline = {bulk_tur:.3f}")
# laminar  bulk/centerline = 0.500
# turbulent bulk/centerline = 0.817
 
y_plus = np.logspace(-1, 3, 200)
u_plus = law_of_the_wall(y_plus)
 
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4))
axes[0].plot(r, u_lam, label="laminar")
axes[0].plot(r, u_tur, label="turbulent (n=7)")
axes[0].set(xlabel="r/R", ylabel="u / U_max", title="pipe profile")
axes[0].legend()
axes[1].semilogx(y_plus, u_plus)
axes[1].set(xlabel="y+", ylabel="u+", title="law of the wall")
plt.tight_layout()

Dos líneas resumen el mensaje. La velocidad media laminar vale exactamente la mitad de la velocidad central — el cociente entre el volumen del paraboloide y el cilindro circunscrito. La media turbulenta llega al 81 % de la velocidad central. Para el mismo gasto másico, la turbulencia necesita menos pico, es decir, distribuye el momento más uniformemente en toda la sección. Esa uniformidad es la cara visible de una viscosidad de remolino cuatro órdenes mayor que la molecular.

Por qué importa la transición en la práctica#

La frontera entre laminar y turbulento no es sólo un asunto teórico.

Las alas con flujo laminar natural (NLF) recortan el arrastre por fricción casi a la mitad al alargar la región laminar.
Los intercambiadores de calor inducen turbulencia a propósito para subir el coeficiente de transferencia. La misma mezcla de momento mezcla calor.
En oleoductos, los costos de bombeo dan un salto cerca del Re crítico. Evitar la ventana de transición suele dictar el punto de operación.
En LES y RANS, la primera celda fuera de la pared debe caer en $y^+ \approx 1$ para resolver la subcapa viscosa, o en $30 < y^+ < 300$ si una función de pared completará el resto. Un número de un solo dígito fija el presupuesto del mallado.

Si el primer punto cae en la capa log, la subcapa desaparece#

Cuando la primera celda queda cerca de y+ = 30, el tramo en el que u+ iguala a y+ no se calcula. El cortante de pared queda apoyado en el intercepto B de la ley logarítmica. En pared lisa B vale 5,0. Dejar ese número en una pared rugosa traslada el desplazamiento paralelo de 0,5 hacia la velocidad de fricción. El 0,817 del código es el ajuste de potencia 1/7 para tubo liso cerca de Re = 100.000. A la misma velocidad central, el caudal turbulento es 1,63 veces el laminar de 0,500. Pegar esa razón a un tubo con el intercepto equivocado desalinea el caudal.

La razón solo vale cuando el perfil ya está desarrollado. Cuánta longitud hace falta desde la entrada hasta la parábola, o hasta la potencia 1/7, se cuenta en longitud de desarrollo y Hagen–Poiseuille. Omitir esa longitud aplica la comparación entre 0,500 y 0,817 a una estación que todavía no tiene ninguno de los dos perfiles.