四道激波胜过一道 — 超声速进气道的斜激波串

1944 年的哥廷根，Klaus Oswatitsch 正被超声速推进装置的进气道问题缠住。冲压发动机必须把进来的空气压缩，可在 Mach 3 下直接把气流刹停，三分之二的压力就没了。他给出的答案不是压得更狠，而是把压缩拆成几段。立几块斜面，每一块只把气流拧一点点。今天就从斜激波（斜着立起来的激波）的关系式出发，推出这笔账为什么算得通，再改变斜板的块数，亲手数一数恢复系数怎么走。

激波夺走的是什么

穿过激波，质量、动量、能量都守恒。滞止温度 $T_0$ 也原样保留。消失的只有滞止压力（总压） $p_0$ 这一个。

\frac{p_{02}}{p_{01}} = \exp\!\left(-\frac{\Delta s}{R}\right)

$\Delta s$ 是穿过激波后增加的熵， $R$ 是气体常数。熵增了多少，总压就被削掉多少。

为什么偏偏是总压。因为进气道能交给发动机的功，上限恰好就是总压。滞止压力砍掉一半，喷管里能榨出来的膨胀比也只剩一半。这正是把进气道的性能指标归结为恢复系数 $\pi_d = p_{0e}/p_{0\infty}$ 一个数的理由。

Mach 3 下立一道正激波，这个值是多少。正好是 0.3283。总压的 67% 化成了热散掉。

斜着切入，只剩法向分量

把激波相对气流斜着立起来，情况就变了。与波面平行的速度分量穿过激波不变。因为压力梯度只沿波面法向作用。

也就是说，斜激波是只承受法向分量的正激波。波角（wave angle） $\beta$ 一定，有效 Mach 数就是

M_{1n} = M_1 \sin\beta

$\beta$ 越小， $M_{1n}$ 越贴近 1。哪怕来流是 Mach 3，只要 $\beta = 25.6°$ ，激波实际感受到的不过是 Mach 1.30 的一道弱激波。

气流的偏转角 $\theta$ （deflection angle）与波角 $\beta$ 由下面这条关系绑在一起。

\tan\theta = 2\cot\beta \, \frac{M_1^2 \sin^2\beta - 1}{M_1^2 (\gamma + \cos 2\beta) + 2}

$\gamma$ 是比热比（空气取 1.4）。说这条式子就是本文的全部，也不算过分。

一个 θ–β–M，两个答案#

给定 $M_1$ 和 $\theta$ 去解 $\beta$ ，会得到两个根。波角小的那个是弱解（weak solution），大的那个是强解（strong solution）。弱解后方通常仍是超声速，强解后方则变成亚声速。

自然界几乎总是挑弱解。只要背压不是特别高，贴在楔面上的激波就是弱的那一支。

而且 $\theta$ 一直加大，到某一刻根会彻底消失。每个 $M_1$ 都有一个能拧到头的最大角 $\theta_{\max}$ 。

$M_1$	1.5	2.0	3.0	5.0
$\theta_{\max}$	12.1°	23.0°	34.1°	41.1°

一旦 $\theta > \theta_{\max}$ ，激波就贴不住物体，会朝前脱开，变成弯曲的脱体激波（bow shock）。脱开的瞬间，鼻锥正前方实际上就是一道正激波，恢复系数直线跳水。

在下面的模拟里亲手操作一下。

M13.00theta [deg]8.0

drag theta and watch the amber Vn arrow grow while the slate Vt arrow never changes — that is why p02/p01 falls. push theta past the amber thetamax line and the shock detaches. then drag M1: the whole theta-beta knee slides right, so a faster inlet can turn the flow harder.

把 $M_1$ 滑块往上推，θ–β 曲线的拐点（knee）会向右移。意思是来流越快，能拧的角度越大。再把 $\theta$ 推过 $\theta_{\max}$ ，看激波脱开的那一刻，同时盯住 $p_{02}/p_{01}$ 这个数字是怎么塌下去的。右图里的切向分量箭头，在激波前后长度完全一样 — 被削掉的只有法向分量。

损失按三次方缩小

这里有一个决定性的事实。弱激波的熵增并不正比于 $M_{1n}-1$ 。它正比于三次方。

\frac{\Delta s}{R} \simeq \frac{2\gamma}{3(\gamma+1)^2}\left(M_{1n}^2 - 1\right)^3

$\gamma = 1.4$ 时系数是 0.162。 $M_{1n}^2 - 1$ 减半，损失就变成八分之一。

正是这个三次方撑起了 Oswatitsch 的算盘。Mach 3 下一次性立起来，激波要扛的 $M_n^2-1$ 是 8。把它切成四份，每一份扛的值小得多，损失按份数各自以三次方缩水。份数再多，乘起来的总和依然远小于原来那一个。

拿真实数字对一下。 $M_{1n} = 1.30$ 一次的总压损失是 2.1%。同样的活拆成 $M_{1n} = 1.15$ 两次，每次只有 0.33%，加起来还不到 0.7%。激波数目翻倍，损失却只有原来的三分之一。

把 Mach 3 进气道切成几段#

按 8° 一块的斜板逐块增加、最后用一道正激波收尾的构型算了一遍。每一块斜板都要用穿过前一块之后的当地 Mach 数重新计算。

import math
 
GAMMA = 1.4
 
def stagnation_ratio(mn):
    """承受法向 Mach 数 mn 的激波的总压比 p02/p01"""
    g = GAMMA
    a = ((g + 1) * mn**2 / 2) / (1 + (g - 1) * mn**2 / 2)
    b = (g + 1) / (2 * g * mn**2 - (g - 1))
    return a ** (g / (g - 1)) * b ** (1 / (g - 1))
 
def downstream_normal_mach(mn):
    g = GAMMA
    return math.sqrt((1 + (g - 1) / 2 * mn**2) / (g * mn**2 - (g - 1) / 2))
 
def deflection(mach, beta):
    """给定波角 beta(rad) 所产生的偏转角 theta(rad)"""
    g = GAMMA
    num = mach**2 * math.sin(beta) ** 2 - 1
    den = mach**2 * (g + math.cos(2 * beta)) + 2
    return math.atan(2 / math.tan(beta) * num / den)
 
def wave_angle_weak(mach, theta):
    """产生 theta 的弱解 beta。拧不出来则返回 None"""
    lo, hi = math.asin(1 / mach), math.pi / 2
    grid = [lo + (hi - lo) * i / 4000 for i in range(4001)]
    peak = max(grid, key=lambda b: deflection(mach, b))
    if theta > deflection(mach, peak):
        return None
    a, b = lo, peak
    for _ in range(80):
        mid = 0.5 * (a + b)
        if deflection(mach, mid) < theta:
            a = mid
        else:
            b = mid
    return 0.5 * (a + b)
 
def inlet_recovery(mach_inf, n_ramps, ramp_deg):
    """穿过 n 块斜板 + 终端正激波之后的总压恢复系数"""
    theta = math.radians(ramp_deg)
    total, mach = 1.0, mach_inf
    for _ in range(n_ramps):
        beta = wave_angle_weak(mach, theta)
        if beta is None:
            break
        mn = mach * math.sin(beta)
        total *= stagnation_ratio(mn)
        mach = downstream_normal_mach(mn) / math.sin(beta - theta)
    return total * stagnation_ratio(mach)
 
for n in range(5):
    print(f"斜板 {n} 块: 恢复系数 {inlet_recovery(3.0, n, 8.0):.4f}")

输出是这样的。

斜板 0 块: 恢复系数 0.3283
斜板 1 块: 恢复系数 0.4497
斜板 2 块: 恢复系数 0.5808
斜板 3 块: 恢复系数 0.7101
斜板 4 块: 恢复系数 0.8235

四块 8° 斜板，就把恢复系数从 0.33 抬到 0.82，整整 2.5 倍。总偏转角只有 32°，额外加进去的东西不过是四张斜面。

换成 Mach 2.4 配 6° 斜板重跑一遍，趋势一样。0.5401 → 0.7440（2 块）→ 0.9096（4 块）。

把斜板数目推向无穷、每块的偏转角推向零，压缩就收敛到等熵。理论上恢复系数可以到 1。真实的 Concorde 和 SR-71 进气道之所以采用曲面斜板和可动中心锥，道理就在这里。

在下面亲手改一改斜板块数和偏转角。

M inf3.00ramps N3delta [deg]8.0

keep M inf = 3.00 and delta = 8 deg, then drag N from 0 to 4 and watch the bottom number climb 0.3283 → 0.8235 while the red terminal shock bar gets visibly thinner. now push delta up: each ramp bites harder, the chain runs out of Mach, and it turns red.

把斜板数 $N$ 从 0 推到 5，看下方那根恢复系数柱是怎么往上爬的。接着把每块的偏转角推到 14°，到某一刻后面的斜板会变红。那是在提示：气流已经慢到那个程度，再按这个角度拧不动了。

切分并不是免费的

那立 20 块斜板不就行了。不这么做的理由有几条。

第一，长度。每多一块斜板，激波打到唇口（cowl lip）的位置就往后挪一截。进气道一长，重量和摩擦阻力就跟着上来。为了赚 3% 的恢复系数把机身拉长 1 m，这笔买卖多半是亏的。

第二，非设计点工况。斜板角度是按某个特定 Mach 数调的，要让所有激波正好汇到唇口（shock-on-lip）。一偏离那个 Mach 数，激波就错到唇口前面或里面，空气绕过进气道流走，产生溢流阻力（spillage drag）。斜板越多，对这种错位越敏感。

第三，边界层。每块斜板的激波都会撞上壁面边界层，让压力陡然升高。激波-边界层干扰一旦引起分离，纸面上的恢复系数就失去了意义。真实进气道在斜板附近开放气槽（bleed），正是为此。

第四，终端正激波去不掉。发动机压气机要求亚声速来流。总得有个地方必须穿过声速。斜板的作用是把撞上最后那道激波时的 Mach 数压低，而不是把它取消。上面的算例里，四块斜板那一档的终端激波发生在 Mach 1.67，仅这一道就拿走了 13%。

记住这三句

穿过激波丢掉的只有总压，而损失正比于 $(M_{1n}^2-1)^3$ — 所以弱激波几乎是白拿的。

斜激波是只承受法向分量的正激波； $\theta$ – $\beta$ – $M$ 关系有两个答案，一旦越过 $\theta_{\max}$ 就无解，激波随即脱体。

把同样的减速拆成几段，靠三次方，总损失骤降。Mach 3 下四块 8° 斜板把恢复系数从 0.33 拉到 0.82。代价是进气道长度，以及对偏离设计点的敏感度。