昆虫在蜂蜜中游泳 —— 雷诺数改变的流动世界

缩比模型不能只缩小长度。雷诺数跟着掉，粘性项的位置就换了。

细菌无法游泳。准确地说，靠惯性滑行的那种推进对它无效。人甩一下尾巴还能靠惯性往前蹭。细菌待在惯性消失的地方，像透明的蜂蜜。方程仍是纳维-斯托克斯。尺度一变，做主的项就换了。把这个差别记成一个数，就是雷诺数 (Reynolds Number，惯性力/粘性力比)。

把格子上的雷诺数滑条从 10 附近推到 1000。本来整齐的箭头开始晃。

10 附近，粘性马上抹掉扰动，箭头像梳齿一样趴下。推到 1000，矢量各自乱晃。那是湍流出现前的脸。

同样的方程，不同的世界

蓝鲸在海洋中游泳。水分子的本质当然是一样的。但是对于 1 μm 的细菌来说，水感觉就像是完全不同的物质。这是因为即使使用同样的纳维-斯托克斯方程，一旦尺度发生变化，主导项也会随之改变。

不可压缩纳维-斯托克斯方程如下所示：

\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u}

其中 $\rho$ 是密度， $\mathbf{u}$ 是速度场， $p$ 是压力， $\mu$ 是粘性系数。左边代表惯性（质量 × 加速度），右边的 $\mu\nabla^2\mathbf{u}$ 是粘性（内部摩擦）项。这两股力量时刻在博弈。谁会赢呢？

脱掉方程的外衣：无量纲化

答案由尺度决定。为了证明这一点，必须对方程进行无量纲化。我们用特征长度 $L$ 、特征速度 $U$ 、特征时间 $L/U$ 、特征压力 $\rho U^2$ 来除以所有的量。

\tilde{\mathbf{x}} = \frac{\mathbf{x}}{L}, \quad \tilde{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{u}}{U}, \quad \tilde{t} = \frac{tU}{L}, \quad \tilde{p} = \frac{p}{\rho U^2}

每一个变量的含义是“用物理量自身自然的量级测得的值”。将这些定义代入纳维-斯托克斯方程并整理，就会剩下一个单位全部消失的整洁公式。

\frac{\partial \tilde{\mathbf{u}}}{\partial \tilde{t}} + (\tilde{\mathbf{u}}\cdot\tilde{\nabla})\tilde{\mathbf{u}} = -\tilde{\nabla}\tilde{p} + \frac{1}{\mathrm{Re}}\,\tilde{\nabla}^2 \tilde{\mathbf{u}}

所有的物理单位都消失了，只剩下唯一的数字 $\mathrm{Re}$ 。这就是雷诺数。

\mathrm{Re} = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu} = \frac{\text{惯性力}}{\text{粘性力}}

$\nu = \mu/\rho$ 是运动粘度 (kinematic viscosity)。 $\rho$ 、 $U$ 、 $L$ 越大，惯性越占上风； $\mu$ 越大，粘性越占上风。即使在同样的水中，如果 $L$ 减小， $\mathrm{Re}$ 会线性下降。最终，主导世界的项会发生改变。

尺度改变雷诺数

让我们通过数字来感受一下。以水的运动粘度 $\nu \approx 10^{-6}\,\text{m}^2/\text{s}$ 为基准，代表性生物的 $\mathrm{Re}$ 如下：

# 用特征长度/速度计算雷诺数
def reynolds(U, L, nu=1e-6):
    return U * L / nu
 
cases = [
    ("蓝鲸",       10.0,    25.0),
    ("游泳运动员",  1.0,     1.5),
    ("鱼苗",       0.1,     0.01),
    ("细菌",       30e-6,   1e-6),
]
for name, U, L in cases:
    print(f"{name:8s} Re = {reynolds(U, L):10.2e}")
# 蓝鲸       Re =   2.50e+08
# 游泳运动员  Re =   1.50e+06
# 鱼苗       Re =   1.00e+03
# 细菌       Re =   3.00e-05

最大值和最小值之间相差竟达 13 个数量级。而且是在同样的水里。雷诺数不仅仅是一个简单的数字，它是在流体内部对不同“世界”进行标记的地址。

在像细菌这样 $\mathrm{Re} \ll 1$ 的领域，无量纲方程的惯性项实际上消失了，方程两边乘以 $\mathrm{Re}$ 就变成了 斯托克斯 (Stokes) 方程 $-\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} = 0$ 。没有时间导数项。也就是说，细菌周围的流动“无法记住过去”。撤去力量的瞬间，速度也会变为零。

粘性项前面的 1/Re 决定数量级#

代码里的四行，是同一个公式配上同一个 $\nu \approx 10^{-6}\,\text{m}^2/\text{s}$ 。蓝鲸 $2.50\times 10^{8}$ ，运动员 $1.50\times 10^{6}$ ，鱼苗 $1.00\times 10^{3}$ ，细菌 $3.00\times 10^{-5}$ 。两端相除得到 $8.33\times 10^{12}$ 。数量级大约是 13。注释里的两个端点已经带着这个比。

无量纲动量方程里，粘性项的系数是 $1/\mathrm{Re}$ 。把无量纲梯度看成 1 的量级，这个系数就是粘性项的大小。细菌大约是 $3.3\times 10^{4}$ 。惯性项为 1 时，粘性项大约是三万倍。两边乘上 $\mathrm{Re}$ 、丢掉惯性项，靠的就是这个倍数。蓝鲸是 $4\times 10^{-9}$ 。粘性项还不到惯性项的十亿分之四。平均流动里可以丢掉粘性，是这个数量级允许的。壁面除外。那里的梯度不是 1。

鱼苗的 $\mathrm{Re} = 1.00\times 10^{3}$ ，系数就是 $10^{-3}$ 。惯性比粘性大一千倍。但不是零。圆柱尾迹在 40 附近失去左右对称，比鱼苗低一个数量级，比细菌高六个数量级。滑条上的 10 和 1000 落在这段空隙里。

$\mathrm{St} = fL/U \approx 0.2$ 时，频率收成 $0.2\,U/L$ 。有 $U$ 和 $L$ 就够了。音调不必重新测。

圆柱后面对称被撕开的位置

粒子数、速度和障碍物写死在组件上。要看的是 卡门涡街 (Von Kármán vortex street)（从圆柱后部周期性脱落的涡旋）出不出现。

在 $\mathrm{Re} \lesssim 40$ 时，圆柱后部流动是左右对称附着的。一旦超过 40，上下方的涡旋会交替脱落，呈现出“尾巴周期性摆动”的图案。旗帜飘扬、电线啸叫、长桥在风中震动，原因都是卡门涡街。自然现象的频率与斯特劳哈尔数 (Strouhal number) $\mathrm{St} = fL/U \approx 0.2$ 相关，只要知道 $U$ 和 $L$ ，甚至可以估算出啸叫声的音调。圆管里的临界比这个 40 高得多，边界层会分成好几层。层的排法写在水柱开始散开的那一下。

为什么细菌处于“蜂蜜”中

当 $\mathrm{Re} \ll 1$ 时，惯性几乎为零。停止游泳的瞬间就会停下来。还有更令人惊讶的结果。

无法通过时间可逆的动作前进 —— 珀塞尔 (Purcell) 的 扇贝定理 (scallop theorem)。

像扇贝那样对称地开合动作，净位移为零。因此，细菌必须通过旋转螺旋形鞭毛或进行非对称的鞭打动作才能前进。虽然同样源自纳维-斯托克斯方程，但 $\mathrm{Re}$ 的尺度改变了“被允许的运动清单”。运动设计的语法已经发生了变化。

相反，当 $\mathrm{Re}$ 超过几十万时，方程的粘性项相对于整体流动可以忽略不计（边界层内部除外）。因此，飞机机翼周围的平均流动可以用无粘的欧拉 (Euler) 方程很好地解释。方程本身并没有改变，只是主导项改变了。

无量纲化的启示

雷诺数只是无量纲数的一个例子。根据同样的逻辑，诸如 $\mathrm{Ma} = U/c$ （马赫数，惯性/压缩性）、 $\mathrm{Fr} = U/\sqrt{gL}$ （弗劳德数，惯性/重力）、 $\mathrm{We} = \rho U^2 L/\sigma$ （韦伯数，惯性/表面张力）等“世界的拨盘”会连续出现。无量纲化把这些拨盘彼此拆开。这也是在风洞实验中使用缩比模型的原因。即便尺寸和速度不同，只要 $\mathrm{Re}$ 相同，无量纲方程就是一致的，因此解也是一致的。这就是力学相似原理 (dynamic similarity)。

对不上雷诺数的缩比模型，解的是另一套方程

风洞里把长度缩到十分之一，速度不动， $\mathrm{Re}$ 也变成十分之一。无量纲方程里粘性项的系数放大十倍。全尺寸机翼上可以丢掉粘性的地方，到了模型上粘性吃得更狠。

相似实验因此去保长度和速度的乘积 $UL$ 。换流体，或者让速度按长度的反比往上加。只对上一个拨盘，其余的仍然是错的。自由表面还得对齐厨房水槽里每天出现的弗劳德数，而 $U/\sqrt{gL}$ 和 $UL$ 很难同时满足。实验开始之前，先决定丢掉哪一个拨盘。