Cuatro choques le ganan a uno — el tren de choques oblicuos de una toma supersónica

En 1944, en Gotinga, Klaus Oswatitsch estaba atascado con el problema de la toma de aire de un vehículo supersónico. El estatorreactor tiene que comprimir el aire que entra, pero a Mach 3 frenarlo de golpe hacía desaparecer dos tercios de la presión. Su respuesta no fue comprimir más fuerte, sino repartir la compresión en varios trozos. Se colocan unas cuantas rampas y el flujo se desvía solo un poco cada vez. Hoy se saca de las relaciones del choque oblicuo (el choque inclinado respecto al flujo) por qué ese cálculo sale bien, y se cuenta directamente cómo se mueve la recuperación al cambiar el número de rampas.

Qué se lleva un choque#

Al atravesar un choque se conservan masa, cantidad de movimiento y energía. La temperatura de estancamiento $T_0$ también queda igual. Lo único que desaparece es la presión de estancamiento (presión total) $p_0$.

$\Delta s$ es el aumento de entropía al cruzar el choque y $R$ la constante del gas. La presión total se recorta justo en la medida en que crece la entropía.

¿Y por qué precisamente la presión total? Porque el trabajo máximo que la toma puede entregarle al motor es esa misma presión total. Si la presión de estancamiento se reduce a la mitad, la relación de expansión aprovechable en la tobera también. De ahí que el rendimiento de una toma se resuma en un único indicador, la recuperación $\pi_d = p_{0e}/p_{0\infty}$.

¿Cuánto vale eso a Mach 3 levantando un solo choque normal? Exactamente 0.3283. El 67% de la presión total se dispersa en forma de calor.

Al golpear en diagonal solo queda la componente normal#

Si el choque se coloca oblicuo al flujo, la situación cambia. La componente de velocidad paralela al frente de choque no varía al cruzarlo, porque el gradiente de presión actúa únicamente en dirección normal al frente.

Es decir, un choque oblicuo es un choque normal que solo sufre la componente normal. Fijado el ángulo de onda (wave angle) $\beta$, el número de Mach efectivo queda

Cuanto menor es $\beta$, más se acerca $M_{1n}$ a 1. Aunque el flujo sea de Mach 3, con $\beta = 25.6°$ lo que el choque siente en realidad es un choque débil de Mach 1.30.

El ángulo de desviación $\theta$ (deflection angle) y el ángulo de onda $\beta$ quedan atados por esta relación.

$\gamma$ es la relación de calores específicos (1.4 para el aire). Se podría decir que esta ecuación es todo el artículo.

Una sola relación θ–β–M con dos respuestas#

Dados $M_1$ y $\theta$, al despejar $\beta$ aparecen dos raíces. La del ángulo de onda menor es la solución débil (weak solution) y la del mayor, la solución fuerte (strong solution). Detrás de la débil el flujo suele quedar supersónico; detrás de la fuerte, subsónico.

La naturaleza elige casi siempre la débil. Mientras la presión aguas abajo no sea especialmente alta, el choque adherido a una cuña es el débil.

Y si se sigue aumentando $\theta$, en algún momento las raíces desaparecen del todo. Para cada $M_1$ existe un ángulo máximo de desviación $\theta_{\max}$.

Con $\theta > \theta_{\max}$ el choque ya no logra mantenerse pegado al cuerpo, se desprende hacia adelante y se convierte en un choque curvo desprendido (bow shock). En el instante en que se despega, la zona frontal del morro pasa a comportarse como un choque normal y la recuperación se desploma.

Conviene manipularlo directamente en la simulación de abajo.

Al subir el deslizador de $M_1$, la rodilla (knee) de la curva θ–β se corre hacia la derecha: cuanto más rápido va el flujo, más se lo puede desviar. Vale la pena empujar $\theta$ más allá de $\theta_{\max}$ para ver el instante en que el choque se desprende y, junto con eso, cómo se derrumba el número $p_{02}/p_{01}$. En el dibujo de la derecha, las flechas de la componente tangencial miden lo mismo antes y después del choque — lo único que se recorta es la componente normal.

La pérdida cae con el cubo#

Aquí llega el hecho decisivo. El aumento de entropía de un choque débil no es proporcional a $M_{1n}-1$. Es proporcional al cubo.

Con $\gamma = 1.4$ el coeficiente vale 0.162. Si $M_{1n}^2 - 1$ se reduce a la mitad, la pérdida queda en una octava parte.

Ese cubo es lo que sostiene el cálculo de Oswatitsch. A Mach 3, de una sola vez, el choque carga con un $M_n^2-1$ igual a 8. Partido en cuatro trozos, cada trozo carga con un valor mucho menor y la pérdida de cada uno baja al cubo. Aun multiplicando por el número de trozos, el total sale muchísimo más chico que el original.

Se comprueba con números reales. Un solo choque con $M_{1n} = 1.30$ pierde el 2.1% de la presión total. Repartir el mismo trabajo en dos choques de $M_{1n} = 1.15$ da 0.33% en cada uno, y ni sumados llegan al 0.7%. El doble de choques y un tercio de la pérdida.

Se trocea una toma a Mach 3#

Se calculó una configuración que va sumando rampas de 8° de a una y cierra con un choque normal. Cada rampa hay que recalcularla con el número de Mach local que deja la rampa anterior.

import math
 
GAMMA = 1.4
 
def stagnation_ratio(mn):
    """Razon de presion total p02/p01 de un choque con numero de Mach normal mn"""
    g = GAMMA
    a = ((g + 1) * mn**2 / 2) / (1 + (g - 1) * mn**2 / 2)
    b = (g + 1) / (2 * g * mn**2 - (g - 1))
    return a ** (g / (g - 1)) * b ** (1 / (g - 1))
 
def downstream_normal_mach(mn):
    g = GAMMA
    return math.sqrt((1 + (g - 1) / 2 * mn**2) / (g * mn**2 - (g - 1) / 2))
 
def deflection(mach, beta):
    """Angulo de desviacion theta(rad) que produce un angulo de onda beta(rad) dado"""
    g = GAMMA
    num = mach**2 * math.sin(beta) ** 2 - 1
    den = mach**2 * (g + math.cos(2 * beta)) + 2
    return math.atan(2 / math.tan(beta) * num / den)
 
def wave_angle_weak(mach, theta):
    """Solucion debil beta que produce theta. Si no se puede desviar, None"""
    lo, hi = math.asin(1 / mach), math.pi / 2
    grid = [lo + (hi - lo) * i / 4000 for i in range(4001)]
    peak = max(grid, key=lambda b: deflection(mach, b))
    if theta > deflection(mach, peak):
        return None
    a, b = lo, peak
    for _ in range(80):
        mid = 0.5 * (a + b)
        if deflection(mach, mid) < theta:
            a = mid
        else:
            b = mid
    return 0.5 * (a + b)
 
def inlet_recovery(mach_inf, n_ramps, ramp_deg):
    """Recuperacion de presion total tras n rampas mas el choque normal terminal"""
    theta = math.radians(ramp_deg)
    total, mach = 1.0, mach_inf
    for _ in range(n_ramps):
        beta = wave_angle_weak(mach, theta)
        if beta is None:
            break
        mn = mach * math.sin(beta)
        total *= stagnation_ratio(mn)
        mach = downstream_normal_mach(mn) / math.sin(beta - theta)
    return total * stagnation_ratio(mach)
 
for n in range(5):
    print(f"rampas {n}: recuperacion {inlet_recovery(3.0, n, 8.0):.4f}")

La salida es esta.

rampas 0: recuperacion 0.3283
rampas 1: recuperacion 0.4497
rampas 2: recuperacion 0.5808
rampas 3: recuperacion 0.7101
rampas 4: recuperacion 0.8235

Con cuatro rampas de 8° la recuperación pasa de 0.33 a 0.82, es decir 2.5 veces más. El ángulo total desviado es de solo 32°, y lo único que se agregó son cuatro planos inclinados.

Repitiendo a Mach 2.4 con rampas de 6°, la tendencia es la misma. 0.5401 → 0.7440 (2 rampas) → 0.9096 (4 rampas).

Si se multiplican las rampas hasta el infinito y el ángulo de desviación de cada una tiende a 0, la compresión converge a la isentrópica. En teoría, eso significa que una recuperación igual a 1 es posible. Ahí está la razón de que las tomas reales del Concorde y del SR-71 usen rampas curvas y espigas móviles.

Abajo se pueden cambiar directamente el número de rampas y el ángulo de desviación.

Al subir el número de rampas $N$ de 0 a 5, vale la pena mirar cómo trepa la recuperación en la barra inferior. Después, empujando el ángulo por rampa hasta 14°, en algún momento las rampas de atrás se ponen rojas: es la señal de que el flujo ya se frenó lo suficiente y con ese ángulo no se lo puede desviar más.

Trocear no sale gratis#

¿Entonces basta con levantar 20 rampas? Hay varias razones para no hacerlo.

Primera, la longitud. Cada rampa que se agrega empuja hacia atrás el punto donde el choque alcanza el labio del capot (cowl). Una toma más larga trae consigo peso y resistencia de fricción. Alargar 1 m el fuselaje para ganar un 3% de recuperación suele ser mal negocio.

Segunda, las condiciones fuera del punto de diseño. Los ángulos de rampa se ajustan para que, a un número de Mach concreto, todos los choques se junten exactamente en el labio del capot (shock-on-lip). Fuera de ese Mach los choques se desalinean por delante o por dentro del labio, y aparece la resistencia de derrame (spillage drag) del aire que esquiva la toma. Cuantas más rampas, mayor la sensibilidad a ese desajuste.

Tercera, la capa límite. El choque de cada rampa se encuentra con la capa límite de la pared y le sube la presión de golpe. Si la interacción choque–capa límite provoca desprendimiento, la recuperación calculada pierde todo su sentido. Por eso las tomas reales llevan ranuras de succión (bleed) cerca de las rampas.

Cuarta, el choque normal terminal no se puede eliminar. El compresor del motor exige una entrada subsónica. En algún punto hay que cruzar sí o sí la velocidad del sonido. El papel de las rampas es bajar el número de Mach con el que se llega a ese último choque, no suprimirlo. En el cálculo de arriba, el choque terminal de la configuración de 4 rampas ocurre a Mach 1.67, y solo él se lleva un 13%.

Tres líneas para recordar#

Lo único que se pierde al cruzar un choque es la presión total, y la pérdida es proporcional a $(M_{1n}^2-1)^3$ — por eso un choque débil sale casi gratis.

Un choque oblicuo es un choque normal que solo sufre la componente normal; la relación $\theta$–$\beta$–$M$ tiene dos respuestas y, pasado $\theta_{\max}$, se queda sin ninguna y el choque se desprende.

Repartir la misma deceleración en varios trozos hunde la pérdida total gracias al cubo. A Mach 3, cuatro rampas de 8° llevan la recuperación de 0.33 a 0.82. El precio es la longitud de la toma y la sensibilidad a salirse del punto de diseño.