水要流多远才变成抛物线 — 入口段长度与Hagen–Poiseuille

把水龙头开到最大，水流会在一段距离内保持顺滑。管道内部也有类似的事发生。在入口处，水几乎感觉不到管壁的存在。速度分布几乎是平的。可是流过一段之后，断面速度分布就变成一条光滑的抛物线。中间这一段就是今天的主角。

把 Re 滑条从 100 推到 2000，橙色 fully developed 线会往右移。

这条线从五倍管径走到一百倍的过程里，入口的平坦分布还不是抛物线。中心速度变成平均值两倍的位置，只在线的下游。

管壁把消息传遍断面所需的距离

在管壁处流体不滑移（no-slip，壁面速度为零）。这个条件不会在入口一下子传遍整个断面。

一开始只有壁面附近出现一层薄薄的边界层（速度急剧变化的近壁层）。流动越往前走，这层就越往内生长。当上下两侧边界层在管中心相遇的那一刻，速度分布不再改变。从这一点起就称为充分发展（fully developed）流动。

从入口到充分发展的距离叫做水力入口段长度 $L_h$。层流中它由管径 $D$ 和雷诺数（惯性力与黏性力之比）决定。

其中 $u_m$ 是断面平均速度，$\rho$ 是密度，$\mu$ 是黏性系数。当 $\mathrm{Re}_D=2000$ 时，入口段长度可达管径的100倍。在细实验管路里若测点选错，测到的就是仍在发展中的流动。

把数字代进去。$\mathrm{Re}_D=2000$ 时 $L_h/D\approx0.05\times2000=100$。管径 2 cm，入口段就是 2 m。代码里的条件是 $\mathrm{Re}=1600$、$D=0.02$ m，于是 $0.05\times1600\times0.02=1.60$ m，合 80 倍管径。入口往后 0.80 m，也就是 $40D$，只走了一半。那个断面还没有充分发展。中心速度到不了 $2u_m=0.160$ m/s。反过来 $\mathrm{Re}_D=100$ 时 $L_h/D\approx5$，同一根 2 cm 管只要 10 cm。实验台上的短管在这个雷诺数下几乎已经发展完。管子不动、只加大流量，同一个测点就会从“发展后”变成“发展中”。

发展段的抛物线 — Hagen–Poiseuille#

一旦充分发展，轴向速度不再变化。此时 $\partial u/\partial x = 0$，径向速度 $v=0$。圆柱坐标下的动量方程随之简化。

压力梯度 $dp/dx$ 是常数。在壁面施加 $u(R)=0$，在中心施加 $du/dr=0$，然后积分两次。

其中 $R=D/2$ 是管半径，$r$ 是到中心的距离。结果很干净。中心线速度恰好是平均速度的两倍。这条抛物线就是Hagen–Poiseuille流动。

把 $r=0$ 代进去，$u=2u_m$。代码里 $u_m=0.08$ m/s，中心就是 0.160 m/s。$u=u_m$ 的半径是 $r/R=1/\sqrt{2}$。壁面 $r=R$ 处为 0。和这条抛物线接上的压力梯度是 $dp/dx=-32\mu u_m/D^2$。$\mu=10^{-3}$、$D=0.02$ 时 $D^2=4\times10^{-4}$，$-32\times10^{-3}\times0.08/(4\times10^{-4})=-6.40$ Pa/m。按这个斜率走 10 m 是 64 Pa，走 80 m 是 512 Pa。不过这条直线只在充分发展之后成立。1.60 m 以前，边界层还在把动量抽走，中心仍在加速，压降比这条直线更陡。

压力为何以恒定速率下降 — 摩擦系数

把抛物线在断面上取平均，平均速度就与压力梯度直接挂钩。

梯度是常数，意味着压力沿管道线性下降。把这份损失打包成一个无量纲数，就得到达西摩擦系数 $f$。

层流摩擦系数只由雷诺数决定。管壁粗糙度根本不参与。下面拖动雷诺数，让点沿着摩擦系数曲线移动。

在 $\mathrm{Re}_D<2300$ 区间，点精确地贴着 $64/\mathrm{Re}$ 直线。越过门槛后曲线拐弯，换上另一条规律。

2300这道门槛 — 从层流到湍流#

当 $\mathrm{Re}_D$ 超过约2300，原本顺滑的流动开始破碎。旋涡掺混进来，过渡为湍流。这道门槛在管内怎样分开，写在 水流变乱的那一个雷诺数 里。

湍流中入口段长度反而变短。$L_h/D$ 大致停在10到60之间，与层流的100倍形成对比。代价是摩擦增大。光滑管的一条经验式就是Blasius公式。

指数从 $-1$ 变缓到 $-1/4$。即便提高雷诺数，摩擦也不再像以前那样快速下降。要以更大的压力推动同样的流量。

用Python重现入口段长度与摩擦#

用数字追踪一根小管道吧。

import numpy as np
 
def entrance_length(Re, D):
    # 层流水力入口段长度 [m]
    return 0.05 * Re * D
 
def poiseuille_profile(r, R, u_mean):
    # 充分发展的层流速度分布 (Hagen-Poiseuille)
    return 2.0 * u_mean * (1.0 - (r / R) ** 2)
 
def darcy_friction(Re):
    # 层流摩擦系数 (Re < 2300)
    return 64.0 / Re
 
D = 0.02          # 管径 [m]
rho, mu = 1000.0, 1e-3
u_mean = 0.08     # 平均速度 [m/s]
 
Re = rho * u_mean * D / mu
print(f"Re = {Re:.0f}")                                 # Re = 1600
print(f"入口段长度 = {entrance_length(Re, D):.2f} m")     # 1.60 m
print(f"中心速度 = {poiseuille_profile(0, D/2, u_mean):.3f} m/s")  # 0.160
dpdx = -32 * mu * u_mean / D**2
print(f"压力梯度 = {dpdx:.2f} Pa/m")                     # -6.40 Pa/m
print(f"摩擦系数 f = {darcy_friction(Re):.4f}")          # 0.0400

一根直径2 cm的管，入口段长度却有1.6 m，是管径的80倍。实验台上那些短管路，大多处理的是仍在发展中的流动。

测点落在入口段之前

压力测点若放在 $L_h$ 之前，$dp/dx=-32\mu u_m/D^2$ 还不是常数。代码打出来的 $\mathrm{Re}=1600$、$f=0.0400$、梯度 $-6.40$ Pa/m，都属于充分发展之后。在 1.60 m 以内套同一条式子，损失会偏小。入口附近中心仍在加速，压降更陡。

跨进湍流以后，入口段变短，摩擦变大。$\mathrm{Re}_D$ 过了大约 2300，$L_h/D$ 落在 10 到 60。摩擦离开 $64/\mathrm{Re}$，改乘 Blasius 的 $0.316\,\mathrm{Re}_D^{-1/4}$。$\mathrm{Re}_D=10^4$ 时 $64/\mathrm{Re}_D=0.0064$，$10^4$ 的四次方根是 10，于是 $0.316\times0.1=0.0316$。大约五倍。管子短，不是继续用层流公式的理由。泵的扬程会不够。壁面剪切怎样接到外流分离上，接在 粗糙球为什么飞得更远 后面。