雨滴为什么不是泪滴形 — Weber数与Taylor类比破碎(TAB)

无阻尼时最大变形是2·We/24，We=12处刚好碰到y=1。Oh不为零时，那个峰会被削掉一截。

伞的图标和表情符号都把雨滴画成泪滴形——上尖下圆的那种形状。现实中根本没有这样的雨滴。直径超过2毫米的大液滴会被压成底部扁平的汉堡面包形。再大一些，中央会像口袋一样鼓起，最后破裂。

破裂与否，一个 Weber 数就够判。O'Rourke 与 Amsden 在 1987 年把这个判定写成弹簧，也就是 TAB(Taylor Analogy Breakup)。振幅越过半径的那一刻，就是破裂。

把 Weber 滑块降到 12 以下，变形 $y$ 碰不到 1；推过 12，液滴在第一个峰上裂开。

Weber number We = 18Ohnesorge Oh = 0.020

把 Ohnesorge 调高，同样的 Weber 也会很快熄掉。粘性削的就是这第一个峰。

雨滴不是泪滴

下落的液滴内部有两种力在较量。一种是周围空气拍打表面的空气动力，把液滴向两侧压扁。另一种是表面张力，想把液滴重新拉回球形。

对小液滴而言，表面张力完全占上风。所以小液滴永远是球形。液滴越大，或相对速度越快，空气动力就越强。到某个时刻，表面张力再也撑不住。液滴变扁、鼓起，最终碎成细小的液滴。这个过程称为二次破碎(secondary breakup)，与喷嘴液柱断开成滴的一次破碎相区别。

柴油发动机、火箭喷注器、农药喷雾。所有把燃料或液体打碎的装置都建立在这一现象之上。液滴越小，表面积越大，蒸发和燃烧越快。

Weber数 — 惯性战胜表面张力的刻度#

把两种力的比值化为一个数，就得到Weber数(惯性力/表面张力之比)。

We = \frac{\rho_g\, u_{rel}^2\, d}{\sigma}

其中 $\rho_g$ 是气体密度， $u_{rel}$ 是液滴与气体的相对速度， $d$ 是液滴直径， $\sigma$ 是表面张力。分子是气体拍打液滴的动压，分母是表面张力抓住液滴的力。

$We$ 小的时候，液滴只是安静地振荡。 $We$ 超过某个临界值，液滴就破碎。实验上这个临界Weber数大约在12附近。无论水滴还是燃料滴，在这个值以上都无法幸存。

这里还要加上衡量粘性作用的第二个无量纲数：Ohnesorge数(粘性力/√(惯性·表面张力))。

Oh = \frac{\mu_l}{\sqrt{\rho_l\, \sigma\, d}}

$\mu_l$ 是液体粘度， $\rho_l$ 是液体密度。粘性大的液滴(想象一滴蜂蜜)对变形的阻力很大。 $Oh$ 增大会把临界Weber数往上推，也就是更难破碎。

Taylor的类比:把液滴挂在弹簧上#

Weber数只告诉你液滴"会不会破"。要知道"何时、如何"破，必须求解液滴随时间的变形。这里出现了G.I. Taylor的洞见。他把振荡并变形的液滴，对应成一个弹簧–质量–阻尼振子。

把三种力一一配对。弹簧的回复力是表面张力。作用在质量上的外力是气体的空气动力阻力。阻尼力是液体的粘性。把这个类比写成方程，就得到关于变形量 $y$ 的二阶常微分方程。

\frac{d^2 y}{dt^2} = \frac{C_F}{C_b}\frac{\rho_g}{\rho_l}\frac{u^2}{r^2} - \frac{C_k \sigma}{\rho_l r^3}\, y - \frac{C_d \mu_l}{\rho_l r^2}\frac{dy}{dt}

$y$ 是液滴赤道鼓起的程度(无量纲变形)， $r$ 是半径。右端第一项是空气推动的强迫力，第二项是表面张力的回复，第三项是粘性阻尼。系数 $C_F, C_k, C_d, C_b$ 由实验确定，O'Rourke–Amsden分别取 $1/3,\ 8,\ 5,\ 1/2$ 。

当强迫力与回复力平衡，液滴会稳定在某个定常变形 $y_{eq}$ 。

y_{eq} = \frac{C_F}{C_b\, C_k}\, We_r

$We_r$ 是以半径为基准的Weber数。要点在于变形与Weber数成正比。Weber翻倍，液滴也压扁一倍。

变形参数 y 与破碎的扳机#

TAB模型的规则很简单。一旦 $y>1$ ，液滴就破碎。 $y=1$ 是液滴赤道的鼓起等于半径的时刻。振幅增大到那个程度，液滴就无法保持圆形。

这里无阻尼振荡的性质很关键。从静止状态突然受到强迫力，振子不会停在定常值 $y_{eq}$ ，而是过冲，最大达到 $2y_{eq}$ 。所以即使 $y_{eq}$ 只有0.5，也就是定常变形只有一半，也可能在第一次振荡就达到 $y=1$ 而破裂。这种过冲在理论上降低了临界Weber数。

上面那条曲线里，第一个峰是否越过 1，就是这次过冲。Ohnesorge 削的是这个峰。

Python — 让一个液滴振荡到破裂#

把上面的类比直接搬进代码。用无量纲时间积分，寻找 $y$ 越过1的时刻。

import numpy as np
 
def weber(rho_g, u, d, sigma):
    """气体惯性与表面张力之比(以直径为基准)。"""
    return rho_g * u**2 * d / sigma
 
def tab_breakup(We, Oh, dt=0.01, t_max=40.0):
    """积分无量纲TAB振子，返回破碎时刻(无量纲tau)。
    y>1 表示破碎；到最后 y<1 则返回 None(幸存)。"""
    C_F, C_k, C_d, C_b = 1/3, 8.0, 5.0, 1/2
    omega2 = C_k                       # 无量纲固有频率^2
    forcing = (C_F / C_b) * (We / 2)   # 定常变形 y_eq = forcing/omega2 = We/24
    damp = C_d * Oh * np.sqrt(C_k)     # Ohnesorge 增大阻尼
    y, ydot, t = 0.0, 0.0, 0.0
    while t < t_max:
        acc = forcing - omega2 * y - damp * ydot
        ydot += acc * dt
        y += ydot * dt
        t += dt
        if y >= 1.0:
            return t                   # 破碎!
    return None
 
for We in [6, 10, 12, 20, 40]:
    tau = tab_breakup(We, Oh=0.02)
    tag = f"破碎 tau={tau:.2f}" if tau else "幸存"
    print(f"We={We:5.1f}  ->  {tag}")

输出直接读出了临界Weber数。

We=  6.0  ->  幸存
We= 10.0  ->  幸存
We= 12.0  ->  破碎 tau=1.14
We= 20.0  ->  破碎 tau=0.74
We= 40.0  ->  破碎 tau=0.50

Weber number We = 30 (log slider)

把阶梯上的 Weber 刻度往上推，形态从振荡走到袋状，接着是薄膜剥离，再是灾变。

到We=10为止，过冲够不到1，液滴幸存。到We=12，第一个峰勉强越过红线。Weber越大，破碎时刻 $\tau$ 越短。打得越狠，破得越快。与物理精确吻合。

代码注释里的常数把这个临界钉死。 $C_F=1/3$ 、 $C_b=1/2$ 、 $C_k=8$ 时 $y_{eq}=We/24$ 。无阻尼过冲的顶点是 $2y_{eq}=We/12$ 。顶点等于 1 的地方就是 $We=12$ 。 $We=6$ 时顶点为 $0.5$ ， $We=10$ 时为 $10/12\approx 0.83$ 。都在 1 以下，和输出里的幸存一致。 $We=20$ 时 $y_{eq}=20/24\approx 0.83$ ，加上过冲， $\tau$ 提前到 $0.74$ 。 $We=40$ 时 $y_{eq}\approx 1.67$ ，平衡本身已经越过 1， $\tau$ 缩到 $0.50$ 。 $dt=0.01$ 时， $\tau=1.14$ 是 114 步， $0.50$ 是 50 步。阻尼是 $5\times 0.02\times\sqrt{8}$ ， $\sqrt{8}\approx 2.83$ ，所以大约 $0.283$ 。输出里的 $Oh=0.02$ 是贴在 12 正上方的一层薄值。

破碎模式的阶梯

越过临界值并不意味着每个液滴都以同样方式破碎。随着Weber数升高，破碎的形态会变化：振荡 → 袋状(bag) → 混合(multimode) → 薄膜剥离(sheet-thinning) → 灾变(catastrophic)。每个阶段都有实验能清晰区分的大致Weber边界。

上面阶梯的低档就是袋状。 $We \approx 12$ 附近的袋状破碎，是液滴中央鼓成薄膜然后爆开的最低能量破碎。当 $We$ 达到数百，表面本身像波浪一样剥离，成为灾变破碎。TAB模型最初就是针对袋状破碎区域设计的。所以在低Weber下吻合得好，但在Weber极大的区域(如超过40MPa的高压喷射)会低估贯穿距离。那个区域要叠加KHRT或波动破碎模型。

把 We=12 钉成无粘边界，会漏掉粘稠的液滴#

无阻尼时顶点是 $2y_{eq}=We/12$ 。 $We=12$ 时顶点正好是 1。输出里 $Oh=0.02$ 把峰削掉一点，仍在 $\tau=1.14$ 越过。再把 $Oh$ 抬高，同样的 12 也可能够不到 1。把临界钉死在 12、再拿掉 Ohnesorge，蜂蜜那样的液体还活着，模型却已经把它打碎。

变形变大时，抗力一起变。TAB 只看 $y$ 来切破碎时刻，压扁液滴的抗力对轨迹的改动就进不来。 $We=40$ 的 $\tau=0.50$ 已经离开袋状区，再往上这根弹簧会把贯穿距离估短。