Por qué una gota de lluvia no tiene forma de lágrima — El número de Weber y la ruptura TAB

Sin amortiguar, el máximo es 2·We/24 y toca 1 en Weber 12. Un Ohnesorge distinto de cero recorta ese pico.

Los iconos de paraguas y los emojis dibujan la gota de lluvia como una lágrima: puntiaguda arriba y redonda abajo. Ninguna gota de lluvia tiene realmente ese aspecto. Cualquier gota de más de 2 mm de diámetro queda aplastada en forma de pan de hamburguesa con la base plana. Si crece más, su centro se infla como una bolsa y luego estalla.

El estallido se decide con un solo número de Weber. El modelo TAB que O'Rourke y Amsden armaron en 1987 convierte esa decisión en un resorte. La ruptura es el instante en que la amplitud pasa el radio.

Al bajar el control de Weber por debajo de 12, la deformación $y$ no llega a 1. Al pasarlo de 12, la gota se parte en el primer pico.

Weber number We = 18Ohnesorge Oh = 0.020

Al subir el Ohnesorge, el mismo Weber se apaga pronto. La viscosidad es lo que recorta ese primer pico.

Una gota de lluvia no es una lágrima#

Dentro de una gota que cae compiten dos fuerzas. Una es la fuerza aerodinámica del aire circundante golpeando su superficie. Presiona la gota de lado y la aplana. La otra es la tensión superficial, que tira de la gota de vuelta a una esfera.

En una gota pequeña la tensión superficial gana sin discusión. Por eso las gotas diminutas son siempre esféricas. A medida que la gota crece, o cuando la velocidad relativa aumenta, la fuerza aerodinámica se eleva. En algún momento la tensión superficial ya no puede sostenerse. La gota se aplana, se infla y por fin se hace pedazos. Esto es la ruptura secundaria (secondary breakup), distinta de la ruptura primaria en la que un chorro se corta en gotas.

Motores diésel, inyectores de cohetes, pulverizadores agrícolas. Todo dispositivo que atomiza un líquido funciona sobre este fenómeno. Gotas más pequeñas significan más superficie, y una evaporación y combustión más rápidas.

El número de Weber — la escala donde la inercia vence a la tensión superficial#

Al reducir las dos fuerzas a un solo número aparece el número de Weber (relación inercia / tensión superficial).

We = \frac{\rho_g\, u_{rel}^2\, d}{\sigma}

Aquí $\rho_g$ es la densidad del gas, $u_{rel}$ la velocidad relativa entre gota y gas, $d$ el diámetro de la gota y $\sigma$ la tensión superficial. El numerador es la presión dinámica que ejerce el gas; el denominador es el agarre de la tensión superficial.

Cuando $We$ es pequeño, la gota simplemente oscila con cortesía. En cuanto $We$ cruza un umbral, la gota se rompe. Experimentalmente este número de Weber crítico ronda 12. Gota de agua o gota de combustible por igual: por encima de ese valor, ninguna sobrevive.

Un segundo grupo adimensional interviene por la viscosidad: el número de Ohnesorge (viscosidad / √(inercia · tensión superficial)).

Oh = \frac{\mu_l}{\sqrt{\rho_l\, \sigma\, d}}

$\mu_l$ es la viscosidad del líquido y $\rho_l$ la densidad del líquido. Una gota viscosa (una gota de miel, por ejemplo) resiste con fuerza la deformación. Un $Oh$ mayor empuja el número de Weber crítico hacia arriba, es decir, cuesta más romperla.

La analogía de Taylor: colgar la gota de un resorte#

El número de Weber solo dice si una gota se rompe. Saber cuándo y cómo exige resolver la deformación de la gota en el tiempo. Aquí entra la intuición de G.I. Taylor. Asoció una gota que oscila y se distorsiona a un oscilador de resorte–masa–amortiguador.

Empareja las tres fuerzas una a una. La fuerza restauradora del resorte es la tensión superficial. La fuerza externa sobre la masa es el arrastre aerodinámico del gas. La amortiguación es la viscosidad del líquido. Traduce la analogía a una ecuación y obtienes una EDO de segundo orden para la deformación $y$ .

\frac{d^2 y}{dt^2} = \frac{C_F}{C_b}\frac{\rho_g}{\rho_l}\frac{u^2}{r^2} - \frac{C_k \sigma}{\rho_l r^3}\, y - \frac{C_d \mu_l}{\rho_l r^2}\frac{dy}{dt}

$y$ es cuánto se abomba el ecuador de la gota (deformación adimensional) y $r$ es el radio. El primer término de la derecha es el forzamiento aerodinámico, el segundo la restauración por tensión superficial y el tercero la amortiguación viscosa. Las constantes $C_F, C_k, C_d, C_b$ se fijan por experimento; O'Rourke–Amsden usaron $1/3,\ 8,\ 5,\ 1/2$ respectivamente.

Cuando el forzamiento y la restauración se equilibran, la gota se asienta en una deformación estacionaria $y_{eq}$ .

y_{eq} = \frac{C_F}{C_b\, C_k}\, We_r

$We_r$ es el número de Weber basado en el radio. El punto clave: la deformación es directamente proporcional al número de Weber. El doble de Weber, el doble de aplastamiento.

El parámetro de deformación y y el gatillo de la ruptura#

La regla de TAB es sencilla. La ruptura ocurre en el instante en que $y>1$ . $y=1$ es cuando el abombamiento ecuatorial iguala al radio. Una vez que la amplitud crece tanto, la gota ya no puede mantener su forma.

Aquí importa la naturaleza de una oscilación sin amortiguar. Empuja un oscilador en reposo con un forzamiento súbito y no se detiene en $y_{eq}$ : sobrepasa, hasta un máximo de $2y_{eq}$ . Así que incluso un $y_{eq}$ de apenas 0,5 —la mitad de la deformación estacionaria— puede dispararse a $y=1$ en su primer vaivén y estallar. Este sobrepaso baja el número de Weber crítico en teoría.

En la curva de arriba, el corte está en si ese primer pico pasa de 1. El Ohnesorge es lo que lo recorta.

Python — hacer oscilar una gota hasta que estalle#

Lleva la analogía directamente al código. Integra en tiempo adimensional y encuentra el instante en que $y$ cruza 1.

import numpy as np
 
def weber(rho_g, u, d, sigma):
    """Relacion entre inercia del gas y tension superficial (basada en el diametro)."""
    return rho_g * u**2 * d / sigma
 
def tab_breakup(We, Oh, dt=0.01, t_max=40.0):
    """Integra el oscilador TAB adimensional y devuelve el tiempo de ruptura (tau adimensional).
    y>1 significa ruptura; si y<1 hasta el final devuelve None (sobrevive)."""
    C_F, C_k, C_d, C_b = 1/3, 8.0, 5.0, 1/2
    omega2 = C_k                       # frecuencia natural adimensional^2
    forcing = (C_F / C_b) * (We / 2)   # deformacion estacionaria y_eq = forcing/omega2 = We/24
    damp = C_d * Oh * np.sqrt(C_k)     # Ohnesorge eleva la amortiguacion
    y, ydot, t = 0.0, 0.0, 0.0
    while t < t_max:
        acc = forcing - omega2 * y - damp * ydot
        ydot += acc * dt
        y += ydot * dt
        t += dt
        if y >= 1.0:
            return t                   # ruptura!
    return None
 
for We in [6, 10, 12, 20, 40]:
    tau = tab_breakup(We, Oh=0.02)
    tag = f"ruptura tau={tau:.2f}" if tau else "sobrevive"
    print(f"We={We:5.1f}  ->  {tag}")

La salida lee el número de Weber crítico de forma directa.

We=  6.0  ->  sobrevive
We= 10.0  ->  sobrevive
We= 12.0  ->  ruptura tau=1.14
We= 20.0  ->  ruptura tau=0.74
We= 40.0  ->  ruptura tau=0.50

Weber number We = 30 (log slider)

Al subir las marcas de Weber en la escalera, la forma pasa de vibración a bolsa, luego a adelgazamiento de lámina y por último a ruptura catastrófica.

Hasta We=10 el sobrepaso se queda corto ante 1 y la gota sobrevive. En We=12 el primer pico apenas supera la línea. A medida que el Weber crece, el tiempo de ruptura $\tau$ se acorta: un golpe más fuerte y el estallido llega antes. Exactamente como exige la física.

Las constantes del comentario en el código fijan ese umbral. Con $C_F=1/3$ , $C_b=1/2$ y $C_k=8$ , $y_{eq}=We/24$ . El pico sin amortiguar es $2y_{eq}=We/12$ . Toca 1 en $We=12$ . En $We=6$ el pico vale $0.5$ ; en $We=10$ vale $10/12\approx 0.83$ . Los dos quedan bajo 1, en línea con las supervivencias impresas. En $We=20$ , $y_{eq}=20/24\approx 0.83$ y el sobrepaso adelanta la ruptura a $\tau=0.74$ . En $We=40$ , $y_{eq}\approx 1.67$ , así que el equilibrio ya está más allá de 1 y $\tau$ baja a $0.50$ . Con $dt=0.01$ , $\tau=1.14$ son 114 pasos y $0.50$ son 50. El término de amortiguación es $5\times 0.02\times\sqrt{8}$ . Como $\sqrt{8}\approx 2.83$ , el coeficiente ronda $0.283$ . El $Oh=0.02$ impreso es un valor fino apoyado justo encima de 12.

La escalera de los modos de ruptura#

Cruzar el umbral no significa que toda gota estalle del mismo modo. A medida que el número de Weber sube, cambia la forma de la ruptura: vibracional → bolsa (bag) → multimodo (multimode) → adelgazamiento de lámina (sheet-thinning) → catastrófica (catastrophic). Cada etapa recorta una banda aproximada de Weber que los experimentos distinguen con claridad.

El peldaño bajo de la escalera de arriba es la bolsa. La ruptura en bolsa cerca de $We \approx 12$ es la de menor energía: el centro de la gota se infla en una membrana delgada y revienta. Con Weber en los cientos, la propia superficie se pela en ondas: ruptura catastrófica. El modelo TAB se dirigía originalmente al régimen de ruptura en bolsa. Por eso concuerda bien a Weber bajo, pero subestima la penetración a Weber extremo, como en la inyección a alta presión por encima de 40 MPa. Ahí se superponen modelos KHRT o de ruptura por onda.

Fijar Weber 12 como muro sin viscosidad deja viva una gota pegajosa#

Sin amortiguar, el pico es $2y_{eq}=We/12$ . En $We=12$ ese pico vale exactamente 1. La corrida impresa con $Oh=0.02$ todavía cruza, en $\tau=1.14$ , aunque el pico quede algo recortado. Al subir más el $Oh$ , el mismo 12 puede quedarse corto de 1. Clavar el umbral en 12 y quitar el Ohnesorge hace que un líquido parecido a la miel sobreviva mientras el modelo ya lo reventó.

La deformación cambia el arrastre al mismo tiempo. Si TAB corta el tiempo de ruptura solo con $y$ , no entra el cambio de trayectoria que trae el arrastre de una gota aplastada. El $\tau=0.50$ de $We=40$ ya está fuera del régimen de bolsa, y por encima de eso este resorte acorta la penetración.