층류에서 2.0000, 난류에서 1.0322 — 속도수두 앞에 붙는 계수

평균속도만 들고 베르누이로 가면 절반이 사라진다#

같은 관에 같은 유량이 흐른다. 유량을 단면적으로 나누면 평균속도 $V$가 나온다. 이 $V$로 $V^2/2g$를 만들어 에너지 방정식에 넣는다. 여기까지는 누구나 한다.

그런데 층류 관유동에서 이 값은 실제 운동에너지의 정확히 절반이다. 유량도 맞고 단면적도 맞는데 에너지만 100% 틀린다. 오늘은 그 차이가 어디서 생기는지, 난류에서는 왜 그 차이가 3%로 줄어드는지를 직접 적분해서 확인한다.

속도수두를 정의할 때 무엇을 적분했는가#

단면을 지나는 운동에너지 유속(flux)은 질량유속에 국소 운동에너지를 곱해 적분한 값이다.

$u$는 국소 축방향 속도, $\rho$는 밀도, $A$는 단면적이다. 적분 안에 $u$가 세 번 들어간다. 두 번은 에너지에서, 한 번은 질량을 나르는 데서 왔다.

반면 교재의 에너지 방정식은 $\dot{m} V^2/2$ 꼴로 쓴다. $\dot{m} = \rho V A$이므로 이것은 $\rho V^3 A / 2$다. 둘의 비가 운동에너지 보정계수 $\alpha$다. 운동량 방정식에도 같은 사정이 있고, 거기서는 $u$가 두 번 들어간 $\beta$가 나온다.

두 계수 모두 profile이 평평할수록 1에 가깝다. profile 스위치를 층류에서 결손법칙으로 넘기면 오른쪽 장부 막대 높이 차가 2에서 1.03 근처로 접힌다.

profile을 층류·멱법칙·속도결손으로 바꾸면서 오른쪽 장부 두 칸의 높이 차이를 본다. 추적자(tracer)는 국소 속도로 움직이므로, 포물선에서는 가운데 점들만 멀리 달아나고 난류 profile에서는 거의 한 덩어리로 간다. 이 "덩어리로 가는 정도"가 그대로 $\alpha$다.

층류 관유동에서 계수가 정확히 2가 되는 이유#

Hagen–Poiseuille 해는 포물선이다. $u = U_c \left[1 - (r/R)^2\right]$이고 $V = U_c/2$다. $s = r/R$로 두고 적분하면 분모·분자가 모두 닫힌 값으로 떨어진다.

$V^3 A = (U_c/2)^3 \pi R^2 = \pi R^2 U_c^3 / 8$이므로 $\alpha = 2$다. 같은 방식으로 $\beta = 4/3$이 나온다. 근사도 경험식도 아니고 정수비다.

분자를 한 번 더 열면 2가 정수로 떨어지는 자리가 보인다. $(1-s^2)^3 s = s - 3s^3 + 3s^5 - s^7$이고, 0에서 1까지 적분하면 $1/2 - 3/4 + 1/2 - 1/8 = 1/8$이다. 앞의 $2\pi R^2 U_c^3$를 곱하면 분자는 $\pi R^2 U_c^3/4$다. 분모 $V^3 A$는 $(U_c/2)^3 \pi R^2 = \pi R^2 U_c^3/8$이다. 4분의 1을 8분의 1로 나누면 정확히 2다. $\beta$는 차수가 하나 낮다. $u^2$ 적분이 $4/3$에서 멈추고, 표의 1.3333은 그 유리수를 소수 넷째 자리에서 자른 것이다. $n=7$이면 $2n^2/((n+1)(2n+1)) = 98/120 = 0.81666\ldots$이라 출력의 0.8167과 맞다.

$\alpha=2$는 "에너지의 절반을 빠뜨렸다"는 뜻이 아니다. 평균속도라는 하나의 숫자로는 3제곱 적분을 대신할 수 없다는 뜻이다. 같은 포물선의 닫힌 해를 속도부터 따라가려면 포아즈이유 유동의 해석해가 그 단면을 먼저 푼다. 거기서는 속도가, 여기서는 그 속도의 세제곱 적분이 나온다.

난류 profile을 지수 하나로 적는 방법#

난류 관유동은 벽 근처에서만 급하게 변하고 중심부는 거의 평평하다. 이 모양을 지수 하나로 근사한 것이 멱법칙(power law)이다.

$y$는 벽에서의 거리, $n$은 Reynolds 수가 커질수록 함께 커지는 지수다. 보통 $n=7$을 쓴다. 이 profile의 평균속도는 적분이 닫혀서 해석해가 있다.

$n=7$이면 $0.8167$이다. 층류의 $0.5$와 비교하면 profile이 얼마나 뭉툭해졌는지 바로 보인다. $\alpha$도 같은 적분이므로 $n$ 하나만 알면 값이 정해진다.

Python으로 profile 네 종류의 장부를 나란히 적었다#

세 가족(층류·멱법칙·속도결손)을 같은 사다리꼴 적분기에 넣는다. 외부 패키지 없이 표준 라이브러리만 쓴다. 반지름 방향 40,000분할이면 층류 해석해와 소수 넷째 자리까지 맞는다.

import math
 
R, M = 1.0, 40000                      # 반지름, 반지름 방향 분할 수
dr = R / M
rs = [i * dr for i in range(M + 1)]
A = math.pi * R * R
 
def ring_integral(vals):
    """f(r)를 단면 위에서 적분: ∫ f · 2πr dr (사다리꼴)"""
    s = 0.0
    for i in range(M):
        a = vals[i] * 2.0 * math.pi * rs[i]
        b = vals[i + 1] * 2.0 * math.pi * rs[i + 1]
        s += 0.5 * (a + b) * dr
    return s
 
def ledger(u):
    """평균속도, 운동에너지 보정계수 alpha, 운동량 보정계수 beta"""
    vbar = ring_integral(u) / A
    al = ring_integral([x ** 3 for x in u]) / (vbar ** 3 * A)
    be = ring_integral([x ** 2 for x in u]) / (vbar ** 2 * A)
    return vbar, al, be
 
def poiseuille():
    return [1.0 - (r / R) ** 2 for r in rs]
 
def power_law(n):
    return [max(1.0 - r / R, 0.0) ** (1.0 / n) for r in rs]
 
def defect_law(ustar):
    """u/Vbar = 1 + (u*/Vbar)(3.75 - 2.5 ln(R/y)),  y = R - r"""
    out = []
    for r in rs:
        y = max(R - r, 1e-9)
        out.append(1.0 + ustar * (3.75 - 2.5 * math.log(R / y)))
    return out
 
print(f"{'profile':<20}{'Vbar/Uc':>9}{'alpha':>9}{'beta':>8}")
vb, al_lam, be = ledger(poiseuille())
print(f"{'Poiseuille (laminar)':<20}{vb:9.4f}{al_lam:9.4f}{be:8.4f}")
for n in (6, 7, 8, 10):
    vb, al, be = ledger(power_law(n))
    exact = 2.0 * n * n / ((n + 1.0) * (2.0 * n + 1.0))
    print(f"{'power law n=' + str(n):<20}{vb:9.4f}{al:9.4f}{be:8.4f}   Vbar exact {exact:.4f}")
 
print()
cases = [("laminar", al_lam)]
print(f"{'Re':>8}{'f':>8}{'u*/Vbar':>9}{'Uc/Vbar':>9}{'alpha':>8}{'beta':>8}")
for Re in (1e4, 1e5, 1e6, 1e7):
    f = (0.790 * math.log(Re) - 1.64) ** -2.0        # Petukhov 마찰계수
    us = math.sqrt(f / 8.0)                          # u*/Vbar
    u = defect_law(us)
    vb, al, be = ledger(u)
    print(f"{Re:8.0e}{f:8.4f}{us:9.4f}{max(u) / vb:9.4f}{al:8.4f}{be:8.4f}")
    cases.append((f"turbulent Re={Re:.0e}", al))
 
print()
V, g = 3.0, 9.81                                     # 3 m/s 관유동, 속도수두 비교
base = V * V / (2 * g)
for name, al in (cases[0], cases[1], cases[3]):
    print(f"{name:<21}alpha={al:6.4f}  alpha·V²/2g = {al * base:6.4f} m  "
          f"alpha=1 missing {al * base - base:6.4f} m ({(al - 1) * 100:6.2f}%)")

profile               Vbar/Uc    alpha    beta
Poiseuille (laminar)   0.5000   2.0000  1.3333
power law n=6          0.7912   1.0768  1.0269   Vbar exact 0.7912
power law n=7          0.8167   1.0584  1.0204   Vbar exact 0.8167
power law n=8          0.8366   1.0460  1.0160   Vbar exact 0.8366
power law n=10         0.8658   1.0307  1.0106   Vbar exact 0.8658
 
      Re       f  u*/Vbar  Uc/Vbar   alpha    beta
   1e+04  0.0315   0.0627   1.2353  1.0835  1.0309
   1e+05  0.0180   0.0474   1.1779  1.0490  1.0177
   1e+06  0.0116   0.0381   1.1430  1.0322  1.0114
   1e+07  0.0081   0.0319   1.1195  1.0227  1.0080
 
laminar              alpha=2.0000  alpha·V²/2g = 0.9174 m  alpha=1 missing 0.4587 m (100.00%)
turbulent Re=1e+04   alpha=1.0835  alpha·V²/2g = 0.4970 m  alpha=1 missing 0.0383 m (  8.35%)
turbulent Re=1e+06   alpha=1.0322  alpha·V²/2g = 0.4735 m  alpha=1 missing 0.0148 m (  3.22%)

결손법칙 슬라이더를 0에서 100%로 밀면 Reynolds 수마다 흩어진 곡선이 $u^*$ 한 줄로 포개진다.

$Re=10^4$의 $\alpha=1.0835$와 $Re=10^6$의 $\alpha=1.0322$는 그 겹친 줄에서 $f$만 바꿔 다시 적분한 값이다. 곡선 개수를 늘려도 포개진 줄은 두꺼워지지 않는다.

수치 적분이 층류에서 $2.0000$과 $1.3333$을 그대로 재현했다. 멱법칙의 평균속도도 해석해와 네 자리까지 같다. 적분기가 맞다는 뜻이다.

Re가 사라지는 좌표 — 속도결손 법칙#

표의 두 번째 블록은 멱법칙이 아니라 속도결손 법칙(velocity-defect law)으로 만들었다. 대수 법칙을 중심선에서 한 번, 임의의 점에서 한 번 쓰고 빼면 점성계수가 통째로 사라진다.

$u^* = \sqrt{\tau_w/\rho}$는 마찰속도다. 오른쪽에는 $\nu$도 $Re$도 없다. 벽에서 얼마나 떨어졌는가만 남는다. 여기에 단면 평균을 취하면 $U_c/u^* - V/u^* = 3.75$라는 상수 하나가 떨어지고, $u^*/V = \sqrt{f/8}$로 마찰계수와 연결된다. 점성계수 $\nu$는 빼는 과정에서 통째로 빠지고, 벽에서의 거리만 남는다. 위에서 포갠 줄이 이 상수 3.75다.

$\alpha$와 $\beta$를 같은 표에 올린다#

난류 쪽 네 줄을 $f$로 나누면 규칙이 보인다. $\alpha - 1$은 $f$의 2.7~2.8배, $\beta - 1$은 $f$의 0.98배다. 즉 두 계수는 profile 모양이 아니라 마찰계수 하나에 매여 있다. 거친 관일수록 $f$가 크고, $\alpha$도 같이 커진다. 매끈한 관을 고 Reynolds로 돌리면 $\alpha$는 1.02까지 내려간다.

$Re=10^6$ 줄을 직접 나눈다. $\alpha-1 = 0.0322$이고 $f = 0.0116$이니 $0.0322/0.0116 \approx 2.78$이다. $Re=10^4$는 $0.0835/0.0315 \approx 2.65$다. 2.7~2.8배라는 말은 이 두 줄에서 나온다. $\beta$는 더 붙는다. $Re=10^6$에서 $0.0114/0.0116 \approx 0.98$이고, $Re=10^4$도 $0.0309/0.0315 \approx 0.98$이다. 운동량 보정은 마찰계수와 거의 같은 크기다.

3 m/s에 $g = 9.81$이면 $\alpha=1$의 속도수두는 $V^2/2g = 9/19.62 = 0.4587$ m다. 층류는 2를 곱해 0.9174 m가 되고, 빠진 0.4587 m가 그 절반이다. $Re=10^6$의 1.0322를 같은 바닥에 곱하면 0.4735 m, 차이는 0.0148 m다. $Re=10^4$는 빠지는 양이 0.0383 m, 8.35%다. 손실수두가 수 m인 배관에서 0.0148 m는 묻히고, 층류의 0.4587 m는 장부에 남는다.

멱법칙과 결손법칙이 같은 Reynolds에서 조금 다른 값을 주는 것도 표에 보인다. 멱법칙은 벽에서 기울기가 무한대이고 중심선에서 꺾인다. 근사 두 개가 근사인 만큼 차이가 난다.

이 계수가 실제로 숫자를 바꾸는 자리#

마지막 블록이 3 m/s 관유동의 속도수두다. 난류에서 $\alpha$를 1로 두면 $Re=10^6$에서 0.0148 m를 빠뜨린다. 배관 한 구간의 손실수두가 수 m라면 무시해도 된다. 층류에서는 0.4587 m를 빠뜨린다. 같은 계산에서 100%다.

숫자가 움직이는 자리는 따로 있다. 점도가 큰 유체나 가는 관은 층류라 $\alpha=2$다. 입구 영역은 profile이 아직 자라는 중이라 $\alpha$가 1과 2 사이를 지난다. 출구면 전압을 면적평균으로 뽑느냐 질량유속 가중으로 뽑느냐는 $\int u^2$와 $\int u^3$ 중 무엇을 쓰느냐의 문제다. 두 값이 다르게 나오면 솔버가 틀린 것이 아니라 평균의 정의가 다른 것이다.

$\alpha$는 상수처럼 적혀 있지만 profile이 정한다. 손으로 1을 박아 두면 층류 장부가 반으로 틀린다.

교재가 $\alpha=1$이라고 적고 넘어가는 조건#

$\alpha=1$은 profile이 완전히 평평할 때만 성립한다. 난류에서 이 근사가 통하는 이유는 난류가 평평해서가 아니라 $f$가 작아서다. $f$가 0.01 언저리면 $\alpha$는 1.03이고, 3%는 배관 계산의 다른 불확실성에 묻힌다.

그래서 판단 기준은 "난류인가"가 아니라 "$f$가 얼마인가"다. 천이가 관 안의 층을 여러 겹으로 가르는 과정은 레이놀즈 임계와 관 천이에 있다. 거친 관, 낮은 Reynolds, 층류 어느 하나라도 걸리면 $\alpha$를 다시 적분한다. 계산은 위 코드처럼 한 번이다.