2.0000 en flujo laminar, 1.0322 en turbulento — el coeficiente delante de la altura de velocidad

La energía cinética va con el cubo de la velocidad. Por eso una altura de velocidad hecha con el cuadrado de la media cuenta exactamente la mitad en flujo laminar en tubería.

Llegar a Bernoulli solo con la velocidad media hace desaparecer la mitad de la energía#

La misma tubería transporta el mismo caudal. Al dividir el caudal por el área aparece una velocidad media $V$ . Con ella se arma $V^2/2g$ y se mete en la ecuación de energía. Hasta ahí lo hace cualquiera.

En flujo laminar en tubería ese número es exactamente la mitad de la energía cinética real. El caudal está bien, el área está bien, y la energía falla en un 100%. Hoy se rastrea de dónde sale esa diferencia, y por qué en régimen turbulento se reduce al 3%, integrando directamente.

Qué se integró realmente al definir la altura de velocidad#

El flujo de energía cinética a través de una sección es la energía cinética local multiplicada por el flujo másico local, integrada sobre el área.

\dot{E}_k = \int_A \frac{1}{2} u^2 \cdot \rho u \, dA = \frac{\rho}{2} \int_A u^3 \, dA

Aquí $u$ es la velocidad axial local, $\rho$ la densidad y $A$ el área de la sección. El integrando lleva $u$ tres veces: dos de la energía y una de transportar la masa.

La ecuación de energía de los libros, en cambio, escribe $\dot{m} V^2/2$ . Como $\dot{m} = \rho V A$ , eso es $\rho V^3 A / 2$ . El cociente entre ambos es el coeficiente de energía cinética $\alpha$ . La ecuación de cantidad de movimiento tiene el mismo problema, y allí $u$ entra dos veces y da $\beta$ .

\alpha = \frac{\int_A u^3 \, dA}{V^3 A}, \qquad \beta = \frac{\int_A u^2 \, dA}{V^2 A}

Ambos coeficientes se acercan a 1 cuanto más plano es el perfil. Al pasar el interruptor de perfil de laminar a ley de defecto, la diferencia de altura entre las barras del balance cae de 2 a cerca de 1.03.

Tracers move at the local velocity, so the parabola stretches far more than the blunt turbulent profile. The yellow bar is the kinetic energy the flow actually carries; the grey bar is what V²/2g alone would claim.

Al cambiar el perfil entre laminar, ley de potencia y ley de defecto se ve la diferencia de altura entre las dos barras del balance de la derecha. Los trazadores se mueven con la velocidad local, de modo que en la parábola solo escapan los puntos centrales, mientras que el perfil turbulento avanza casi como un bloque. Ese "avanzar como bloque" es justamente lo que mide $\alpha$ .

Por qué el coeficiente vale exactamente 2 en flujo laminar#

La solución de Hagen–Poiseuille es una parábola: $u = U_c \left[1 - (r/R)^2\right]$ con $V = U_c/2$ . Con $s = r/R$ tanto el numerador como el denominador cierran en forma analítica.

\int_A u^3 \, dA = 2\pi R^2 U_c^3 \int_0^1 (1-s^2)^3 s \, ds = \frac{\pi R^2 U_c^3}{4}

Como $V^3 A = (U_c/2)^3 \pi R^2 = \pi R^2 U_c^3 / 8$ , resulta $\alpha = 2$ . Por el mismo camino sale $\beta = 4/3$ . Ni aproximación ni correlación empírica: son cocientes de enteros.

Al abrir el numerador, el 2 deja de parecer un ajuste. $(1-s^2)^3 s = s - 3s^3 + 3s^5 - s^7$ , y la integral de 0 a 1 es $1/2 - 3/4 + 1/2 - 1/8 = 1/8$ . Multiplicado por $2\pi R^2 U_c^3$ queda $\pi R^2 U_c^3/4$ . El denominador es $\pi R^2 U_c^3/8$ . Un cuarto entre un octavo es 2. $\beta$ baja un orden y se detiene en $4/3$ , que la tabla imprime como 1.3333. Para $n=7$ , $2n^2/((n+1)(2n+1)) = 98/120 = 0.81666\ldots$ , el 0.8167 impreso.

Que $\alpha=2$ no significa "se perdió la mitad de la energía". Significa que un solo número llamado velocidad media no puede sustituir a una integral al cubo. Para seguir esa misma parábola desde la velocidad cerrada, la solución analítica de Poiseuille resuelve antes esa sección. Allí la integral es la velocidad. Aquí es el cubo de esa velocidad.

Escribir un perfil turbulento con un solo exponente#

El flujo turbulento en tubería cambia bruscamente solo cerca de la pared y es casi plano en el núcleo. La ley de potencia aproxima esa forma con un exponente.

\frac{\bar{u}}{U_c} = \left(\frac{y}{R}\right)^{1/n}, \qquad y = R - r

Aquí $y$ es la distancia a la pared y $n$ es un exponente que crece junto con el número de Reynolds. Lo habitual es $n=7$ . La velocidad media de este perfil se integra en forma cerrada.

\frac{V}{U_c} = \frac{2n^2}{(n+1)(2n+1)}

Para $n=7$ vale $0.8167$ . Puesto junto al $0.5$ laminar, se ve de inmediato cuánto se ha achatado el perfil. Como $\alpha$ es la misma clase de integral, basta conocer $n$ para fijarlo.

Cuatro perfiles y un solo balance, escritos en Python#

Las tres familias —laminar, ley de potencia y ley de defecto— pasan por el mismo integrador trapezoidal. Sin paquetes externos, solo biblioteca estándar. Con 40.000 divisiones radiales el caso laminar coincide con la solución analítica hasta la cuarta cifra decimal.

import math
 
R, M = 1.0, 40000                      # radio, número de divisiones radiales
dr = R / M
rs = [i * dr for i in range(M + 1)]
A = math.pi * R * R
 
def ring_integral(vals):
    """integra f(r) sobre la sección: ∫ f · 2πr dr (trapecio)"""
    s = 0.0
    for i in range(M):
        a = vals[i] * 2.0 * math.pi * rs[i]
        b = vals[i + 1] * 2.0 * math.pi * rs[i + 1]
        s += 0.5 * (a + b) * dr
    return s
 
def ledger(u):
    """velocidad media, coeficiente de energía alpha, coeficiente de cantidad de movimiento beta"""
    vbar = ring_integral(u) / A
    al = ring_integral([x ** 3 for x in u]) / (vbar ** 3 * A)
    be = ring_integral([x ** 2 for x in u]) / (vbar ** 2 * A)
    return vbar, al, be
 
def poiseuille():
    return [1.0 - (r / R) ** 2 for r in rs]
 
def power_law(n):
    return [max(1.0 - r / R, 0.0) ** (1.0 / n) for r in rs]
 
def defect_law(ustar):
    """u/Vbar = 1 + (u*/Vbar)(3.75 - 2.5 ln(R/y)),  y = R - r"""
    out = []
    for r in rs:
        y = max(R - r, 1e-9)
        out.append(1.0 + ustar * (3.75 - 2.5 * math.log(R / y)))
    return out
 
print(f"{'profile':<20}{'Vbar/Uc':>9}{'alpha':>9}{'beta':>8}")
vb, al_lam, be = ledger(poiseuille())
print(f"{'Poiseuille (laminar)':<20}{vb:9.4f}{al_lam:9.4f}{be:8.4f}")
for n in (6, 7, 8, 10):
    vb, al, be = ledger(power_law(n))
    exact = 2.0 * n * n / ((n + 1.0) * (2.0 * n + 1.0))
    print(f"{'power law n=' + str(n):<20}{vb:9.4f}{al:9.4f}{be:8.4f}   Vbar exact {exact:.4f}")
 
print()
cases = [("laminar", al_lam)]
print(f"{'Re':>8}{'f':>8}{'u*/Vbar':>9}{'Uc/Vbar':>9}{'alpha':>8}{'beta':>8}")
for Re in (1e4, 1e5, 1e6, 1e7):
    f = (0.790 * math.log(Re) - 1.64) ** -2.0        # factor de fricción de Petukhov
    us = math.sqrt(f / 8.0)                          # u*/Vbar
    u = defect_law(us)
    vb, al, be = ledger(u)
    print(f"{Re:8.0e}{f:8.4f}{us:9.4f}{max(u) / vb:9.4f}{al:8.4f}{be:8.4f}")
    cases.append((f"turbulent Re={Re:.0e}", al))
 
print()
V, g = 3.0, 9.81                                     # tubería a 3 m/s, altura de velocidad
base = V * V / (2 * g)
for name, al in (cases[0], cases[1], cases[3]):
    print(f"{name:<21}alpha={al:6.4f}  alpha·V²/2g = {al * base:6.4f} m  "
          f"alpha=1 missing {al * base - base:6.4f} m ({(al - 1) * 100:6.2f}%)")

profile               Vbar/Uc    alpha    beta
Poiseuille (laminar)   0.5000   2.0000  1.3333
power law n=6          0.7912   1.0768  1.0269   Vbar exact 0.7912
power law n=7          0.8167   1.0584  1.0204   Vbar exact 0.8167
power law n=8          0.8366   1.0460  1.0160   Vbar exact 0.8366
power law n=10         0.8658   1.0307  1.0106   Vbar exact 0.8658
 
      Re       f  u*/Vbar  Uc/Vbar   alpha    beta
   1e+04  0.0315   0.0627   1.2353  1.0835  1.0309
   1e+05  0.0180   0.0474   1.1779  1.0490  1.0177
   1e+06  0.0116   0.0381   1.1430  1.0322  1.0114
   1e+07  0.0081   0.0319   1.1195  1.0227  1.0080
 
laminar              alpha=2.0000  alpha·V²/2g = 0.9174 m  alpha=1 missing 0.4587 m (100.00%)
turbulent Re=1e+04   alpha=1.0835  alpha·V²/2g = 0.4970 m  alpha=1 missing 0.0383 m (  8.35%)
turbulent Re=1e+06   alpha=1.0322  alpha·V²/2g = 0.4735 m  alpha=1 missing 0.0148 m (  3.22%)

Al mover el deslizador de la ley de defecto de 0 a 100%, las curvas que iban sueltas, una por número de Reynolds, se pliegan sobre una sola línea en $u^*$ .

collapse : 0% (u/V → defect)Reynolds curves : 4

Drag collapse from 0 to 100%. On the left the Reynolds curves are clearly separated; dividing by u* and measuring from the centreline folds them onto one dashed line that has no Reynolds number in it at all.

Los valores impresos $\alpha=1.0835$ en $Re=10^4$ y $\alpha=1.0322$ en $Re=10^6$ son esa misma línea integrada de nuevo cambiando solo $f$ . Añadir más curvas de Reynolds no la engrosa.

La integración numérica reprodujo $2.0000$ y $1.3333$ en el caso laminar. La velocidad media de la ley de potencia también coincide con la forma cerrada hasta la cuarta cifra. El integrador es correcto.

Las coordenadas donde desaparece el número de Reynolds — la ley de defecto#

El segundo bloque de la tabla no salió de la ley de potencia, sino de la ley de defecto de velocidad. Al escribir la ley logarítmica una vez en el eje y otra en un punto cualquiera y restar, la viscosidad desaparece por completo.

\frac{U_c - \bar{u}}{u^*} = 2.5 \ln \frac{R}{y}

Aquí $u^* = \sqrt{\tau_w/\rho}$ es la velocidad de fricción. En el lado derecho no hay $\nu$ ni $Re$ . Solo queda la distancia a la pared. Al promediar sobre la sección cae la constante $U_c/u^* - V/u^* = 3.75$ , y $u^*/V = \sqrt{f/8}$ la conecta con el factor de fricción. La viscosidad $\nu$ sale entera en la resta. Solo queda la distancia a la pared. La línea plegada arriba es esta constante 3.75.

$\alpha$ y $\beta$ en la misma tabla#

perfil	$V/U_c$	$\alpha$	$\beta$	nota
parábola laminar	0.5000	2.0000	1.3333	racionales exactos
ley de potencia $n=7$	0.8167	1.0584	1.0204	valor por defecto
ley de potencia $n=10$	0.8658	1.0307	1.0106	Reynolds alto
ley de defecto $Re=10^4$	—	1.0835	1.0309	$f = 0.0315$
ley de defecto $Re=10^7$	—	1.0227	1.0080	$f = 0.0081$

Al dividir las cuatro filas turbulentas por $f$ aparece una regla. $\alpha - 1$ es entre 2,7 y 2,8 veces $f$ , y $\beta - 1$ es 0,98 veces $f$ . Es decir, los dos coeficientes no están atados a la forma del perfil sino al factor de fricción y nada más. Una tubería más rugosa tiene mayor $f$ y $\alpha$ crece con él. Una tubería lisa a Reynolds alto baja $\alpha$ hasta 1,02.

La fila de $Re=10^6$ se divide a mano. $\alpha-1 = 0.0322$ sobre $f = 0.0116$ da $0.0322/0.0116 \approx 2.78$ . En $Re=10^4$ , $0.0835/0.0315 \approx 2.65$ . Esa es la banda de 2,7 a 2,8. $\beta$ queda más pegado: $0.0114/0.0116 \approx 0.98$ en $Re=10^6$ , y $0.0309/0.0315 \approx 0.98$ en $Re=10^4$ .

A 3 m/s y $g=9.81$ , la altura desnuda es $V^2/2g = 9/19.62 = 0.4587$ m. Por 2 da 0.9174 m, y lo omitido es el otro 0.4587 m. Por 1.0322 da 0.4735 m, una omisión de 0.0148 m. En $Re=10^4$ la omisión es 0.0383 m, un 8.35%. Varios metros de pérdida esconden 0.0148 m. No esconden 0.4587 m.

La tabla también muestra que la ley de potencia y la de defecto discrepan un poco al mismo Reynolds. La ley de potencia tiene pendiente infinita en la pared y un quiebre en el eje. Dos aproximaciones difieren en la medida en que son aproximaciones.

Dónde este coeficiente mueve de verdad un número#

El último bloque es la altura de velocidad de una tubería a 3 m/s. Tomar $\alpha$ igual a 1 en régimen turbulento omite 0,0148 m a $Re=10^6$ . Si la pérdida de carga de ese tramo es de varios metros, se puede ignorar. En régimen laminar omite 0,4587 m. En el mismo cálculo, eso es el 100%.

El número se mueve en sitios concretos. Fluidos muy viscosos y tubos finos son laminares, así que $\alpha=2$ . En la región de entrada el perfil todavía crece y $\alpha$ queda en algún punto entre 1 y 2. La presión total en una salida es la misma elección: promedio por área o peso por flujo másico, es decir $\int u^2$ frente a $\int u^3$ . Cuando los dos valores no coinciden, el solver no se equivocó. La definición del promedio es otra.

$\alpha$ está escrito como una constante, pero quien lo decide es el perfil. Fijarlo a mano en 1 deja el balance laminar a la mitad.

La condición bajo la cual los libros escriben $\alpha=1$ y siguen#

$\alpha=1$ solo se cumple con un perfil perfectamente plano. La aproximación funciona en régimen turbulento no porque la turbulencia sea plana, sino porque $f$ es pequeño. Con $f$ alrededor de 0,01 el valor de $\alpha$ es 1,03, y ese 3% queda enterrado entre las demás incertidumbres de un cálculo de tuberías.

Por eso el criterio no es "¿es turbulento?" sino "¿cuánto vale $f$ ?". Cómo la transición apila esas capas dentro de la tubería está en el Reynolds crítico y la transición en tuberías. Tubería rugosa, Reynolds bajo, régimen laminar: con que se cumpla una sola de esas condiciones, $\alpha$ se integra de nuevo. El cálculo es una integral, como en el código de arriba.