[Reseña de artículo] Una gota devuelve casi toda la onda sonora — impedancia acústica y un solver bifásico de interfaz sharp

Los 2026 Pa de la cavidad son 17.5 veces el salto de Laplace de 116 Pa, así que la gota no sostiene un círculo ni un período.

Quien bucea apenas oye un grito desde encima de la superficie. Entra al agua cerca del 0.1% de la energía acústica. El resto vuelve al aire. Al lanzar una onda contra una gota, la malla también devuelve el 99.9% en la interfaz. Ese contraste es la parte dura de un cálculo compresible que contiene líquido.

Con medium 2 en water, la onda amarilla de presión vuelve casi entera y la amplitud se duplica en la interfaz. Al bajar $\rho_2$ y subir $c_2$ en la misma proporción, la figura no se mueve.

medium 1

medium 2 →

ρ₂998 kg/m³c₂1500 m/sinterface

What to watch: set medium 1 = air, medium 2 = water. The yellow pressure pulse comes back almost intact and nearly doubles at the interface (T = 1.998), while the cyan velocity pulse flips sign and the liquid barely moves. Now press medium 2 = air — R collapses to 0 and the pulse walks straight through. Only the ratio Z₂/Z₁ matters: slide ρ₂ down and c₂ up so that the product stays put, and the picture does not change at all.

La onda cian de velocidad cambia de signo, y la amplitud del lado del agua muere cerca de $10^{-4}$ . La presión se duplica. La velocidad queda casi en cero. La interfaz se porta como una pared.

Artículo: A. Urbano, M. Bibal, S. Tanguy, A semi implicit compressible solver for two-phase flows of real fluids, Journal of Computational Physics (2022). ISAE-SUPAERO / IMFT. Interfaz sharp con level set y ghost fluid, proyección semi-implícita en variables primitivas, ecuación de estado de van der Waals.

Entra un líquido y el paso acústico muere primero#

Un paso totalmente explícito para flujo bifásico compresible queda atado al CFL acústico.

\Delta t \le \frac{\Delta x}{\max(|u| + c)}

$c$ es la velocidad del sonido y $\Delta x$ el tamaño de celda. $c$ cambia con la fase. El aire va a 347 m/s, el agua a 1500 m/s. Una celda de líquido aprieta el paso global más de cuatro veces.

El material dentro del líquido se mueve a cerca de 1 m/s. En número de Mach (velocidad del flujo sobre la del sonido) eso es $10^{-3}$ . Lo que interesa ver es la interfaz deformándose. El paso lo fijan ondas que nadie sigue.

El rodeo viejo dejaba el líquido incompresible. El paso se abre, y el sonido dentro del líquido desaparece. Con él desaparece la pregunta de cómo responde una gota a una onda.

Este artículo parte las ecuaciones en advección y acústica. La advección queda explícita. La acústica pasa a implícita por una proyección. Lo que queda es esto.

\frac{1}{\Delta t} = \frac{1}{\Delta t_{\mathrm{conv}}} + \frac{1}{\Delta t_{\mu}} + \frac{1}{\Delta t_{\sigma}}

$\Delta t_{\mathrm{conv}} = \Delta x / \max\lVert \vec{u} \rVert$ es advección, $\Delta t_{\mu} = \rho \Delta x^{2} / 2\mu$ es viscosidad y $\Delta t_{\sigma} = \tfrac{1}{2}\sqrt{\max(\rho)\Delta x^{3}/\sigma}$ es tensión superficial. No hay $c$ en ninguna parte.

Qué sigue continuo en la interfaz y qué se corta#

Una interfaz sharp trata $\Gamma$ como una superficie de espesor cero e impone ahí las condiciones. El artículo usa tres.

[\vec{u}]_{\Gamma} = 0, \qquad [p]_{\Gamma} = \sigma \kappa + 2\left[\mu \frac{\partial u_n}{\partial n}\right]_{\Gamma} - \frac{2}{3}\left[\mu \nabla \cdot \vec{u}\right]_{\Gamma}, \qquad [-k \nabla T \cdot \vec{n}]_{\Gamma} = 0

$[\,\cdot\,]_{\Gamma}$ es el salto a través de la interfaz, $\sigma$ la tensión superficial, $\kappa$ la curvatura, $\mu$ la viscosidad y $k$ la conductividad térmica. La velocidad es continua, la presión salta por la parte capilar y el flujo de calor es continuo. Sin transferencia de masa, la temperatura también es continua ( $[T]_{\Gamma}=0$ ).

La densidad no está en la lista. La ecuación de estado de cada fase fija su densidad. No se promedia la densidad cerca de la interfaz, así que no aparece un estado intermedio que ningún material posee. Ahí se corta la velocidad del sonido falsa que viene después.

El cierre es cúbico.

\rho^{3} + a_{1}\rho^{2} + a_{2}\rho + a_{3} = 0

Los coeficientes $a_1, a_2, a_3$ dependen de la presión, la temperatura y el material. van der Waals, Peng-Robinson y Redlich-Soave-Kwong tienen esta forma. Una expresión carga un gas y un líquido. Un gas perfecto no hace un líquido. Tait no hace un gas.

Una impedancia fija toda la reflexión#

Cómo se parte una onda en la interfaz se reduce a la impedancia acústica.

Z = \rho c

Al pasar del medio 1 al medio 2, los coeficientes de reflexión y transmisión de la presión son estos.

R = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}, \qquad T = 1 + R = \frac{2 Z_2}{Z_2 + Z_1}

$R$ es la razón de amplitud de presión reflejada y $T$ la transmitida. Ni la densidad sola ni la velocidad del sonido sola. Solo el producto.

Aire y agua dan $Z_{\text{air}} = 416$ , $Z_{\text{water}} = 1{,}50 \times 10^{6}$ , una razón de 3600. $R = 0{,}9994$ , así que vuelve el 99.89% de la energía. $T = 1{,}999$ y la presión en la interfaz casi se duplica. Ese producto explica por qué, en la figura de arriba, mover $\rho_2$ y $c_2$ en sentidos opuestos no cambió nada.

La onda que la interfaz devuelve se encuentra otra vez con la salida del dominio. Si la salida la traga o la devuelve lo fija la $\sigma$ de NSCBC.

Una interfaz difuminada inventa una velocidad del sonido que no existe#

Extender la interfaz sobre unas celdas es la situación con la que vive todo método de interfaz difusa.

Cuando una celda contiene gas y líquido, la densidad y la compresibilidad se promedian así.

\rho_m = \alpha \rho_g + (1-\alpha)\rho_\ell, \qquad \frac{1}{\rho_m c_m^{2}} = \frac{\alpha}{\rho_g c_g^{2}} + \frac{1-\alpha}{\rho_\ell c_\ell^{2}}

$\alpha$ es la fracción volumétrica de gas y los subíndices $g$ / $\ell$ quieren decir gas y líquido. La relación de Wood. La mezcla es tan blanda como el gas y tan pesada como el líquido.

Con $\alpha = 0{,}5$ , $c_m = 24$ m/s. Un catorceavo del aire, un sesentavo del agua. Ningún material del problema manda una señal a esa velocidad. El promedio fabricó el número. La carrera que ensancha el difuminado a mano queda justo después de la tabla impresa.

Lo que cuesta resolver en variables primitivas#

La elección discutible es avanzar variables primitivas $(p, \vec{u}, T)$ en lugar del conjunto conservado $(\rho, \rho\vec{u}, \rho E)$ . La ecuación de energía se reescribe como una ecuación de presión.

Lo que se gana es el acuerdo de las dos presiones y un término de conducción implícito. La presión de la ecuación de estado y la presión de la corrección semi-implícita coinciden en cada paso. En variables conservadas se sabe que esas dos se separan. La conducción también puede tratarse de forma implícita, y eso pesa en un problema de bajo Mach donde el calor manda, como la convección natural.

Lo que se pierde es la conservación de la energía total. Por eso el solver corta su propio alcance en flujo subsónico. Capturar un choque pide otra formulación.

Tampoco se garantiza la positividad de la presión. Los autores lo leen como margen, no como defecto. Un líquido metaestable en cavitación sí se sienta en presión negativa, y una ecuación de estado como van der Waals puede emparejar una presión negativa con una temperatura positiva.

Reflexión y velocidad de Wood, impresas#

Los números de las figuras, impresos directo.

# Reflexion/transmision en una interfaz aire-agua y velocidad del sonido de Wood
from math import sqrt
 
AIR   = (1.2,   347.0)    # (rho, c)
WATER = (998.0, 1500.0)
 
def impedance_split(m1, m2):
    z1, z2 = m1[0] * m1[1], m2[0] * m2[1]
    R = (z2 - z1) / (z2 + z1)
    return z1, z2, R, 1.0 + R, R * R
 
def wood_speed(alpha, gas=AIR, liq=WATER):
    rho_m = alpha * gas[0] + (1.0 - alpha) * liq[0]
    inv   = alpha / (gas[0] * gas[1] ** 2) + (1.0 - alpha) / (liq[0] * liq[1] ** 2)
    return 1.0 / sqrt(rho_m * inv)
 
z1, z2, R, T, E = impedance_split(AIR, WATER)
print(f"Z_air = {z1:8.1f}   Z_water = {z2:10.1f}   Z2/Z1 = {z2/z1:6.0f}")
print(f"R = {R:.5f}   T = 1+R = {T:.5f}   reflected energy = {100*E:.3f} %")
print(f"velocity amp in water / incident = {(z1/z2)*T:.3e}")
 
print("\nalpha   c_wood [m/s]")
for a in (0.0, 0.01, 0.1, 0.5, 0.9, 0.99, 1.0):
    print(f"{a:5.2f}   {wood_speed(a):8.1f}")

Z_air =    416.4   Z_water =  1497000.0   Z2/Z1 =   3595
R = 0.99944   T = 1+R = 1.99944   reflected energy = 99.889 %
velocity amp in water / incident = 5.562e-04
 
alpha   c_wood [m/s]
 0.00     1500.0
 0.01      120.5
 0.10       40.1
 0.50       24.0
 0.90       39.9
 0.99      114.3
 1.00      347.0

smear n8 cellsρ_liquid998 kg/m³

What to watch: at n = 0 the two lanes are the same run. Pull n up to 8 cells — a width any capturing scheme reaches within a few hundred steps — and the cyan curve digs a hole down to ~24 m/s that neither material has, so the smeared signal falls behind and arrives late. Drop ρ_liquid and the hole fills in: the dip is driven by the density ratio, not by the sound speeds. The yellow line is the bill an explicit solver pays for that hole.

Al subir el deslizador n de 0 a 8 celdas, la curva cian cava un valle que no pertenece a ningún material. Al bajar $\rho_\ell$ el valle se rellena. La fila $\alpha = 0{,}01$ de la salida, 120.5 m/s, es la boca de ese valle. Recortar el contraste de densidad hace desaparecer el valle aunque el contraste de velocidad del sonido se quede.

La energía reflejada es $R^{2}$ . El cuadrado del $R = 0.99944$ impreso es 99,889%. Lo que atraviesa es 0,111%, la misma décima del arranque. La razón de velocidades 1500/347 es 4,32, y la de impedancias es 3595. La razón de densidades 998/1,2 por la de velocidades da ese 3595. La densidad levanta el muro.

En $\alpha = 0.01$ los 1500 caen a 120,5, factor 12,4. Hasta 24 m/s en $\alpha = 0.5$ hay otro factor cercano a cinco. Casi todo el daño está en el primer 1%. Un paso explícito sigue la velocidad del sonido de esa celda, y una celda difuminada lo aprieta doce veces.

La onda estacionaria pone 2026 Pa frente a 116 Pa de Laplace, razón 17,5. Una amplitud de 4,9 m/s es el 1,4% de 347 m/s, Mach 0,014. $f = 347/(2 \times 0.008) = 21688$ Hz, los 21,7 kHz escritos. Un líquido incompresible deja fuera esa perturbación de factor 17,5. Una celda de 120,5 m/s empuja el nodo.

La fila $\alpha = 0{,}01$ , otra vez. Un 1% de gas en agua baja la velocidad del sonido de 1500 a 120 m/s. Es el valor que se observa en agua con burbujas, y es lo que ve la malla si la interfaz se difumina una sola celda.

Una gota en una onda estacionaria — la última prueba del artículo#

La última prueba pone una gota de 1 mm en una cavidad cilíndrica de altura $L = 8$ mm y fuerza el borde superior con una oscilación de presión.

p(t) = p_0 + \Delta p \sin(\omega t)

$\omega = 2\pi f$ y $f = c_0/(2L) \approx 21{,}7$ kHz es el primer modo acústico de la cavidad. $\Delta p$ es el 2% de $p_0$ , 2026 Pa. La gravedad es cero.

Cuando la onda estacionaria se planta, un nodo de presión queda en $z = L/2$ . Un nodo de presión es un antinodo de velocidad. La amplitud de velocidad sale de la impedancia.

\Delta v = \frac{\Delta p}{\rho_0 c_0} \approx \frac{2026}{416} \approx 4{,}9\ \text{m/s}

La gota queda en medio de ese campo de velocidad oscilante. La presión también se propaga dentro del líquido, y la gota circular inicial sostiene un salto de Laplace $2\sigma/r = 116$ Pa. La brecha entre la perturbación acústica de 2026 Pa y los 116 Pa que defiende la tensión superficial decide el resultado. Cada período la gota se estira y se aplasta a lo largo del eje, y una amplitud grande termina en ruptura.

Esa figura es la razón de la formulación de arriba. Un líquido incompresible borra la onda de presión dentro de la gota. Una interfaz difuminada deja que una velocidad del sonido falsa de 24 m/s en las celdas cercanas mueva el nodo. Una interfaz sharp, con ambas fases compresibles, es lo que produce la figura.

El difuminado de una celda que desplaza el nodo#

Los 24 m/s en $\alpha = 0{,}5$ son el número que pisa un solver si la interfaz se deja difuminada. Un modelo de cinco ecuaciones que conserva esa velocidad del sonido a propósito es la velocidad de Wood en Murrone–Guillard, que arrastra los mismos 24 m/s.

En la onda estacionaria de la gota, ¿conservar esos 24 m/s sostiene el nodo, o los 21.7 kHz solo se quedan en su sitio después de quitar los 120.5 m/s de una celda?