把压力从方程里抹掉的人 — Chorin 投影法与分步法

流入和流出只要差一点点，Neumann的Poisson就没有解。关掉投影，那点散度会一步一步留下来。

1967 年，Alexandre Chorin 把压力从方程里暂时抹掉了。求解不可压 Navier–Stokes 方程时，最棘手的一项正是压力。压力没有时间导数。密度是常数，也无法通过状态方程反推压力。Chorin 的答案很大胆：先忽略压力把速度往前推，再把结果强行拉回无散度（divergence-free）状态。本文将讲清这套分步法（fractional step，通常称为投影法 projection method）如何运作——从一行定理 Helmholtz–Hodge 分解出发，直到写出一个真正能跑的二维求解器。读到最后，你会明白为什么不可压代码的运行时间大多耗在压力 Poisson 方程上。

把左面板的源强度从 0 推到 14，散度的颜色会亮起来，右边的投影只留下旋涡。

source strength6.0max|∇·u*| = 0.000 → 0.0000

Red = positive divergence (source), blue = negative (sink), dark = zero. Raise the source and the left panel lights up; the right panel stays dark — projection strips the compressible part and keeps only the swirl.

源为 0 时两边几乎一样。推到 14，只有左边染上红蓝，右边保持暗色。投影把可压分量整块剥掉了。

压力没有时间导数

把不可压 Navier–Stokes 方程写出来，问题一目了然。

\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\nabla^2\mathbf{u}, \qquad \nabla\cdot\mathbf{u} = 0

其中 $\mathbf{u}$ 是速度， $p$ 是压力， $\nu$ 是运动黏度（动量的扩散率）。动量方程告诉你 $\mathbf{u}$ 如何随时间演化。但第二个式子 $\nabla\cdot\mathbf{u}=0$ 并不是演化方程，而是每一时刻都必须满足的约束条件。

在可压缩流动中，连续性方程演化密度，密度再通过状态方程决定压力。到了不可压极限，这条链断了。压力不随时间"演化"。它只是一个拉格朗日乘子（用来施加约束的未知量），唯一的职责就是让速度在每一时刻保持无散度。所以试图对压力做时间推进，本身就是徒劳。

任何速度场都能一分为二 — Helmholtz–Hodge#

出路藏在一条古老的矢量分析定理里。在合理的区域上，任何矢量场 $\mathbf{w}$ 都能唯一地分解为无散度部分加上梯度部分。

\mathbf{w} = \mathbf{u} + \nabla\phi, \qquad \nabla\cdot\mathbf{u} = 0

$\mathbf{u}$ 是旋涡（无散）分量， $\nabla\phi$ 是可压（梯度）分量。把 $\mathbf{u}$ 单独提取出来的运算，就是投影算子 $\mathbb{P}$ 。做法很简单。对上式取散度，由于 $\nabla\cdot\mathbf{u}=0$ ，得到

\nabla^2\phi = \nabla\cdot\mathbf{w}

用这个 Poisson 方程解出 $\phi$ ，再从原场中减去 $\nabla\phi$ ，就只剩下无散度部分。

\mathbf{u} = \mathbb{P}\mathbf{w} = \mathbf{w} - \nabla\phi

先预测，再投影 — 分步法

Chorin 的算法把这个分解直接搬进时间积分。一步拆成两半。

预测子（predictor） — 丢掉压力把速度往前推，得到中间速度 $\mathbf{u}^*$ 。

\frac{\mathbf{u}^* - \mathbf{u}^n}{\Delta t} = -(\mathbf{u}^n\cdot\nabla)\mathbf{u}^n + \nu\nabla^2\mathbf{u}^n

$\mathbf{u}^*$ 不是无散度的。既然忽略了压力，这很自然。

修正子（corrector） — 把 $\mathbf{u}^*$ 拉回无散度。解压力 Poisson 方程，

\nabla^2\phi = \frac{1}{\Delta t}\nabla\cdot\mathbf{u}^*

再减去梯度，得到下一步的速度。

\mathbf{u}^{n+1} = \mathbf{u}^* - \Delta t\,\nabla\phi

这里 $\phi$ 实际上扮演了压力的角色（ $p^{n+1}\approx\rho\phi$ ）。压力不是拿来演化的对象，而是每一步为满足约束重新求解的量。这两行就是投影法的全部。

压力 Poisson 与边界条件的陷阱#

实战的痛苦从这里开始。预测子很便宜。可修正子每一步都要解一个 Poisson 方程。在大网格上，这个椭圆型求解占了总成本的 70%–90%。这正是 GMRES 和多重网格成为不可压代码心脏的原因。

边界条件也满是陷阱。 $\phi$ 在壁面上的边界条件是 Neumann（ $\partial\phi/\partial n = 0$ ）。Neumann 问题的解含有一个任意常数，而且要有解就必须满足相容性条件——在整个区域上 $\int \nabla\cdot\mathbf{u}^*\,dV = 0$ 。如果进出口流量不匹配，Poisson 方程根本无解。看到 NaN 时，先怀疑边界流量。

在同位（collocated，非交错）网格上，把压力和速度放在同一点会引发棋盘格振荡。要么用交错网格，要么用 Rhie–Chow 插值来抑制。面速度若记住松弛因子，收敛解本身会变。顺带一提：SIMPLE 类方法每一步把同样的投影思想重复多次，逼向定常态；而这里的分步法每步只投影一次，以保持时间精度地追踪非定常流动。

Python：用 FFT 卷起双剪切层#

在周期边界上，压力 Poisson 用 FFT 一次解出，因为在 Fourier 空间里拉普拉斯算子变成了乘以 $-|\mathbf{k}|^2$ 。用双剪切层（两股相互咬合的射流）作初始条件，它会卷成 Kelvin–Helmholtz 涡——这是投影法的经典验证问题。

import numpy as np
 
N = 128                # 网格（每边）
h = 1.0 / N            # 网格间距
nu = 5e-3              # 运动黏度 -> Re = U L / nu ~ 200
dt = 2e-3              # 处于扩散/对流稳定范围内
steps = 3000
 
x = (np.arange(N) + 0.5) * h
X, Y = np.meshgrid(x, x, indexing='ij')
 
# 双剪切层 + 小扰动
rho, delta = 1.0 / 30.0, 0.05
u = np.where(Y <= 0.5, np.tanh((Y - 0.25) / rho), np.tanh((0.75 - Y) / rho))
v = delta * np.sin(2 * np.pi * X)
 
# FFT Poisson 所需的波数
k = 2 * np.pi * np.fft.fftfreq(N, d=h)
KX, KY = np.meshgrid(k, k, indexing='ij')
K2 = KX**2 + KY**2
K2[0, 0] = 1.0         # 避免对平均模除以零
 
def divergence(a, b):
    dadx = (np.roll(a, -1, 0) - np.roll(a, 1, 0)) / (2 * h)
    dbdy = (np.roll(b, -1, 1) - np.roll(b, 1, 1)) / (2 * h)
    return dadx + dbdy
 
def projection_correct(a, b):
    # Laplacian(phi) = div  ->  a <- a - grad(phi)
    phi_hat = np.fft.fft2(divergence(a, b)) / (-K2)
    phi_hat[0, 0] = 0.0
    phi = np.real(np.fft.ifft2(phi_hat))
    dpx = (np.roll(phi, -1, 0) - np.roll(phi, 1, 0)) / (2 * h)
    dpy = (np.roll(phi, -1, 1) - np.roll(phi, 1, 1)) / (2 * h)
    return a - dpx, b - dpy
 
def predictor(a, b):
    # 对流（中心差分） + 扩散，显式 Euler 一步
    ax = (np.roll(a, -1, 0) - np.roll(a, 1, 0)) / (2 * h)
    ay = (np.roll(a, -1, 1) - np.roll(a, 1, 1)) / (2 * h)
    bx = (np.roll(b, -1, 0) - np.roll(b, 1, 0)) / (2 * h)
    by = (np.roll(b, -1, 1) - np.roll(b, 1, 1)) / (2 * h)
    lap = lambda f: (np.roll(f, -1, 0) + np.roll(f, 1, 0)
                     + np.roll(f, -1, 1) + np.roll(f, 1, 1) - 4 * f) / h**2
    astar = a + dt * (-(a * ax + b * ay) + nu * lap(a))
    bstar = b + dt * (-(a * bx + b * by) + nu * lap(b))
    return astar, bstar
 
for n in range(steps):
    us, vs = predictor(u, v)                 # 预测：中间速度 u*
    d_before = np.abs(divergence(us, vs)).max()
    u, v = projection_correct(us, vs)        # 投影：去除散度
    if n % 500 == 0:
        d_after = np.abs(divergence(u, v)).max()
        print(f"step {n:4d}  |div u*|={d_before:.2e} -> |div u|={d_after:.2e}")

看输出：每一步 $|\nabla\cdot\mathbf{u}^*|$ 都在 $10^{-2}$ 量级，但投影后 $|\nabla\cdot\mathbf{u}|$ 跌到 $10^{-13}$ 。FFT 投影把散度压到了机器精度。

一边 128 个点，间距就是 1/128。运动粘度 5e-3，速度尺度 1，区域长度 1，则 Re 是 1 除以 5e-3，等于 200。和注释里 Re 约 200 一致。时间步 2e-3 叠 3000 次，积分时间是 6。剪切层厚度 1/30 约 0.033，间距 1/128 约 0.0078，差不多四格多一点。扰动振幅 0.05 是射流速度 1 的 5%，卷起就从这道小正弦开始。预测刚结束的散度 $10^{-2}$ 和投影后的 $10^{-13}$ ，相差十一个数量级。FFT 把平均模态钉在 0 的那一行，关上了 Neumann 问题的常数自由度。流入和流出对不上、相容条件破了，只改那个分母并不会生出解。费用占 70% 到 90% 说的也是同一块矩阵。一步里预测子拿走的，只是剩下的 10% 到 30%。

时间步 2e-3 的修正，是从中间速度里减去这个步长乘上 $\phi$ 的梯度。要抹掉 $10^{-2}$ 的散度， $\phi$ 的拉普拉斯应是散度除以时间步，大约为 5。压力梯度在一步内把速度拉回这么多。关掉投影，这项修正进不了速度，散度就留下来。3000 步足够让这些残渣铺满网格。

关掉投影会发生什么

没有修正子，速度场每一步都会累积一点散度。质量不再守恒，涡被抹糊，很快变成填满网格的噪声。在下面的模拟里亲自看看。

dt0.60max|∇·u| = 0.000

Double shear layer rolling up. Red/blue = vorticity sign. Turn projection OFF and max|∇·u| climbs while the vortices dissolve into noise.

把 Projection 设为 ON，剪切层会卷成一对干净的涡。一旦切到 OFF，右上角的 max|∇·u| 读数飙升，涡的花纹随之崩塌。调大 dt 会让对流更激进，崩塌来得更快。这一次切换，就是"为什么需要投影"最简短的答案。

流量差一滴，Poisson就没有答案#

在不可压流动里，压力不是拿来演化的变量，而是每步施加 $\nabla\cdot\mathbf{u}=0$ 的拉格朗日乘子。投影先丢掉压力做出 $\mathbf{u}^*$ ，再解 Poisson 求出 $\phi$ 并减去梯度。这个次序本身很短。坏掉的地方在边界。流入和流出对不上，就没有相容条件，矩阵只剩下常数自由度，给不出解。

用每步一次投影保住时间精度，就不能在这一步里把对流再解一遍。只抬粘性的阶、把对流推到外面，这条选择的差别写在Gear外插对流、把误差放大的地方。把预测子的对流弄得看起来更准，投影刚配好的零散度会晃。