漩涡的两副面孔 — 自由涡、强迫涡与亥姆霍兹

叶片始终把同一面朝向排水口时，那一段只有公转。2ω的自转留在黄色核心里。

拔掉浴缸塞子，水会一圈圈地转。这一幕常被叫成"水在旋转"。流体力学面对这片区域的大部分时，说法反过来：这里没有旋转（irrotational）。两句话看似矛盾，涡（vortex）的样子就藏在里面。同一幅图里住着自由涡（free vortex，速度按 $1/r$ ）和强迫涡（forced vortex，速度按 $\omega r$ ）。涡量（vorticity，流体微团自转角速度的两倍）量的就是这两者之差。亥姆霍兹定理接着问，这样的涡为什么不容易灭。

浴缸漩涡真的是"旋转"吗

"旋转"这一个词里叠着两层。一层是公转，围着某个点做圆周运动。另一层是自转，微团绕自己的轴转。

浴缸漩涡里，水的微团确实公转。远离排水口的自转几乎没有。一片小叶子沿着圆走，身体并不转，始终把同一面对着排水口。

流体力学里的"旋转"指自转。所以自由涡除了奇异的中心，整片区域都是无旋。

把核心半径 $R$ 调小，黄色自转区就变窄；把 $U_{\max}$ 调大，核心涡量 $2U_{\max}/R$ 跟着变大。

core radius R =70U_max =110highlight core (ω ≠ 0)

Yellow tracers sit inside the forced-vortex core and rotate as a solid body (ω = 2U/R). Blue tracers outside follow u_θ = ΓR/r — circular streamlines but zero local spin. The Rankine combined vortex is the simplest model for a bath-tub drain or tornado.

黄色粒子在原地自转。蓝色粒子保持朝向排水口的那一面，只做公转。右上角曲线在 $r \le R$ 是直线，外面是 $1/r$ 。

强迫涡与自由涡：同一幅画，不同的灵魂

在旋转容器里把水搅久了，整桶水会像刚体一样一起转。这叫 强迫涡。每一个微团既公转也自转。

u_\theta(r) = \omega \, r

其中 $u_\theta$ 是切向速度， $\omega$ 是刚体角速度， $r$ 是到中心的距离。速度与半径成正比。

忽略粘性的理想流体里自然形成的漩涡，是 自由涡（势涡）。

u_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}

$\Gamma$ 是环量（circulation），沿闭合曲线的速度线积分。速度按 $1/r$ 衰减，到中心发散。真实流体里，粘性把这个奇点驯服。

	强迫涡	自由涡
速度	$\omega r$	$\Gamma / 2\pi r$
自转	有	无
能量输入	持续不断	仅在最初一次
日常例子	搅动的杯水	浴缸、龙卷风

同样的圆形流动，自转的有无却相反。把这一差异收成一个标量的，就是涡量。

涡量度量了什么

涡量 $\boldsymbol{\omega}$ 是速度场的旋度（curl）。

\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{u}

二维情形里只剩 $z$ 分量：

\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}

其中 $u, v$ 分别是 $x, y$ 方向的速度。这个值正好等于 流体微团自转角速度的两倍。

代入强迫涡， $\omega_z = 2\omega$ ，是常数，整片区域都在自转。代入自由涡，除中心外处处 $\omega_z = 0$ 。流线一样圆，自转却相反。

兰金组合涡 — 龙卷风的蓝图

真实漩涡不会只听一种法则。靠近中心时粘性强，流体像刚体一样转；远处粘性可以忽略，自由涡接管。把两者拼起来的模型就是 兰金组合涡。

u_\theta(r) = \begin{cases} \dfrac{U_{\max}}{R}\, r, & r \le R \\[6pt] \dfrac{U_{\max}\, R}{r}, & r > R \end{cases}

$R$ 是核心半径， $U_{\max}$ 是核心边界处的最大切向速度。两段在 $r = R$ 光滑相接。龙卷风风速、翼尖涡、排水口上方的吸入涡，都接近这一形状。核心内是有旋区，核心外是无旋区。

把代码里的默认值直接代进公式。 $U_{\max} = 1$ ， $R = 0.5$ 。在 $r = R$ 处，内外两式都给出 $u_\theta = 1$ 。 $r = 0.25$ 时内侧是 $U_{\max} r / R = 0.5$ 。 $r = 1$ 时外侧是 $U_{\max} R / r = 0.5$ 。离中心一样远，速度数字相同，斜率相反。

外圈环量不随半径变大。 $r > R$ 时 $u_\theta = U_{\max} R / r$ ，所以 $\Gamma = 2\pi r u_\theta = 2\pi R U_{\max}$ 。代入数字是 $2\pi \times 0.5 \times 1 = \pi$ 。核心涡量 $\omega_z = 2 U_{\max}/R = 4$ 。核心面积 $\pi R^2 = \pi/4$ ，乘上涡量得 $4 \times \pi/4 = \pi$ 。面积积分和回路积分收在同一个环量上。粘性把中心奇点抹开以后，远处一条回路量到的仍是这一个 $\Gamma = \pi$ 。代码注释里的 $2 U_{\max}/R$ 指的就是核心内的 $4$ ，不是网格另造的数。这个 $\Gamma$ 怎样变成升力，接在旋转的球里。

亥姆霍兹定理 — 涡的不灭

无粘流体里，微团上的力只有压力，压力指向微团中心，产生不了力矩。所以 此前不自转的微团不会开始自转，正在自转的微团不会停下。这是亥姆霍兹涡定理的一行。

更精确的说法是 开尔文定理：沿一条闭合物质曲线测得的环量 $\Gamma$ 不随时间变化。

\frac{D\Gamma}{Dt} = 0

$D/Dt$ 是物质导数，跟着流体微团走。涡管不能被切断，也不能被分开，拉长以后转得更快，和花样滑冰收臂是同一件事。真实流体有粘性，涡终究会扩散，但在水或空气里能活好几天。飞机航迹上的凝结涡能久久可见，就是这个缘故。

速度势打开的那扇门

在无旋（ $\boldsymbol{\omega} = 0$ ）区域，向量恒等式直接给出一行：

\nabla \times \mathbf{u} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{u} = \nabla \phi

标量 $\phi$ 称为 速度势。若再满足不可压缩 $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$ ，则

\nabla^2 \phi = 0

这是拉普拉斯方程。无粘、无旋、不可压缩流可以由一个标量完全描述。十九世纪能用解析方法处理翼型升力和源汇，窍门在这里。自由涡本身写成 $\phi = (\Gamma / 2\pi)\, \theta$ ，一个与角度 $\theta$ 成正比的势。

用代码看这两种涡

把兰金涡的速度和离散涡量画出来，差别很清楚。

import numpy as np
 
def rankine_speed(r, R_core, U_max):
    """兰金组合涡的切向速度"""
    speed = np.where(r <= R_core,
                     U_max * r / R_core,
                     U_max * R_core / np.maximum(r, 1e-9))
    return speed
 
def vorticity_field(u, v, dx, dy):
    """二维离散旋度: omega_z = dv/dx - du/dy"""
    dvdx = (v[1:-1, 2:] - v[1:-1, :-2]) / (2 * dx)
    dudy = (u[2:, 1:-1] - u[:-2, 1:-1]) / (2 * dy)
    return dvdx - dudy
 
# 在 200x200 网格上采样
N, L = 200, 2.0
x = np.linspace(-L, L, N)
y = np.linspace(-L, L, N)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
R = np.hypot(X, Y)
THETA = np.arctan2(Y, X)
 
U_max, R_core = 1.0, 0.5
u_theta = rankine_speed(R, R_core, U_max)
u =  -u_theta * np.sin(THETA)
v =   u_theta * np.cos(THETA)
 
dx = dy = x[1] - x[0]
omega = vorticity_field(u, v, dx, dy)
 
# 核心内外的平均涡量
mask_in  = R[1:-1, 1:-1] <  R_core
mask_out = R[1:-1, 1:-1] >  1.5 * R_core
print(f"核心内平均 omega_z ~ {omega[mask_in].mean():.3f}")   # ~ 2 * U_max / R_core
print(f"核心外平均 omega_z ~ {omega[mask_out].mean():.3f}")  # ~ 0

核心内 $\omega_z \approx 2 U_{\max}/R$ 几乎是常数，核心外接近零。同样的圆形流动里，分开"转"与"不转"的边界正好画在 $r = R$ 上。

网格用的是同一组数字。 $N = 200$ ， $L = 2$ ，区域从 $-2$ 到 $2$ ，间距是 $4/199$ 。核心半径 $0.5$ 大约是离中心二十五格。外侧掩膜从 $1.5 R = 0.75$ 打开。 $R$ 和 $0.75$ 之间不进平均，因为中心差分的模板一旦跨过边界， $\omega_z$ 就既不是 $4$ 也不是 $0$ 。注释里的期望值是核心内 $4$ 、外面 $0$ 。间距 $4/199$ 约是 $0.020$ ，半径 $0.5$ 因此落在离中心约二十五格处，掩膜从 $0.75$ 才开始计入平均。

核心半径留在哪里

核心切得太小， $2U_{\max}/R$ 会超出网格。 $U_{\max} = 1$ 、 $R = 0.5$ 时涡量是 $4$ 。把 $R$ 减半，同一公式给出 $8$ 。跨过边界的中心差分会把平均值污染成既非 $4$ 也非 $8$ 的数。外侧掩膜从 $1.5R$ 打开，就是为了躲开这一格。

把核心推到区域边缘， $1/r$ 的尾巴就没了。环量 $\Gamma = 2\pi R U_{\max}$ 还可以写下来，但树叶保持同一朝向的无旋段消失了。这条尾巴上伯努利常数跨流线是否还均匀，要看总压下降而耗散为零的那次计算。