Mach Architect#

교과서 그래프만으로는 $A/A^*$와 $P_b/P_0$가 레짐을 어떻게 바꾸는지 손이 기억하지 못한다.

목의 파란 점을 위아래로 끌고, 오른쪽 배압 슬라이더로 $P_b/P_0$를 바꾸면 출구 마하와 충격파 위치가 같이 움직인다.

목을 좁히면 유량이 막히는지, 배압을 0.5283 아래로 내리면 충격파가 출구 쪽으로 밀리는지 본다.

조작법#

• 노즐 형상: SVG 위의 파란 점을 위아래로 끌어 단면적을 바꾼다
• 배압: 오른쪽 슬라이더가 $P_b/P_0$다
• 레벨 선택: 위쪽 LV1~LV4 버튼으로 바꾼다

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레벨 해설#

Level 1: Subsonic Acceleration#

가장 단순한 경우다. 수렴 노즐에서 아음속은 단면이 줄수록 빨라진다. 등엔트로피 관계:

$$\frac{A}{A^*} = \frac{1}{M}\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)\right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}$$

$M < 1$이라 $A$가 줄면 $M$이 는다. 목표는 출구 마하 0.45~0.55다.

Level 2: Choking#

유동이 **초크(choke)**되면 목에서 $M = 1$이다. 그 다음 배압을 더 내려도 목 상류의 질량 유량은 그대로다.

임계 압력비 ($\gamma = 1.4$):

$$\frac{P^*}{P_0} = \left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} = 0.5283$$

배압을 이 값 아래로 내리거나, 목을 충분히 좁힌다.

Level 3: Supersonic Nozzle Design#

수렴-확산 노즐에서 throat 이후 단면적이 다시 넓어지면 초음속으로 가속됩니다. $M = 2$를 달성하려면:

$$\frac{A_e}{A^*} = \frac{1}{2}\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}\cdot 4\right)\right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}} \approx 1.6875$$

식에 $M=2$, $\gamma=1.4$를 넣으면 인쇄된 1.6875가 그대로 나온다. $(\gamma-1)/2=0.2$, $M^2=4$라 괄호 안은 $1+0.8=1.8$. $2/(\gamma+1)=1/1.2$와 곱하면 1.5. 지수는 $(\gamma+1)/(2(\gamma-1))=3$. $1.5^3=3.375$. $1/M=1/2$를 곱하면 1.6875. 목이 1이면 출구는 그 배수여야 $M=2$다.

아음속 목표 0.45~0.55는 같은 식의 반대편이다. $M=0.45$에서 $A/A^*\approx1.45$, $M=0.55$에서 $\approx1.25$. 밴드가 좁다. 목을 조금만 움직여도 출구 마하가 구간 밖으로 나간다. 목 뒤에서 넓어져야 빨라지는 쪽은 라발 노즐이 뒤집히는 지점과 같은 식이다.

배압을 설계 압력 Pb_design까지 내려야 충격파 없이 초음속이 출구까지 간다.

Level 4: Shock Positioning#

배압이 설계 압력보다 높고 임계 압력보다 낮으면, 노즐 안에 **수직 충격파(normal shock)**가 선다.

충격파 전후의 관계:

$$M_2^2 = \frac{M_1^2(\gamma-1)/2 + 1}{\gamma M_1^2 - (\gamma-1)/2}$$ $$\frac{P_2}{P_1} = \frac{2\gamma M_1^2 - (\gamma-1)}{\gamma+1}$$

$M_1=2$를 충격파 식에 넣으면 약분이 깔끔하다. $M_2^2=(4\times0.2+1)/(1.4\times4-0.2)=1.8/5.4=1/3$. $M_2\approx0.577$. 압력비는 $(2\times1.4\times4-0.4)/2.4=10.8/2.4=4.5$. 마하 2로 설계해 놓고 배압이 설계값보다 높으면, 관 안 어딘가에서 압력이 4.5배로 뛰고 마하는 0.58 근처로 떨어진다.

배압을 올리면 충격파는 목 쪽으로, 내리면 출구 쪽으로 움직인다. 레벨 4의 목표 $x = 0.65 \sim 0.80$은 그 점프를 출구 근처에 세우라는 뜻이다.

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시뮬레이터의 물리 모델#

이 시뮬레이터의 가정은 다섯이다.

1. 1D 준1차원(quasi-1D) 유동: 단면적 변화만 고려, 점성/열전달 무시
2. 등엔트로피 유동 (충격파 제외): $P_0$, $T_0$ 보존
3. 칼로릭 완전 기체: $\gamma = 1.4$ (공기)
4. 수직 충격파: Rankine-Hugoniot 관계식 적용
5. 노즐 형상: Hermite 보간으로 매끄러운 단면적 분포 생성

충격파 위치는 출구 압력을 만족하는 자리를 이산적으로 찾는다. 전방은 등엔트로피 초음속, 후방은 전압 손실을 넣은 등엔트로피 아음속이다.

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설계 배압을 남기면 M=2가 충격파에 먹힌다#

면적비 1.6875를 맞춰 놓고 배압을 설계값 위에 두면, 레벨 3에서 만든 $M=2$는 관 안에서 $M_2\approx0.577$로 떨어진다. 압력은 4.5배. 배압을 0.5283과 설계값 사이에 두는 순간, 초크는 유지되고 초음속 구간은 충격파 앞에서 끝난다.

그 점프를 격자 위에 올릴 때는 두께를 일부러 준다. 충격파를 일부러 흐려 둔 인공점성이 그 선택이다. 이 시뮬레이터는 위치를 이산적으로 찾을 뿐, 충격파 두께는 한 칸도 잡지 않는다. 배압 슬라이더가 $x=0.65$에서 $0.80$으로 옮기는 동안, 압력비가 4.5에서 벗어나는지 먼저 본다.