ガソリンエンジンはなぜ圧縮比12で止まるのか

加熱量alphaを3から6にしてもr=9の効率は0.5848のままです。動くつまみは圧縮比だけです。

1919年、製油会社のトーマス・ミジリーはエンジンの金属的な「カチカチ」を追っていました。圧縮比を上げると出力は増えます。線を越えると、点火プラグより先に燃料が自分で爆発します。その音がノッキング(knock)です。往復エンジンを四つの熱力学過程に畳むと、効率を固定する式が残ります。同じ圧縮比でオットーとディーゼルのどちらが上かは、末尾のPythonが測ります。

圧縮比を上げるほど強くなるのに、どこで止まったのか

圧縮比(compression ratio、シリンダーが最大のときと最小のときの体積比)はエンジン効率のつまみです。空気を強く押すほど、同じ燃料から仕事が余計に出ます。

先に限界になるのは温度です。断熱圧縮は体積を縮めながら温度を上げます。圧縮終わりの温度が自然発火点を越えると、炎が届く前に混合気が一気に爆発します。ノッキングです。ピストンとベアリングが先に壊れます。

圧縮比のスライダーを上げるとP–Vの輪が左右に伸び、加熱量のスライダーはその輪を上へ押すだけです。

Compression ratio r = 9.0Heat (pressure ratio P₃/P₂) = 3.00

Thermal efficiency η = 58.5% (k = 1.4, shaded area = net work)

塗られた面積が1サイクルの正味仕事です。加熱量を上げても効率の数字はほとんど動きません。ノッキングが見るのは輪の左端、圧縮が終わった温度です。

ミジリーは1921年、テトラエチル鉛で発火を遅らせました。オクタン価(アンチノック指数)はここから出ます。添加剤にも終わりがあります。ガソリンの圧縮比はふつう9〜12にとどまります。

エンジンを四つの過程に — 空気標準オットーサイクル

実際のエンジンは吸気・燃焼・排気が入り混じっています。これを扱うために、作動流体を一定量の理想気体(空気)とし、燃焼を「外から入る熱」に置き換えます。こう単純化したものがオットー(Otto)サイクルです。

四つの過程で閉じます。

1→2: 断熱圧縮(ピストンが空気を押す)
2→3: 定積加熱(体積一定、瞬間燃焼)
3→4: 断熱膨張(空気がピストンを押す — 出力行程)
4→1: 定積放熱(排気で熱を捨てる)

断熱過程では、圧縮比 $r=V_1/V_2$ と温度が次のように結びつきます。

\frac{T_2}{T_1} = r^{\,k-1}

ここで $T$ は温度、 $k$ は比熱比(定圧比熱/定積比熱、空気で約1.4)です。圧縮比が大きいほど、圧縮終わりの温度 $T_2$ が急に上がります。ノッキングの種はこの式の中にあります。先ほど圧縮比で輪が左右に伸びた理由がここです。膨張で速度を買うノズルはスロートの後ろで広がらないと速くならない流れの側です。エンジンの膨張はピストンを押す仕事に使います。

効率は圧縮比ひとつが決める

熱効率は、受け取った熱に対してした仕事です。定積加熱と放熱では熱量が温度差に比例するので、

\eta = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}} = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}

ここで $Q_{in}$ は受け取った熱、 $Q_{out}$ は捨てた熱です。断熱関係 $T_2/T_1 = T_3/T_4 = r^{k-1}$ を代入すると温度がすべて約分され、驚くほど単純な式だけが残ります。

\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\,k-1}}

効率に残るのは圧縮比 $r$ と比熱比 $k$ だけです。燃料をどれだけ燃やしたか( $Q_{in}$ )は式から落ちました。加熱量のスライダーを押しても効率が動かなかった理由です。

出力に出る56.5%は $r=8$ の $1-8^{-0.4}$ 、63.0%は $r=12$ です。 $k=1.4$ なので損失項は $r^{-0.4}$ です。温度比は $T_2/T_1 = 1/(1-\eta)$ で裏返ります。 $r=8$ で約2.30、 $r=12$ で約2.70です。コードの吸気300 Kをそのまま使うと、圧縮終わりはおよそ690 Kと810 Kです。8から12へ4目盛り上げるあいだに効率は6.5ポイント、温度は約120 K上がります。効率の傾きは寝て、温度の傾きは残ります。ノッキングが効率より先に点く場所です。

$r=9$ の閉じた式は0.5848です。損失 $1-0.5848=0.4152$ なので $T_2/T_1$ は約2.41、 $T_2$ は約722 Kです。加熱のつまみalphaは $T_3 = T_2 \alpha$ なので、3なら $T_3$ は約2170 K、6なら約4330 Kです。 $T_4 = T_1 \alpha$ で放熱も同じ倍率で増えます。 $q_{out}/q_{in} = T_1/T_2$ ではalphaが約分されます。熱を倍にしても0.5848は固定されたままです。

圧縮比8なら約56%、12なら約63%です。数字だけ見ればまだ上げたくなります。ノッキングが12付近で道を塞ぎます。

ディーゼルは定圧加熱で圧縮比の壁を越える

ルドルフ・ディーゼルは別の道を選びました。燃料を先に混ぜません。空気だけを先に圧縮します。圧縮終わりの温度を自然発火点より上に上げた後、燃料を噴射すると触れた瞬間に燃えます。点火プラグはありません。ノッキングを起こす予混合気がそもそもないので、圧縮比を15〜22まで上げられます。

違うのは加熱の仕方です。燃料がゆっくり噴射されながら燃えるため、体積が増える間も圧力がほぼ一定に保たれます。定積ではなく定圧加熱です。

ここで新しい無次元数が登場します。締切比(cut-off ratio) $r_c = V_3/V_2$ 、定圧加熱で体積が何倍に増えたかです。効率はこう変わります。

\eta_{\text{Diesel}} = 1 - \frac{1}{r^{\,k-1}}\,\frac{r_c^{\,k}-1}{k\,(r_c-1)}

オットーの式に分数がひとつ掛かった形です。その分数は $r_c>1$ のとき常に1より大きくなります。つまり同じ圧縮比ならディーゼルはオットーより損です。代わりにディーゼルは圧縮比をはるかに高くできるので、実際のエンジンではより高い効率に落ち着きます。

同じ圧縮比ならオットーが勝つ

二つのサイクルを圧縮比の軸に並べると、順位は図の前に見えます。曲線は右へ行くほど寝ます。圧縮比を1上げて得られる効率は減ります。同じ $r$ ではシアン(オットー)が琥珀色(ディーゼル)の上です。赤い帯がガソリンの現実の限界です。オットーはその手前で止まり、ディーゼルは帯を抜けてさらに右で回ります。

締切比を1.2へ下げると、定圧加熱が定積加熱に近づきます。 $r_c \to 1$ で二つの式は一致します。その目盛りは、ディーゼルがオットーからどれだけ離れたかです。数字は次の表が先に出します。

Python — 二つのサイクルを直接測る#

閉じた式が状態温度から出るかを、下のコードが測ります。

import numpy as np
 
K = 1.4  # 空気の比熱比 (cp/cv)
 
def otto_efficiency(r, k=K):
    """オットーサイクル: 定積加熱、圧縮比 r"""
    return 1.0 - 1.0 / r ** (k - 1)
 
def diesel_efficiency(r, cutoff, k=K):
    """ディーゼルサイクル: 定圧加熱、圧縮比 r、締切比 cutoff"""
    return 1.0 - (1.0 / r ** (k - 1)) * (cutoff ** k - 1) / (k * (cutoff - 1))
 
for r in [8, 12, 18, 22]:
    eo = otto_efficiency(r)
    ed = diesel_efficiency(r, cutoff=2.0)
    print(f"r={r:2d}  Otto={eo*100:5.1f}%  Diesel(rc=2)={ed*100:5.1f}%")

出力:

r= 8  Otto= 56.5%  Diesel(rc=2)= 49.0%
r=12  Otto= 63.0%  Diesel(rc=2)= 56.7%
r=18  Otto= 68.5%  Diesel(rc=2)= 63.2%
r=22  Otto= 71.0%  Diesel(rc=2)= 66.0%

締切比のスライダーを動かすと琥珀色の曲線だけが上下し、横軸は表の圧縮比です。

Diesel cut-off ratio rc = 2.0Marker at r = 9.0 → Otto 58.5% · Diesel 51.4%

既定の $r_c=2$ では差が $r=8$ で7.5ポイント(56.5対49.0)、 $r=12$ で6.3ポイント(63.0対56.7)、 $r=22$ でも5.0ポイント(71.0対66.0)です。間隔は縮みますが符号は変わりません。スライダーを1.2へ下げると二つの曲線は重なります。 $r_c=2$ 、 $k=1.4$ のときディーゼルの分数は $(2^{1.4}-1)/1.4$ です。 $2^{1.4}$ は約2.639なので分数は約1.171です。 $r=12$ のオットーの損失37.0%に1.171を掛けると43.3%、効率56.7%が表と一致します。

次に状態温度から直接効率を作り、閉じた式と対照します。

def otto_from_states(r, alpha, k=K):
    """状態温度から直接効率を計算 (alpha = P3/P2、加熱量のつまみ)"""
    T1 = 300.0                 # K, 吸気
    T2 = T1 * r ** (k - 1)     # 1->2 断熱圧縮
    T3 = T2 * alpha            # 2->3 定積加熱
    T4 = T3 / r ** (k - 1)     # 3->4 断熱膨張
    q_in = T3 - T2             # cv が約分される
    q_out = T4 - T1
    return 1.0 - q_out / q_in
 
print(otto_from_states(9, alpha=3.0))  # 0.5848...
print(otto_from_states(9, alpha=6.0))  # 0.5848...  加熱量を変えても同じ
print(otto_efficiency(9))              # 0.5848...

三行の出力はすべて同じ 0.5848 です。加熱量のつまみ alpha を3から6へ倍にしても効率は動きません。P–Vシミュレーションで加熱スライダーが効率を変えられなかった理由が、コードで確認できます。

12で止めるか、締切比を削るか#

$r=12$ でオットーは63.0%、締切比2のディーゼルは56.7%です。同じ圧縮比という条件だけならオットーです。ガソリンはその条件を保てません。予混合気がノッキングに阻まれ、12付近が終わりです。効率式 $\eta = 1 - r^{-(k-1)}$ は圧縮比と比熱比だけを残し、燃やす量は出力の大きさだけを決めます。

ディーゼルは空気だけを圧縮して天井を外し、15〜22へ進みます。 $r=18$ のディーゼルは63.2%で、圧縮比12のオットー63.0%と並びます。 $r=22$ なら66.0%で前に出ます。同じ圧縮比の損は締切比の分数が作ったもので、それを覆す決定は圧縮比をもっと許す側です。圧力が落ちて液体が先に沸く壁は蒸気圧が温度より先に来るキャビテーションで別に見ます。

ガソリンエンジンはなぜ圧縮比12で止まるのか — オットーとディーゼル