Una sola onda adelanta a su propio grupo — dispersión y velocidad de grupo

La energía sigue a la envolvente, no a la cresta. En agua poco profunda esa separación desaparece y queda una sola velocidad.

Se lanza una piedra a un estanque en calma. Las ondas se expanden en un anillo que crece. Hasta ahí todo el mundo lo sabe.

Pero al mirar el anillo de cerca, algo no cuadra. Cada onda pequeña nace en la parte trasera del grupo. Corre hacia afuera. Y luego muere en el borde delantero. El grupo se ensancha despacio, pero las ondas de su interior van por delante del grupo.

La dispersión (dispersion, diferencia de velocidad según la longitud de onda) es que cada longitud de onda viaja a su velocidad. La velocidad de grupo (group velocity) es la velocidad distinta del paquete. Esa separación explica el anillo de la piedra.

Al bajar el control de tensión superficial σ hacia 0, la rama capilar de la izquierda desaparece y el mínimo de la curva se corre hacia ondas más cortas.

surface tension σ = 72 mN/mdepth h = 2.00 m

Lower σ toward 0 and the capillary upturn on the left flattens — only gravity is left. Shrink h and the long-wave end levels off at the shallow-water speed √(gh), where waves stop dispersing.

Conviene mirar si la velocidad de fase mínima queda cerca de 0.23 m/s. Con solo gravedad, una longitud más corta hunde la curva.

El anillo que hizo la piedra#

Una onda de superficie se mueve por la fuerza que devuelve el agua a su posición, es decir, la fuerza restauradora (restoring force). Hay dos.

Una es la gravedad. Empuja hacia abajo una cresta levantada. La otra es la tensión superficial (surface tension, la fuerza que tensa la superficie del agua). Intenta aplanar una superficie curvada.

Para ondas largas gana la gravedad. Cuando la longitud de onda baja de unos 1.7 cm, la tensión superficial toma el mando. El oleaje del mar son ondas de gravedad. Las ondulaciones del estanque son ondas capilares.

La longitud de onda fija la velocidad#

La física de una onda de superficie se resume en una relación de dispersión (dispersion relation).

\omega^2 = \left( g k + \frac{\sigma k^3}{\rho} \right)\tanh(k h)

Aquí $\omega$ es la frecuencia angular, $k = 2\pi/\lambda$ es el número de onda (ondas por unidad de longitud), $\lambda$ es la longitud de onda, $g$ es la gravedad, $\sigma$ es la tensión superficial, $\rho$ es la densidad y $h$ es la profundidad del agua.

La velocidad a la que avanza una sola onda es la velocidad de fase (phase velocity). Se define como $c = \omega/k$ .

c = \sqrt{\left( \frac{g}{k} + \frac{\sigma k}{\rho} \right)\tanh(k h)}

Lo esencial es que $c$ depende de $k$ , y por tanto de la longitud de onda. Longitudes de onda distintas viajan a velocidades distintas. Eso es la dispersión. El sonido, y la luz en el vacío, viajan a la misma velocidad sin importar la longitud de onda. Las ondas de agua no.

El tira y afloja entre gravedad y tensión superficial#

Tomemos agua profunda. Cuando $kh$ es grande, $\tanh(kh) \to 1$ , y la fórmula se simplifica.

c = \sqrt{ \frac{g}{k} + \frac{\sigma k}{\rho} }

El primer término es la parte de la gravedad. Crece cuando la longitud de onda crece (cuando $k$ disminuye). El segundo es la parte de la tensión superficial. Crece cuando la longitud de onda disminuye (cuando $k$ crece).

Los dos términos tiran en sentidos opuestos. Por eso la velocidad tiene un mínimo. Resolver $dc/dk = 0$ da la longitud de onda de viaje más lento.

\lambda_\ast = 2\pi\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}} \approx 1.7\,\text{cm}

En esta longitud de onda la velocidad de fase toca fondo cerca de 0.23 m/s. Ahí el término de gravedad y el de tensión superficial tienen el mismo tamaño. Si queda solo uno, el valle desaparece.

La longitud a la que la tensión superficial corta un chorro sale de los mismos $\sigma$ , $\rho$ y $g$ . La ruptura de un chorro por Plateau–Rayleigh lee esa longitud desde el radio del chorro.

Agua profunda y agua poco profunda#

¿Qué pasa cuando la profundidad es mucho menor que la longitud de onda? Cuando $kh$ es pequeño, $\tanh(kh) \approx kh$ . Si se ignora la tensión superficial, la velocidad se vuelve asombrosamente simple.

c = \sqrt{g h}

La longitud de onda desapareció. En agua poco profunda todas las longitudes de onda viajan a la misma velocidad. No hay dispersión. Este estado se llama no dispersivo (non-dispersive).

Por eso un tsunami es tan peligroso. Sobre un océano de 4 km de profundidad, $\sqrt{gh}$ alcanza 700 km/h. Una onda de cientos de kilómetros de largo corre a velocidad de avión a reacción sin apenas cambiar de forma.

El grupo va más lento que las ondas#

Ahora, de vuelta al enigma inicial. ¿Por qué una sola onda adelanta a su grupo?

La velocidad a la que se mueve un grupo de ondas —un paquete de ondas (wave packet)— es la velocidad de grupo. Se define como $c_g = d\omega/dk$ . Es una cantidad distinta de la velocidad de fase.

En agua profunda, las ondas de gravedad puras cumplen $\omega = \sqrt{gk}$ . Al derivar, el resultado es limpio.

c_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}} = \frac{c}{2}

La velocidad de grupo es exactamente la mitad de la velocidad de fase. El grupo se arrastra a la mitad de la velocidad de sus propias ondas. Por eso cada onda nace en la parte trasera del grupo, corre hacia adelante y se desvanece en el borde delantero.

La energía viaja a la velocidad de grupo. Solo la forma de la cresta viaja a la velocidad de fase. Abajo se sigue una cresta amarilla.

group / phase ratio c_g/c = 0.50carrier wavelength = 46 px

At c_g/c = 0.5 (deep-water gravity waves) the yellow crest clearly outruns the pink envelope and fades at the front. Set the ratio to 1 and the crest freezes inside the lump — nothing disperses.

Con c_g/c en 0.5, la cresta amarilla adelanta a la envolvente rosa (envelope, el contorno del grupo) y se apaga en el frente. Con la razón en 1, la cresta queda fija dentro del grupo: la imagen de una onda no dispersiva.

Graficar la curva de dispersión en Python#

Con la relación de dispersión en mano, la velocidad de fase y la de grupo salen directas. La velocidad de grupo se obtiene derivando $\omega(k)$ de forma numérica.

import numpy as np
 
g, rho = 9.81, 1000.0          # gravedad [m/s^2], densidad del agua [kg/m^3]
sigma = 0.072                  # tension superficial agua-aire [N/m]
 
def omega(k, h):
    return np.sqrt((g * k + sigma * k**3 / rho) * np.tanh(k * h))
 
def phase_speed(lam, h):
    k = 2.0 * np.pi / lam
    return omega(k, h) / k
 
def group_speed(lam, h):
    k = 2.0 * np.pi / lam
    dk = k * 1e-5                       # diferencia central para domega/dk
    return (omega(k + dk, h) - omega(k - dk, h)) / (2.0 * dk)
 
lam = np.geomspace(1e-3, 10.0, 400)    # 1mm a 10m, suposicion de agua profunda
c = phase_speed(lam, h=100.0)
i = int(np.argmin(c))
print(f"velocidad de fase minima {c[i]:.3f} m/s @ longitud de onda {lam[i]*100:.2f} cm")
# velocidad de fase minima 0.232 m/s @ longitud de onda 1.73 cm
 
lam_swell = 2.0                        # oleaje de 2m: dominado por gravedad
cp = phase_speed(lam_swell, 100.0)
cg = group_speed(lam_swell, 100.0)
print(f"fase {cp:.3f} m/s, grupo {cg:.3f} m/s, razon {cg/cp:.3f}")
# fase 1.767 m/s, grupo 0.884 m/s, razon 0.500

La velocidad de fase mínima coincide con el cálculo a mano: 0.232 m/s en 1.73 cm, el mismo valle que los 1.7 cm y los 0.23 m/s del texto. Un oleaje de 2 m sale con fase 1.767 m/s, grupo 0.884 m/s y razón 0.500. La mitad de 1.767 es 0.8835, que se encuentra con el 0.884 impreso en el tercer decimal. En esa longitud el término de gravedad aplasta al de tensión superficial, así que $c_g = c/2$ queda intacta.

No ocurre lo mismo en la longitud más lenta. Ahí $g/k$ y $\sigma k/\rho$ tienen el mismo tamaño. Fijar la velocidad de grupo en la mitad, como si la onda fuera de gravedad pura, coloca mal la energía de una ondulación de 1.7 cm. La razón 0.500 corresponde a longitudes donde ya solo queda la gravedad, como el oleaje de 2 m.

El agua poco profunda es el otro extremo. $c = \sqrt{g h}$ no contiene $k$ . Al derivar $\omega = c k$ sale $c_g = c$ . Las crestas y el grupo viajan juntos. Con 4 km de profundidad esa velocidad es de 700 km/h. Llevar la regla de la mitad del agua profunda a esa onda desplaza la energía por un factor de dos.

Quitar la profundidad y usar c/2 deja la energía tarde#

El anillo de una piedra plana está cerca del agua profunda. Las crestas corren a la velocidad de fase y el grupo se arrastra a la mitad. Las ondas que se apagan en el borde delantero son esa diferencia.

Cuando la profundidad cae por debajo de la longitud de onda, esa imagen se deja. La velocidad es solo $\sqrt{gh}$ , y grupo y fase coinciden. Qué término conservar es el mismo tipo de comparación de longitudes que el modo en que un número de Reynolds parte el mundo de un flujo. Aquí las longitudes son la profundidad, la longitud de onda y 1.7 cm.