Por qué se curva una pelota que gira — Circulación, efecto Magnus y el teorema de Kutta–Joukowski

El día en que un proyectil giratorio se negó a volar recto#

Berlín, 1853. Heinrich Magnus llevó al túnel una pregunta que los artilleros ya conocían. Un proyectil que gira no vuela recto. Se va de lado. Un cilindro con el eje en vertical produjo una fuerza lateral constante, perpendicular a ese eje.

En un fluido sin viscosidad la superficie resbala. Aun así arriba va más rápido y abajo más lento. La cantidad que abre esa diferencia es la circulación $\Gamma$.

Al subir el deslizador de $\Gamma$ desde cero el punto de estancamiento amarillo baja, y al pasar $4\pi U_\infty R$ ese punto abandona la superficie.

El giro crítico es el momento en que el estancamiento se sienta en el fondo. Por encima, la línea de corriente rodea el cilindro una vez y no se escapa por debajo.

La misma circulación puede quedar en un ala. La teoría no viscosa no arranca ese proceso sola. El vórtice de arranque lo cierra más adelante.

Circulación — una integral sobre una curva cerrada#

La circulación $\Gamma$ cabe en una línea.

La componente tangencial de la velocidad, una vuelta sobre una curva cerrada $C$. $\mathbf{u}$ es la velocidad, $d\mathbf{s}$ el elemento tangente.

Stokes la pasa a una integral de superficie.

$\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{u}$ es la vorticidad, $d\mathbf{A}$ el elemento de área normal dentro del lazo. La circulación es la vorticidad atrapada ahí.

Un lazo puede no contener vorticidad en ningún punto interior y aun así tener circulación distinta de cero. Un lazo grande alrededor de un vórtice puntual hace eso. Las unidades también difieren. La vorticidad es [1/s]. La circulación es [m²/s], vorticidad por área.

Por qué un cilindro giratorio sube#

En flujo no viscoso, irrotacional e incompresible, la solución estacionaria limpia es una suma de soluciones elementales. Corriente uniforme más un doblete da un cilindro en reposo. Un vórtice puntual en el centro lo pone a girar.

En un potencial complejo,

Corriente uniforme, doblete, vórtice puntual. $\Gamma$ positivo es horario. En $r=R$ la velocidad tangencial es

Arriba, $\theta=\pi/2$, los dos términos comparten signo y $|u_\theta|$ crece. Abajo, $\theta=-\pi/2$, se cancelan. Si arriba el flujo es más rápido, Bernoulli

deja la presión de arriba más baja. Al integrar la diferencia de presión alrededor del cilindro queda una fuerza hacia arriba.

El estancamiento es $u_\theta=0$, así que $\sin\theta=-\Gamma/(4\pi U_\infty R)$. En la circulación crítica $\Gamma=4\pi U_\infty R$, $\sin\theta=-1$, y la única raíz es $\theta=-\pi/2$, el fondo. Ahí se junta el punto amarillo de la figura.

El teorema de Kutta–Joukowski — L′ = ρU∞Γ#

La integral de la presión superficial sale corta. En flujo estacionario no viscoso la resistencia es cero, y la sustentación por unidad de envergadura es

Lanchester la dejó como conjetura en 1894. A comienzos del siglo siguiente Kutta y Joukowski la probaron por separado.

La forma se cae de la fórmula. Cualquier sección 2D con la misma circulación a su alrededor recibe la misma sustentación. La sustentación escala con la circulación, no con la velocidad de giro. Un ala que no gira igual desarrolla circulación si la sección y el ángulo de ataque lo permiten, y esa circulación es la sustentación.

La resistencia nula es el mismo sitio que el cilindro sin circulación. Un potencial complejo de corriente uniforme más un doblete deja esa resistencia nula como la paradoja de d'Alembert. El $W(z)$ de aquí es ese potencial más un término de vórtice puntual.

El vórtice de arranque y el papel silencioso de la viscosidad#

Queda una contradicción. Un fluido en reposo no tiene vorticidad, así que todo lazo cerrado tiene circulación nula. El teorema de Kelvin — la circulación sobre una curva material se mantiene constante en flujo no viscoso con fuerzas másicas conservativas — dice que ese cero se sostiene.

¿De dónde sale la sustentación de un avión?

De la viscosidad. En el instante en que un ala acelera, la teoría no viscosa pide velocidad infinita en el borde de fuga afilado. Un fluido real quita esa energía cinética de inmediato, y un vórtice abandona el borde. Antihorario. El vórtice de arranque.

Kelvin sigue pidiendo que la circulación total de un lazo grande alrededor del ala y de la estela sea cero. Entonces una circulación horaria del mismo tamaño queda en el ala. El vórtice ligado. La $\Gamma$ de Kutta–Joukowski.

Al activar start motion un vórtice antihorario sale del borde de fuga; al subir el ángulo de ataque ese vórtice y la circulación horaria del ala crecen en la misma cantidad.

Las dos circulaciones siguen sumando cero. La teoría no viscosa está releyendo el estado de después de que la viscosidad ya desprendió una vez.

Código: velocidad superficial y coeficiente de sustentación#

La misma velocidad superficial, en NumPy. Función de corriente, coeficiente de presión superficial, coeficiente de sustentación.

import numpy as np
 
def cylinder_streamfunction(x, y, U_inf, gamma, R):
    """Función de corriente ψ = U sinθ (r - R²/r) + Γ/(2π) ln(r/R), Γ>0 = horario."""
    r = np.hypot(x, y)
    theta = np.arctan2(y, x)
    safe = np.maximum(r, 1e-9)
    psi_uniform = U_inf * np.sin(theta) * (safe - R ** 2 / safe)
    psi_vortex = (gamma / (2 * np.pi)) * np.log(safe / R)
    return psi_uniform + psi_vortex
 
def surface_pressure_coeff(theta, U_inf, gamma, R):
    """Coeficiente de presión sobre la superficie r=R: Cp = 1 - (u/U∞)²."""
    u_theta = -2 * U_inf * np.sin(theta) - gamma / (2 * np.pi * R)
    return 1.0 - (u_theta / U_inf) ** 2
 
def magnus_lift_coefficient(gamma, U_inf, R):
    """L' = ρU∞Γ → C_L = 2Γ/(U∞·d), diámetro d = 2R."""
    return gamma / (U_inf * R)
 
# Tres corridas rápidas (ρ = 1 implícito)
U_inf, R = 10.0, 0.5
for gamma in [0.0, np.pi * U_inf * R, 4 * np.pi * U_inf * R]:
    theta = np.linspace(-np.pi, np.pi, 360)
    cp = surface_pressure_coeff(theta, U_inf, gamma, R)
    L_per_span = U_inf * gamma
    cl = magnus_lift_coefficient(gamma, U_inf, R)
    print(f"Γ={gamma:6.2f}  C_L={cl:5.2f}"
          f"  Cp_top={cp[270]:+.2f}  Cp_bot={cp[90]:+.2f}"
          f"  L'/ρ={L_per_span:6.2f}")

Con $\Gamma=0$ la sustentación es cero y el coeficiente de presión es simétrico arriba y abajo. El bucle usa tres circulaciones: $0$, $\pi U_\infty R$, $4\pi U_\infty R$. Con $U_\infty=10$ y $R=0{,}5$, la fórmula de superficie en $\theta=\pm\pi/2$ cierra en números.

$\Gamma/(2\pi R)$ vale $0$, luego $U_\infty/2=5$, luego $2U_\infty=20$. La velocidad arriba es $-20$, $-25$, $-40$. Abajo es $20$, $15$, $0$. Con $C_p=1-(u/U_\infty)^2$ arriba queda $-3$, $-5{,}25$, $-15$ y abajo queda $-3$, $-1{,}25$, $1$. La última casilla de abajo, velocidad 0 y $C_p=1$, es el estancamiento en el fondo.

$C_L=\Gamma/(U_\infty R)$ vale $0$, $\pi$, $4\pi$. El $2\Gamma/(U_\infty d)$ del comentario es la misma relación porque $d=2R$. $L'/\rho=U_\infty\Gamma$ vale $0$, $50\pi$, $200\pi$. Son los valores analíticos en $\theta=\pm\pi/2$. El código muestrea 360 ángulos, así que el índice impreso puede quedar a un paso de ese ángulo. No se armó una tabla con esa impresión.

Una fuerza estimada solo con los dos $C_p$ queda por encima de la sustentación integrada. En la circulación crítica el $C_p$ inferior es 1 y el superior es $-15$, una brecha de 16. Por la presión dinámica $\tfrac{1}{2}\rho U_\infty^2$, esa brecha es una diferencia de presión de $8\rho U_\infty^2$. Extendida al diámetro $2R$, la fuerza por unidad de envergadura sería $16\rho U_\infty^2 R$. El teorema da $L'=\rho U_\infty\Gamma$, y con $\Gamma=4\pi U_\infty R$ eso es $L'=4\pi\rho U_\infty^2 R$. La estimación de dos puntos es $4/\pi$ veces la integral, cerca de 1,27. La presión sigue moviéndose entre esos extremos a lo largo de todo el contorno. El $C_p$ de un solo estancamiento no cierra la sustentación. El valor intermedio $\Gamma=\pi U_\infty R$ da la misma razón. Ahí el $C_p$ superior es $-5{,}25$ y el inferior $-1{,}25$, una brecha de 4. La estimación de dos puntos es $4\rho U_\infty^2 R$ y la sustentación del teorema es $\pi\rho U_\infty^2 R$, así que la razón vuelve a ser $4/\pi$. El factor de sobrestima al mirar solo arriba y abajo no depende de cuán grande sea la circulación.

Cuando la costura fija la circulación, la fórmula deja de ser ecuación de diseño#

El cilindro es el mismo en los tres casos. Solo cambia $\Gamma$, y $C_L$ va de 0 a $4\pi$. Kutta–Joukowski borra la forma y conserva la circulación. Cómo se produce esa circulación queda fuera de la fórmula.

La costura de una pelota de béisbol fija la separación, y la separación fija la circulación. Si ahí el teorema deja de ser una ecuación de diseño, ¿hacia dónde se curva una pelota real? La sustentación de una pelota que gira vuelve a abrir esa pregunta en la superficie de la pelota.