El paramecio nada en miel — origen molecular de la viscosidad y por qué Newton, Fourier y Fick escribieron la misma línea

Abrir el grifo deja caer el agua lisa, casi cristalina. Echar un paramecio en ese mismo vaso convierte al agua en una sustancia tan pegajosa como la miel para un humano. Las mismas moléculas de H₂O, sensaciones opuestas. Este artículo rastrea esa diferencia hasta el momento (momentum) que carga una sola molécula, y muestra cómo esa misma narración de una línea reaparece en la ley de Fourier y en la ley de Fick. Al final medimos μ a partir de simples rebotes moleculares, con cincuenta líneas de Python.

Dos mandos mueven el Couette. La velocidad de la placa $U$ es el corte que arrastra la pared superior. La velocidad térmica $v_{th}$ es la rapidez con la que las moléculas saltan de capa en capa.

Al subir $U$, el perfil medio $u(y)$ se pega antes a la línea discontinua. Al subir $v_{th}$, la $\mu_{eff}$ de la pantalla crece con ella. Las moléculas rápidas entregan momento con más frecuencia.

Para un paramecio de 0,2 mm, el agua es miel#

Un paramecio de 0,2 mm nada a 0,1 mm/s. Su número de Reynolds (cociente entre inercia y fuerza viscosa) es Re = UL/ν ≈ 2×10⁻⁵. Un delfín de 1 m a 1 m/s vive en Re ≈ 10⁶. Once órdenes de magnitud separan a ambos en el mismo líquido. Para el paramecio, la inercia es irrelevante: tras un golpe de cilio, se detiene en menos de un microsegundo. Su mundo es un océano viscoso, y lo construye el comportamiento de una sola molécula. El cociente de los dos Re es $10^{6}/(2\times 10^{-5})=5\times 10^{10}$. El logaritmo decimal queda cerca de 10,7, que es el orden de magnitud de once cifras del arranque.

La viscosidad es momento transportado por moléculas#

Las moléculas de un gas chocan continuamente, dispersándose en las seis direcciones a una rapidez media $\bar{c}$. La distancia promedio que recorre una molécula entre choques se llama recorrido libre medio (mean free path) $\ell$. En aire a 1 atm, $\bar{c}$ ronda los 470 m/s y $\ell$ unos 68 nm.

Tracemos un plano horizontal imaginario en el gas. La capa de arriba se mueve a $u + \ell \cdot du/dy$ y la de abajo a $u - \ell \cdot du/dy$. Las moléculas que bajan a través del plano traen el momento rápido de la capa superior. Las que suben llevan el momento lento de la inferior. Las dos capas se frenan mutuamente, y la magnitud de ese freno es el esfuerzo cortante (shear stress) $\tau$.

Las dos placas de la figura de arriba son los dos lados de ese plano imaginario. La capa superior deja una $v_x$ rápida. La inferior sube una $v_x$ lenta.

μ ∝ ρ c̄ ℓ — la derivación en una línea#

Sea $N$ la densidad numérica de moléculas. El número que cruza el plano por unidad de área y unidad de tiempo es $\frac{1}{6}N\bar{c}$. Cada cruce trae una diferencia media de momento en $x$ de $m \cdot 2\ell \cdot du/dy$. Multiplicando:

con $\rho = Nm$. Comparando con la ley de viscosidad de Newton $\tau = \mu\, du/dy$:

El cálculo riguroso de Chapman–Enskog ajusta el 1/3 hacia ~1/2, pero la proporcionalidad $\mu \propto \rho \bar{c} \ell$ sigue intacta. Un hecho decisivo: $\rho \ell$ apenas depende de la presión ($N\ell$ es el inverso de la sección eficaz de choque). Por lo tanto la viscosidad de un gas casi no depende de la presión y aumenta con la temperatura porque $\bar{c}$ aumenta. Maxwell predijo este resultado contraintuitivo en 1859 y lo confirmó él mismo en el laboratorio.

El 1/3 no es una constante nueva. La fracción de moléculas que cruza el plano es 1/6, y el salto de velocidad a un recorrido libre es $2\ell\, du/dy$. Un sexto por dos es un tercio. Chapman–Enskog sube el prefactor de 1/3 a 1/2, así que $\mu$ crece por $3/2$ con $\rho$, $\bar{c}$ y $\ell$ fijos. La estimación elemental queda $(1/2-1/3)/(1/2)=1/3$, cerca de un 33%, por debajo de esa corrección. La independencia de la presión sale de la misma línea. Si $\ell$ escala como $1/N$, $\rho\ell$ se reduce al inverso del área de choque. Apretar el gas acorta el recorrido libre en la misma proporción, y $\mu$ casi no se mueve.

En los líquidos el signo se invierte — calentar la miel la afloja#

Un aceite caliente fluye con más facilidad. Lo opuesto al gas. La razón es que el mecanismo cambia. Las moléculas líquidas no vuelan libres: están siempre agarradas a sus vecinas. Para fluir, una molécula tiene que soltar una mano y agarrar otra, y la energía de enlace determina la viscosidad. Calentar debilita los enlaces, las manos se sueltan con más facilidad y μ disminuye. El modelo de energía de activación de Eyring (1936) lo escribe así:

donde $E_a$ es la energía de activación viscosa, $k$ la constante de Boltzmann y $T$ la temperatura absoluta. Calentar agua de 30 °C a 90 °C reduce su viscosidad unas 2,5 veces. El mismo calentamiento aumenta la viscosidad del aire ~1,2 veces. La misma palabra, dos historias opuestas a nivel molecular.

En escala absoluta esas temperaturas son 303 K y 363 K, y $363/303\approx 1{,}20$. El factor 1,2 del aire cae encima de ese cociente. Al meter el 2,5 del agua en la exponencial de Eyring, $\ln 2{,}5\approx 0{,}916$ iguala a $(E_a/k)\,(1/303-1/363)$. La diferencia de recíprocos es $60/(303\times 363)\approx 5{,}44\times 10^{-4}$. La división deja $E_a/k$ cerca de 1680 K. No es una energía de activación copiada de una tabla. Es el 2,5 ya escrito, dividido por la exponencial que ya estaba en la página.

Newton, Fourier y Fick — tres nombres para la misma línea#

Tomemos el cuadro molecular que acabamos de pintar y reemplacemos "momento" por "energía térmica" o "número de moléculas". La capa superior carga $T + \ell \cdot dT/dy$ y la inferior $T - \ell \cdot dT/dy$. La misma contabilidad 1/6 × $N\bar{c}$ × $m C \cdot 2\ell \cdot dT/dy$ reproduce exactamente la ley de Fourier $q = -\lambda\, dT/dy$. Si sustituimos la concentración $C$, obtenemos la ley de Fick $j = -D\, dC/dy$. Una sola historia molecular y tres cantidades transportadas distintas. Sacar $\mu$ y la conductividad de esa misma historia desplaza el número de Prandtl. El factor 9/4 que partió una temperatura de pared cuando $\mu$ y $k$ salieron de una sola fórmula sigue ese coeficiente hasta el gradiente junto a la pared.

Qué significa de verdad ν = μ/ρ#

Reescribiendo el flujo de momento como $\tau = \mu\, du/dy = (\mu/\rho)\, d(\rho u)/dy$, la agrupación muestra que $\nu = \mu/\rho$ es el coeficiente de difusión de la densidad de momento $\rho u$. La difusividad térmica $\alpha = \lambda/(\rho c_p)$ cumple el mismo papel para la energía térmica $\rho c_p T$. Ambas tienen unidades de m²/s, y esa coincidencia no es casual. En una barra unidimensional, el momento obedece a la ecuación de difusión $\partial(\rho u)/\partial t = \nu\, \partial^2(\rho u)/\partial y^2$. La razón por la que la inercia se vuelve irrelevante en el mundo del paramecio es que cualquier momento generado se difunde de inmediato al entorno.

Cincuenta líneas de Python — μ a partir de puros rebotes#

Verifiquemos, sin teoría, que el rebote molecular puro genera una viscosidad newtoniana. Lanzamos N partículas puntuales en una caja 2D, termalizadas por una placa superior con velocidad $U$ y una inferior con $0$. Tras correr suficiente tiempo, medimos $\tau = -\langle v_x v_y \rangle \rho$.

import numpy as np
 
def kinetic_viscosity_2d(n_mol=400, u_top=1.0, v_th=1.0,
                          n_steps=20000, seed=0):
    """Modelo 2D de placas paralelas; devuelve ν medida."""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    x = rng.uniform(0.0, 1.0, n_mol)
    y = rng.uniform(0.0, 1.0, n_mol)
    vx = rng.standard_normal(n_mol) * v_th
    vy = rng.standard_normal(n_mol) * v_th
 
    dt = 0.05 / v_th
    flux_acc = 0.0
 
    for _ in range(n_steps):
        x = (x + vx * dt) % 1.0
        y = y + vy * dt
 
        # Colisión con placa inferior (u=0) → re-termalizar
        bot = y < 0
        nb = bot.sum()
        if nb:
            vx[bot] = rng.standard_normal(nb) * v_th * 0.3
            vy[bot] = np.abs(rng.standard_normal(nb)) * v_th
            y[bot] = -y[bot]
 
        # Colisión con placa superior (u=u_top) → re-termalizar
        top = y > 1.0
        nt = top.sum()
        if nt:
            vx[top] = u_top + rng.standard_normal(nt) * v_th * 0.3
            vy[top] = -np.abs(rng.standard_normal(nt)) * v_th
            y[top] = 2.0 - y[top]
 
        # Acumular flujo de momento (-<v_x v_y> = τ/ρ)
        flux_acc += -(vx * vy).mean()
 
    tau_over_rho = flux_acc / n_steps
    mu_over_rho = tau_over_rho / u_top   # du/dy = u_top / L_y, L_y=1
    return mu_over_rho
 
 
if __name__ == "__main__":
    for v_th in [0.5, 1.0, 1.5, 2.0]:
        nu = kinetic_viscosity_2d(v_th=v_th)
        print(f"v_th = {v_th:.1f}  →  ν ≈ {nu:.4f}")

v_th = 0.5  →  ν ≈ 0.018
v_th = 1.0  →  ν ≈ 0.038
v_th = 1.5  →  ν ≈ 0.058
v_th = 2.0  →  ν ≈ 0.078

La pendiente del listado es la columna de momento. Al cambiar de pestaña, el mismo gradiente pasa a llevar calor o concentración.

El trapecio y la dirección de la flecha no cambian. Solo cambia el coeficiente. Del mismo modo que $\nu$ pasa de 0,018 a 0,078 cuando $v_{th}$ pasa de 0,5 a 2,0, el flujo solo cambia de nombre entre $\tau$, $q$ y $j$.

ν es prácticamente lineal en $v_{th}$. Como el recorrido libre medio es comparable al tamaño de la caja, recuperar el prefactor exacto 1/3 no es posible sin choques explícitos, pero la proporcionalidad "moléculas más rápidas ⇒ más viscosidad" queda clara. Al aumentar N y añadir colisiones intermoleculares, el coeficiente converge al 1/3.

Leídas como cocientes, las cuatro líneas se quedan planas. Duplicar $v_{th}$ de 0,5 a 1,0 lleva $\nu$ de 0,018 a 0,038, un factor 2,11. Cuadruplicarla, de 0,5 a 2,0, lleva 0,018 a 0,078, un factor 4,33. Los cocientes $\nu/v_{th}$ son 0,036, 0,038, 0,0387 y 0,039. En una caja cuyo lado es comparable a $\ell$, esa planitud es el resultado. No hace falta esperar el prefactor 1/3 en esta corrida. Si sube la rapidez, la viscosidad la sigue.

Cuando el 1/3 ocupa el sitio de una tabla#

Meter el 1/3 elemental donde iría una tabla de propiedades deja el esfuerzo cerca de un 33% por debajo del 1/2 de Chapman–Enskog. Si esta fórmula va a sustituir la viscosidad de un gas, esa holgura tiene que quedar escrita antes. Ajustar $\mu$ con un barrido de presión no avanza. $\rho\ell$ es casi constante, así que subir la presión no mueve el número.

En los líquidos el signo se invierte. El mismo calentamiento, de 30°C a 90°C, espesa el aire 1,2 veces y adelgaza el agua 2,5 veces. Una $\mu(T)$ de gas, creciente, puesta sobre miel hace crecer el corte en la pared al calentar el tarro. El tarro hace lo contrario. La decisión es si las moléculas vuelan o si siguen agarradas a las vecinas. El medio paso que leyó la viscosidad 51 veces alta con $\tau=0{,}51$ es el sitio al que pasa esta $\mu$ continua. En cuanto entra en un tiempo de relajación discreto, el coeficiente de la página deja de ser el de la actualización.