Numerical Dungeon#

En un libro no queda en la mano el instante en que el CFL pasa de 1. Cinco niveles gastan HP en fallos, y el corte está entre dominio de dependencia, limitadores, un problema de Riemann y la condición de Abgrall.

Al cambiar el número de nivel cambia el esquema que pregunta el cuestionario, y cada fallo resta una casilla de HP.

Con el HP en cero, esa partida termina. Los niveles posteriores pagan más XP, así que el HP que sobrevive a los primeros niveles es el margen del jefe.

Reglas#

• 3 HP — cada respuesta incorrecta resta 1 HP. ¡Game over con 0!
• XP — cada acierto otorga XP. Los niveles avanzados dan más recompensa.
• Dificultad — Niveles 1–2 son básicos, 3–4 cubren teoría central, 5 es el jefe final.

Cada nivel comienza con una explicación conceptual, seguida de un cuestionario. Un fallo igual trae una explicación. Esa explicación es la pista del siguiente intento.

Lo que pregunta cada nivel#

Nivel 1: Condición CFL#

La condición CFL se relaciona directamente con el concepto de domain of dependence (dominio de dependencia). La velocidad de propagación numérica debe superar a la física. Los esquemas implícitos no tienen límite CFL, pero exigen resolver sistemas no lineales.

Cuando el CFL supera 1, el dominio de dependencia numérico dentro de una celda es más estrecho que el físico. La actualización pide información que no pudo llegar, y la extrapolación llena el hueco. La extrapolación vuelve como oscilación. Tres HP es la regla que admite ese error solo tres veces. Un esquema implícito ensancha el stencil a todo el dominio y suelta el tope del paso temporal. En el sitio que queda vacío se sienta el coste de una iteración en cada paso.

Nivel 2: Difusión numérica#

Reducir la difusión numérica requiere esquemas de alto orden, pero el teorema de Godunov exige limitadores no lineales. Limitadores comunes: minmod, van Leer, superbee, MC limiter.

Cómo un upwind de primer orden carga ese emborronado ya está medido en el intercambio de CFL entre FTCS y upwind. Antes de subir el orden, conviene ver cómo el emborronado y la oscilación se cambian el sitio dentro del mismo presupuesto CFL. El nivel 2 falla menos después de eso.

Nivel 3: Teorema de Godunov#

Este teorema impulsó esquemas modernos como TVD, ENO y WENO. Lo que Godunov cierra es un esquema lineal, monótono y de orden alto a la vez. Sin la no linealidad, la estabilidad no viaja con la precisión.

TVD, ENO y WENO rodean esa prohibición siendo no lineales. minmod, van Leer, superbee y MC vuelven a elegir la pendiente a partir de los vecinos, celda a celda. Ninguno congela un coeficiente lineal. Congelado, la respuesta del nivel 3 se invierte.

Nivel 4: Problema de Riemann#

Pruebas estándar como Sod, Lax y Shu–Osher validan los Riemann solvers. Una discontinuidad tiene que partirse a la vez en choque, contacto y expansión. Si esos tres no caben en una sola celda, la oscilación de presión reaparece con la misma forma que en el nivel siguiente.

Nivel 5: Oscilación de presión multifase#

La condición de Abgrall es el punto de partida del análisis numérico multifase. La fracción volumétrica puede moverse mientras la presión debe seguir uniforme. Si ese par se rompe, solo la presión tiembla. El síntoma no es un error de densidad.

Sin limitador, el jefe gasta el HP antes#

Fijar un esquema de orden alto con coeficientes lineales devuelve la combinación que Godunov ya descartó. No hay esquema lineal y monótono por encima de primer orden. Al quitar el limitador, el nivel 3 falla primero y los 3 HP se gastan en unas pocas oscilaciones. El HP ahorrado en las preguntas iniciales de CFL tiene que seguir ahí.

La oscilación de presión del nivel 5 aparece cuando la fracción volumétrica y la presión dejan de moverse juntas. La condición de Abgrall exige que ese par siga alineado. Resolver un choque dentro de una celda es el mismo cálculo que un tubo de choque de Godunov. Si la descomposición de ondas en esa celda sale mal, la oscilación de presión vuelve con la misma forma fuera de la mazmorra.