Por qué las gotas son redondas y el agua trepa por el vaso — Tensión superficial y ángulo de contacto

Inclinar la normal de pared hasta un ángulo prescrito no impide que una gota quieta se desplace si la curvatura sigue ruidosa.

En 1881, Agnes Pockels midió la tensión superficial del agua en el fregadero de su cocina, con un botón, un hilo y una palangana de hojalata. Sin acceso a la universidad, observaba las películas de aceite deslizándose sobre el agua mientras lavaba los platos y construyó su propio aparato para relacionar área y tensión. Este artículo sigue la física de aquel experimento casero — tensión superficial y ángulo de contacto — hasta cómo la CFD reproduce esta fuerza sobre una malla (el modelo CSF). Al final, comprobamos el ascenso capilar con números reales.

Al mover el ángulo de contacto entre 30 y 120 grados, una gota del mismo volumen se tiende sobre el suelo o se levanta como una esfera.

contact angle theta: 60°

Con $\theta$ por debajo de 30 grados la gota se aplana; más allá de 120 grados se eleva casi como una bola. El arco amarillo en la línea de contacto marca el equilibrio de Young.

La tensión superficial es energía que una molécula pierde en el borde#

Una molécula en el interior de un líquido está rodeada de vecinas por todos lados. Una molécula en la superficie tiene un lado vacío. Le falta exactamente esa energía de enlace.

La naturaleza reduce esta penalización minimizando el área superficial. Por eso una gota en ingravidez se vuelve una esfera: la forma con menor área para un volumen dado.

La tensión superficial $\sigma$ (fuerza por unidad de longitud, N/m) representa el coste energético de estirar la superficie. La interfaz agua–aire ronda los $\sigma \approx 0.072$ N/m a temperatura ambiente.

El mundo gobernado por la tensión superficial se ordena con números adimensionales. Un número de Weber pequeño (inercia/tensión superficial) $We = \rho U^2 L / \sigma$ impide que una gota se rompa. Un número de Bond pequeño (gravedad/tensión superficial) $Bo = \rho g L^2 / \sigma$ la mantiene redonda en vez de aplastada por la gravedad. En un capilar, ambos números se hacen pequeños.

Young–Laplace — una superficie curva empuja hacia dentro#

Cuando una superficie se curva, la tensión superficial produce una fuerza neta hacia dentro. El resultado es un salto de presión al cruzar la interfaz.

$\Delta p = \sigma\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$

Aquí $\Delta p$ es el exceso de presión por dentro, y $R_1,R_2$ son los dos radios de curvatura principales. Para una gota esférica $R_1=R_2=R$ , así que $\Delta p = 2\sigma/R$ .

La clave: cuanto menor el radio, mayor la presión interna. El interior de una gota de niebla de 5 µm está unos 29 kPa por encima del ambiente. Por eso las burbujas pequeñas son absorbidas por las grandes.

Ángulo de contacto — un tira y afloja entre tres tensiones#

Cuando una gota se posa sobre un sólido, tres interfaces se encuentran a lo largo de una línea: sólido–gas ( $\sigma_{sg}$ ), sólido–líquido ( $\sigma_{sl}$ ) y líquido–gas ( $\sigma_{lg}$ ). El ángulo en que alcanzan el equilibrio horizontal de fuerzas es el ángulo de contacto $\theta$ .

$\sigma_{sg} = \sigma_{sl} + \sigma_{lg}\cos\theta$

Es la ecuación de Young. Reordenada, $\cos\theta = (\sigma_{sg} - \sigma_{sl})/\sigma_{lg}$ .

Si $\theta < 90^\circ$ , el líquido prefiere al sólido y se extiende (mojado, hidrófilo). Si $\theta > 90^\circ$ , la gota se contrae en perla (no mojado, hidrófobo). Una gota sobre una hoja de loto muestra $\theta$ por encima de 150 grados.

CSF — convertir una fuerza superficial en fuerza volumétrica sobre la malla#

Aquí está el problema de la CFD. La tensión superficial actúa sobre una superficie de espesor nulo. Pero una celda de la malla tiene volumen. ¿Cómo metemos una fuerza que vive en una superficie dentro de una celda?

El modelo CSF (Continuum Surface Force) de Brackbill convierte la fuerza superficial en una fuerza volumétrica repartida por la región de la interfaz.

$\mathbf{f}_{sv} = \sigma\,\kappa\,\hat{\mathbf{n}}\,\delta_s$

$\kappa$ es la curvatura de la interfaz, $\hat{\mathbf{n}}$ la normal de la interfaz y $\delta_s$ una función delta superficial cercana a 1 solo en la interfaz. La normal y la curvatura provienen de un indicador de fase $c$ (por ejemplo, la fracción de volumen VOF).

$\hat{\mathbf{n}} = \frac{\nabla c}{|\nabla c|},\qquad \kappa = -\nabla\cdot\hat{\mathbf{n}}$

La precisión de la curvatura decide el destino de este modelo. Usar $\nabla c$ en crudo inyecta ruido en la curvatura y produce corrientes parásitas. Por eso se suaviza la normal — con interpolación ponderada por distancia o un ajuste de plano por mínimos cuadrados — antes de calcular la curvatura.

La adhesión a la pared impone el ángulo de contacto#

Una interfaz que toca una pared recibe una condición extra: el ángulo de contacto en la pared debe igualar el $\theta$ que prescribimos.

CSF lo impone inclinando la normal en las celdas cercanas a la pared. Con la normal de pared $\hat{\mathbf{n}}_w$ y la tangente $\hat{\mathbf{t}}_w$ , reescribimos la normal de la interfaz.

$\hat{\mathbf{n}} = \hat{\mathbf{n}}_w\cos\theta + \hat{\mathbf{t}}_w\sin\theta$

Inclinar la normal cambia la curvatura, y esa curvatura genera a su vez tensión superficial que arrastra la gota hacia el ángulo prescrito. Este es el modelo de adhesión a la pared. Tratar el movimiento de la línea de contacto trifásica requiere modelado adicional.

Python — comprobar la ley de Jurin con números#

Sumerge un tubo fino en agua y el agua trepa por sí sola. Es el ascenso capilar. La altura de equilibrio surge de equilibrar Young–Laplace contra la presión hidrostática.

$h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}$

$r$ es el radio del tubo y $\theta$ el ángulo de contacto. Cuanto más fino el tubo (menor $r$ ), más alto trepa.

import numpy as np
 
SIGMA = 0.072    # N/m, agua-aire (temperatura ambiente)
RHO   = 1000.0   # kg/m^3
G     = 9.81     # m/s^2
 
def young_laplace_dp(sigma, R1, R2):
    """Salto de presion a traves de una interfaz curva dp = sigma*(1/R1 + 1/R2)."""
    return sigma * (1.0 / R1 + 1.0 / R2)
 
def jurin_capillary_rise(r, theta_deg, sigma=SIGMA, rho=RHO, g=G):
    """Altura de ascenso de equilibrio (m) en un capilar de radio r."""
    theta = np.radians(theta_deg)
    return 2.0 * sigma * np.cos(theta) / (rho * g * r)
 
# Gota esferica (R1=R2=R): radio menor implica mayor presion interna
for R_um in (5, 50, 500):
    R = R_um * 1e-6
    print(f"R={R_um:4d} um -> dp = {young_laplace_dp(SIGMA, R, R):8.1f} Pa")
 
# Ley de Jurin: un tubo mas fino eleva el agua mas alto
print()
for r_mm in (0.1, 0.5, 1.0):
    h = jurin_capillary_rise(r_mm * 1e-3, theta_deg=30)
    print(f"r={r_mm:.1f} mm -> h = {h*1000:6.1f} mm")

Salida:

R=   5 um -> dp =  28800.0 Pa
R=  50 um -> dp =   2880.0 Pa
R= 500 um -> dp =    288.0 Pa
 
r=0.1 mm -> h =  127.1 mm
r=0.5 mm -> h =   25.4 mm
r=1.0 mm -> h =   12.7 mm

tube radius r: 0.50 mmcontact angle theta: 30°

Al cambiar el radio del tubo y el ángulo de contacto, la columna recorre las alturas impresas: 127.1 mm, 25.4 mm y 12.7 mm.

Con el ángulo de contacto por encima de 90 grados, $\cos\theta$ se vuelve negativo, así que el nivel baja en vez de subir. Es exactamente cómo el mercurio queda empujado hacia abajo en un tubo de vidrio (un menisco convexo).

Reduce el radio diez veces y tanto el salto de presión como la altura de ascenso crecen diez veces. Es una pieza de cómo las plantas elevan el agua decenas de metros mediante capilares y transpiración.

Las tres líneas son $\Delta p = 2\sigma/R$ con 0.072 N/m. 5 µm da 28800 Pa, 50 µm da 2880 Pa, 500 µm da 288 Pa. 28800/288 es 100, igual que 500 µm entre 5 µm. Los 29 kPa son 28800 Pa redondeados.

Jurin, mismas constantes. A 30 grados las alturas son 127.1 mm, 25.4 mm y 12.7 mm. 127.1/5 es 25.42 y redondea a 25.4. 127.1/10 es 12.71 y redondea a 12.7. A 150 grados el coseno cambia de signo: 0.1 mm marca 127.1 mm hacia abajo. $Bo = \rho g L^2 / \sigma$ vale cerca de 0.00136 a 0.1 mm y 0.136 a 1 mm. Ambos, bajo 1.

Sin CSF si la pregunta es solo la altura de equilibrio#

El radio del tubo y el ángulo de contacto bastan para Jurin. 0.1 mm, 30 grados, 127.1 mm. Esos números no piden una curvatura sobre la malla. CSF solo añade ruido cuando la pregunta es la altura de equilibrio.

El cálculo cambia cuando una gota se extiende en la pared y se fusiona. La adhesión a la pared solo inclina la normal hasta el ángulo prescrito, y una curvatura áspera deja que una gota quieta se desplace. El límite siguiente es el paso de tiempo de la tensión superficial, no el control del ángulo. Ahí está la ventana implícita del paso capilar.