Dónde deja la turbulencia de acelerar una llama — la hipótesis de arrugamiento de Damköhler y el bending

Un incendio forestal avanza más rápido cuanto más sopla el viento. Con 5 m/s el frente de llama corre más que una persona a la carrera. Pero si el viento sigue subiendo, pasado cierto valor el fuego se apaga solo. En el terreno lo llaman blow-off. Al medir una llama premezclada turbulenta en un quemador de laboratorio, la curva tiene exactamente la misma forma.

Al aumentar la intensidad turbulenta $u'$, la velocidad de llama turbulenta $S_T$ sube al principio casi en línea recta. Después se dobla. Ese aplanamiento es el efecto bending. Si se empuja más, la llama se extingue. El tramo recto es área. El doblez es un techo de arrugas. La extinción es el tiempo de los remolinos más pequeños.

El deslizador $u'/S_L$ profundiza las arrugas, y el $\Sigma$ medido se separa de la predicción en línea recta.

Al llevar $u'/S_L$ hasta 6, el $\Sigma$ medido se detiene cerca de 4 y la recta llega a 7. Al bajar $l_t/\delta_L$ a 2 y empujar $u'/S_L$ hasta 12, la etiqueta pasa a quenching y $\Sigma$ cae de 3.5 a 2.0.

Por qué la turbulencia acelera una llama#

En una llama premezclada de metano-aire, la velocidad de llama laminar (la velocidad a la que el frente se propaga por sí solo en una mezcla en reposo) $S_L$ ronda los 0.40 m/s en condiciones ambiente. El espesor de llama $\delta_L$ es de unos 0.5 mm. Ningún motor funciona con esos números. Cruzar un diámetro de 40 mm en 2 ms exige 20 m/s. Cincuenta veces $S_L$.

La turbulencia cubre esa diferencia. Por eso se define una velocidad de llama turbulenta $S_T$. La definición sale de una integral de la tasa de reacción. Al integrar la ecuación de transporte de la fracción másica media de combustible a lo largo de la normal al cepillo de llama y cancelar los términos difusivos, queda esto.

$\rho_u$ es la densidad del gas fresco, $Y_F^u$ y $Y_F^b$ las fracciones másicas de combustible del lado fresco y del quemado, $\overline{\dot{\omega}_F}$ la tasa media de reacción del combustible y $n$ la coordenada normal al cepillo de llama medio.

Lo importante es que se trata de una extensión directa de la relación usada para llamas laminares: la versión laminar lleva la tasa de reacción instantánea en lugar de $\overline{\dot{\omega}_F}$. Es decir, $S_T$ no es una magnitud definida como velocidad. Es una medida integrada de cuánta combustión ocurre por unidad de área. Ese solo hecho explica todo lo que sigue.

La intuición equivocada — ¿la turbulencia mezcla mejor el combustible?#

La explicación más común es esta: la turbulencia mezcla mejor combustible y aire, así que la reacción va más rápido. Para una llama premezclada eso es falso.

Premezclada significa justo lo que dice: combustible y aire ya estaban mezclados antes de la ignición. El gas delante del frente ya es una mezcla perfectamente uniforme. No queda nada por mezclar. La mezcla gobierna la velocidad de las llamas de difusión, donde combustible y oxidante llegan por separado, no la de las premezcladas.

Hay una segunda versión: la turbulencia eleva la difusividad efectiva y por eso la llama va más rápido. La velocidad de llama laminar escala como $S_L \sim \sqrt{D/\tau_c}$. Al sustituir $D$ por una difusividad turbulenta $u' l_t$ se obtiene $S_T/S_L \sim \sqrt{u' l_t / D}$. Una raíz cuadrada. Pero la pendiente inicial que muestran los experimentos es lineal. El exponente no cuadra.

Ambas versiones fallan además en algo más profundo: las dos suponen que la llama deja en paz a la turbulencia. La realidad va al revés. Justo tras la ignición la temperatura salta de 300 K a más de 2000 K. La viscosidad cinemática $\nu$ crece aproximadamente como $T^{1.7}$, o sea más de 20 veces. El número de Reynolds local $u' l_t / \nu$ baja en la misma proporción. Un flujo turbulento bien desarrollado puede relaminarizarse tras la ignición. Mientras la turbulencia sacude a la llama, la llama está matando a la turbulencia.

La respuesta de Damköhler: es área, no velocidad#

Damköhler propuso otra imagen. La turbulencia no acelera la combustión local. Pliega la lámina de llama.

La hipótesis es una sola: cada punto del frente arrugado sigue propagándose localmente a $S_L$. La química no se toca, solo cambia la geometría. Entonces la conservación de masa entrega la respuesta. El gas fresco que atraviesa el área real arrugada $A_T$ debe igualar al que atraviesa el área proyectada $\bar{A}$ del cepillo de llama medio.

$\Sigma$ es el factor de arrugamiento (wrinkling factor), es decir, el área de llama por unidad de área proyectada. El lado izquierdo es un cociente de áreas y el derecho un cociente de velocidades. Son el mismo número.

La turbulencia fija el tamaño de las arrugas. Mientras un remolino de tamaño $l_t$ empuja el frente a velocidad $u'$, el frente empuja de vuelta a $S_L$. El cociente de esos dos desplazamientos fija la pendiente de la arruga, y la pendiente fija la ganancia de área. De ahí sale la ley lineal de Damköhler.

$u'$ es la fluctuación de velocidad RMS del gas fresco y $S_L$ la velocidad de llama laminar. Con $u' = 0$ se recupera $S_T = S_L$.

Para que esta imagen valga, el frente tiene que ser más delgado que los remolinos. Dos números adimensionales miden esa condición.

$Da$ es el número de Damköhler (tiempo turbulento sobre tiempo químico) y $Ka$ el número de Karlovitz (tiempo químico sobre tiempo de Kolmogorov). $\tau_t$ es el tiempo de giro del remolino, $\tau_c$ el tiempo químico y $\tau_\eta$ la escala temporal de los remolinos más pequeños. Con $Da \gg 1$ la llama reacciona más rápido de lo que giran los remolinos. Con $Ka \lt 1$ ni el remolino más pequeño cabe dentro del espesor de llama. Donde ambas cosas se cumplen está el régimen flamelet, y la ley lineal de Damköhler solo vale ahí.

Lo que mostraron los experimentos — bending y extinción#

Los datos experimentales dibujan tres tramos. Casi lineal al principio. Luego plano. Al final, extinción.

El aplanamiento tiene tres causas superpuestas. Las arrugas se crean y también se borran. El frente avanza por su normal y va rebajando las cúspides (cusps) convexas. Cuando creación y destrucción se equilibran, $\Sigma$ deja de subir. En cuanto $Ka$ supera 1, los remolinos pequeños entran en la zona de precalentamiento, la llama se engrosa y la $S_L$ local baja. Con más deformación aparecen agujeros en la lámina.

Las tres caben en una sola expresión.

$\Sigma_\infty$ es el techo de saturación del arrugamiento (aquí 6.0), $Ka_q$ el número de Karlovitz de extinción (aquí 25.0) y $q$ un factor de atenuación entre 0 y 1. El término saturante del denominador produce el bending; $q$ produce la extinción.

Aquí hace falta honestidad. Esta expresión no es una ley deducida. Es una forma fenomenológica ajustada para reproducir la forma observada de la curva. $\Sigma_\infty = 6.0$ y $Ka_q = 25.0$ son valores de ajuste, no constantes físicas, y cambian con el combustible, la presión y la geometría del quemador. La fuente dice lo mismo: predecir el doblez de la curva es difícil, y predecir los límites de extinción es "casi imposible". Solo el tramo lineal salió de la física. Los otros dos siguen siendo correlaciones.

Conviene seguir una fila a mano. A gran escala, $l_t/\delta_L = 10$ y $u'/S_L = 6$, el número de Damköhler es tiempo turbulento sobre tiempo químico, así que $10/6 \approx 1.67$. El número de Karlovitz ata las mismas dos razones con otros exponentes. Al dividir $6^{1.5}$ entre $\sqrt{10}$ vuelve el 4.65 de la tabla. Dividido entre el Karlovitz de extinción, 25, y elevado al cuadrado dentro de la exponencial, $q \approx 0.966$. Casi 1. En esta casilla el factor de extinción apenas dobla la curva. Lo que dobla es el denominador. Dividir $u'/S_L$ entre el techo 6 suma 1, el denominador pasa a 2 y el numerador 6 se encoge a 3. Entonces $1 + 0.966 \times 3 = 3.90$. La ley lineal anota 7.00. La diferencia de 3.1 no es química más lenta. El área de arrugas chocó con el techo.

Al multiplicar por la velocidad laminar de 0.40 m/s, la velocidad turbulenta es el 1.559 m/s impreso. Cruzar un diámetro de 40 mm a esa velocidad es $0.040/1.559 \approx 0.026$ s, unos 26 ms. Los 2 ms que pide un motor siguen más de diez veces por debajo. Aunque la razón suba a 12, el factor de arrugamiento a gran escala queda en 4.03, así que la velocidad se queda cerca de $0.40 \times 4.03 \approx 1.61$ m/s. Las 13 veces, 5.2 m/s, que promete la ley lineal no aparecen ni una vez en la columna de bending.

Si solo baja la escala, de 10 a 2, la misma razón 6 salta $Ka$ de 4.65 a 10.39. La raíz de $10/2$ vale cerca de 2.24, y el cociente de esos dos Karlovitz coincide. El tiempo del remolino pequeño se acortó. En una cascada que entrega la energía escala a escala, ese tiempo cae por debajo del tiempo químico antes que nada. Con razón 12 y escala 2, $Ka$ es 29.39. Dividido entre 25 supera 1, $q$ baja a cerca de 0.25 y el factor de arrugamiento queda en 2.00. La lámina no ganó área. La atenuación borró área que ya estaba plegada.

La llama también cambia la turbulencia — el par baroclínico#

El gas se expande al cruzar el frente. El flujo másico debe conservarse, de modo que

$\rho_b$ es la densidad del gas quemado y $u_b$ la velocidad del gas que sale del frente. El frente de llama es un dispositivo que acelera el flujo siete veces. Esa aceleración actúa directamente sobre la turbulencia.

Los cuatro términos de la ecuación de transporte de vorticidad muestran el camino.

$\boldsymbol{\omega}$ es el vector vorticidad, $\mathbf{u}$ la velocidad, $\rho$ la densidad y $p$ la presión. I es el estiramiento de vórtices, II la dilatación, III la disipación viscosa y IV el par baroclínico (el par que aparece cuando el gradiente de densidad y el de presión no están alineados).

En turbulencia fría II y IV valen cero. Con una llama, ambos despiertan. En el frente $\nabla \cdot \mathbf{u} \gt 0$, así que II quita vorticidad. IV, en cambio, crea vorticidad nueva. El $\nabla \rho$ que atraviesa el frente es grande y normal a la superficie, mientras que el $\nabla p$ de la aceleración apunta en otra dirección. Su producto vectorial no es nulo. Ese es el origen de lo que se llama flame-generated turbulence.

Una relación de densidades cercana a 7 no es solo una historia de velocidad. Con $S_L = 0.40$ m/s en el gas fresco, el gas sale del frente a unos 2.8 m/s. Cuando la temperatura salta de 300 K a más de 2000 K, la viscosidad cinemática sigue $T^{1.7}$ y crece más de 20 veces, así que el Reynolds $u' l_t / \nu$ baja en la misma proporción. El término II quita vorticidad donde hay dilatación. El término IV la devuelve en la medida en que $\nabla\rho$ y $\nabla p$ dejan de alinearse.

Esta realimentación trae un efecto secundario incómodo: vuelve ambigua la "$u'$" de una curva $S_T(u')$. Medida en el gas fresco, en el quemado o a lo largo de todo el cepillo de llama, son tres números distintos. Un promedio sobre el cepillo sin pesar por densidad cuenta como fluctuación la intermitencia entre estado fresco y quemado, y sale inflado. Los modelos rara vez hacen esta distinción. Es una de las razones por las que los códigos RANS muestran comportamientos no físicos cerca de una llama.

Dibujar la curva de bending en Python#

Aquí está el modelo anterior trasladado tal cual a código. Imprime las predicciones lineal y con bending una al lado de la otra para dos escalas de turbulencia.

import math
 
SIGMA_INF = 6.0     # techo de saturación del arrugamiento
KA_QUENCH = 25.0    # número de Karlovitz de extinción
 
 
def damkohler_number(u_ratio, l_ratio):
    """Da = tiempo turbulento / tiempo químico."""
    return l_ratio / u_ratio
 
 
def karlovitz_number(u_ratio, l_ratio):
    """Ka = tiempo químico / tiempo de Kolmogorov."""
    return u_ratio**1.5 * l_ratio**-0.5
 
 
def quench_factor(ka):
    """Factor de atenuación que cae a 0 cuando Ka crece."""
    return math.exp(-(ka / KA_QUENCH) ** 2)
 
 
def wrinkling_factor(u_ratio, l_ratio):
    """Sigma = S_T / S_L, con saturación y extinción."""
    ka = karlovitz_number(u_ratio, l_ratio)
    return 1.0 + quench_factor(ka) * u_ratio / (1.0 + u_ratio / SIGMA_INF)
 
 
def turbulent_flame_speed(s_laminar, u_ratio, l_ratio):
    """Velocidad de llama turbulenta [m/s]."""
    return s_laminar * wrinkling_factor(u_ratio, l_ratio)
 
 
U_RATIOS = [0.5, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12]
 
for l_ratio in (10.0, 2.0):
    print(f"l_t/delta_L = {l_ratio:.0f}")
    print(f"{'u/SL':>6}{'Da':>9}{'Ka':>9}{'linear':>9}{'bending':>9}")
    for u_ratio in U_RATIOS:
        da = damkohler_number(u_ratio, l_ratio)
        ka = karlovitz_number(u_ratio, l_ratio)
        lin = 1.0 + u_ratio                      # ley lineal de Damkohler
        ben = wrinkling_factor(u_ratio, l_ratio)  # saturación + extinción
        print(f"{u_ratio:6.1f}{da:9.2f}{ka:9.2f}{lin:9.2f}{ben:9.2f}")
    print()
 
print("S_T at S_L = 0.40 m/s, u'/S_L = 6, l_t/delta_L = 10 :",
      round(turbulent_flame_speed(0.40, 6.0, 10.0), 3), "m/s")

La salida es esta.

l_t/delta_L = 10
  u/SL       Da       Ka   linear  bending
   0.5    20.00     0.11     1.50     1.46
   1.0    10.00     0.32     2.00     1.86
   2.0     5.00     0.89     3.00     2.50
   3.0     3.33     1.64     4.00     2.99
   4.0     2.50     2.53     5.00     3.38
   6.0     1.67     4.65     7.00     3.90
   8.0     1.25     7.16     9.00     4.16
  10.0     1.00    10.00    11.00     4.20
  12.0     0.83    13.15    13.00     4.03
 
l_t/delta_L = 2
  u/SL       Da       Ka   linear  bending
   0.5     4.00     0.25     1.50     1.46
   1.0     2.00     0.71     2.00     1.86
   2.0     1.00     2.00     3.00     2.49
   3.0     0.67     3.67     4.00     2.96
   4.0     0.50     5.66     5.00     3.28
   6.0     0.33    10.39     7.00     3.52
   8.0     0.25    16.00     9.00     3.28
  10.0     0.20    22.36    11.00     2.68
  12.0     0.17    29.39    13.00     2.00
 
S_T at S_L = 0.40 m/s, u'/S_L = 6, l_t/delta_L = 10 : 1.559 m/s

Con $u_\theta/S_L$ cerca de 2 y Release, el vórtice se rompe en el frente y aparece vorticidad de sentido opuesto. Hacia 10 el vórtice cruza y solo queda una cúspide. Al bajar $\rho_u/\rho_b$ a 1 desaparece $\nabla\rho$ y el término baroclínico se apaga.

Al comparar las dos columnas aparece el punto de separación. Hasta $u'/S_L = 1$, lineal y bending coinciden dentro de un 15%. En $u'/S_L = 6$ ya van 7.00 contra 3.90. Y en la escala grande ($l_t/\delta_L = 10$), empujar hasta $u'/S_L = 12$ deja $\Sigma$ todavía cerca de 4. En la escala pequeña ($l_t/\delta_L = 2$), esa misma $u'$ lleva $Ka$ más allá de 29 y $\Sigma$ hasta 2.0. Misma intensidad turbulenta, pero la escala menor se apaga antes.

Sin Ka, la misma u' esconde la extinción#

Una sola casilla con $u'/S_L = 12$ contiene $\Sigma = 4.03$ y $2.00$. Lo que las separa es $l_t/\delta_L$, y los Karlovitz son 13.15 y 29.39. La ley lineal anota 13.00 en las dos. Si en un quemador $S_T$ no sube y lo primero que se toca son las constantes de reacción, un área ya tapada se lee como química lenta.

Cuando un campo RANS se ve mal cerca de la llama, importa más dónde se muestrea $u'$ que las constantes del modelo. Gas fresco, gas quemado y un promedio del cepillo son tres números distintos. Un promedio de Germano que vuelve negativo el coeficiente dinámico es la misma clase de trampa. $\Sigma_\infty = 6$ y $Ka_q = 25$ se ajustaron a este quemador. No son constantes para llevar al combustible siguiente.