Sobre Mach 1, hay que ensancharse para acelerar — la paradoja de la tobera Laval

Cuando la presión de descarga pasa del cociente estático de diseño 0.063, el divergente abandona la rama supersónica y un choque a Mach 1.5 multiplica la presión por 2.46.

El 14 de octubre de 1947, el X-1 de Chuck Yeager alcanzó Mach 1.06. Lo que dejó atónito al equipo del túnel de viento no fue romper la barrera del sonido en sí, sino algo más extraño: los difusores empezaron a comportarse como aceleradores en el régimen supersónico, mientras las toberas frenaban el flujo. Este artículo sigue la identidad de una sola línea entre área y Mach que explica esa inversión, muestra por qué una tobera Laval debe estrecharse en el centro y de dónde aparecen las ondas de choque. Un script de NumPy de treinta líneas dibuja la curva isentrópica de una tobera. Con el deslizador de Mach por debajo de 1 y luego por encima de 2, los frentes pasan de círculos a un cono que queda detrás de la fuente.

Mach: 0.600.5 / 1.0 / 2.0 are key regimes

Por debajo de 1 las ondas todavía van por delante de la fuente. En el instante en que el deslizador cruza 1, la envolvente se vuelve una recta inclinada, y cerca de 2 el semiángulo se aprieta hacia 30 grados. Una pausa sobre esa recta deja en silencio el exterior del cono.

Número de Mach — un cociente que divide regímenes#

El número de Mach (cociente entre la velocidad del flujo $U$ y la del sonido $a$ ) es más que una escala de velocidad. La fuerza de inercia por unidad de volumen va como $\rho U^2 / l$ y la elástica como $K l^2 / l^3$ , así que la raíz cuadrada de su cociente es exactamente Mach.

\mathrm{Ma} = \frac{U}{a}, \qquad a = \sqrt{\frac{K}{\rho}}

Aquí $K$ es el módulo volumétrico (rigidez frente al cambio de volumen) y $\rho$ la densidad. Mach mide cuánto está apretando el flujo a la elasticidad del medio. Como regla práctica, con $\mathrm{Ma} < 0.3$ la densidad varía menos del 5% y la hipótesis incompresible aguanta. Por encima, el propio flujo empieza a comprimir el medio que atraviesa.

Cruzando la velocidad del sonido — del Doppler al cono de Mach#

Una fuente sonora en reposo emite frentes concéntricos. Si se mueve, la longitud de onda se acorta delante y se estira detrás: efecto Doppler clásico. Cuando la fuente alcanza la velocidad del sonido, todos los frentes se apilan en un plano. Si la supera, la fuente adelanta a los frentes que ella misma emitió, y la envolvente se cierra en un cono. Fuera de ese cono de Mach no llega ningún sonido.

El semiángulo $\mu$ sale de pura geometría.

\sin\mu = \frac{1}{\mathrm{Ma}}

A Mach 2 el cono tiene $\mu \approx 30°$ ; a Mach 5 se aprieta a $11.5°$ . La recta inclinada que aparece justo después de cruzar 1 en el deslizador es este semiángulo.

La identidad de una línea — (1−1/Ma²)dρ/ρ + dA/A = 0#

Vamos al grano. Tomemos un flujo unidimensional estacionario por un conducto de área variable $A(x)$ . La conservación de masa, en forma diferencial, da

\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dA}{A} + \frac{du}{u} = 0

y la ecuación de Euler isentrópica con la definición de la velocidad del sonido $a^2 = dp/d\rho$ produce

u\, du = -\frac{dp}{\rho} = -a^2 \frac{d\rho}{\rho}.

Eliminando $du$ entre ambas queda la línea que se traga toda paradoja.

\left(1 - \frac{1}{\mathrm{Ma}^2}\right) \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dA}{A} = 0

$\rho$ es densidad, $A$ es área, $\mathrm{Ma}$ es el número de Mach. El análisis de signos lo aclara todo.

Subsónico ( $\mathrm{Ma} < 1$ , paréntesis negativo): si el área se reduce ( $dA<0$ ) la densidad cae y la velocidad sube. Es la manguera de jardín cuando se pinza con el dedo.

Supersónico ( $\mathrm{Ma} > 1$ , paréntesis positivo): todos los signos cambian. Un conducto más estrecho ahora aumenta la densidad y frena el flujo. Intentar empujar el gas más rápido por un cuello más estrecho lo asfixia. Para acelerar hay que dejar que el área crezca.

A Mach 0.3, 1/Ma² vale 1/0.09, cerca de 11.1, así que el paréntesis (1 − 1/Ma²) queda cerca de −10.1. El cambio de densidad es el cambio de área dividido por ese número. Un cambio de área del 10 % mueve la densidad solo cerca de un 1 %. Lejos de la velocidad del sonido, área y densidad casi no se hablan.

A Mach 2, 1/Ma² vale 0.25 y el paréntesis es +0.75. Tras el cambio de signo, el cambio de densidad es cerca de 1.33 veces el de área. Abrir el área un 10 % baja la densidad cerca de un 13 % y sube la velocidad. En Mach 1 el paréntesis es cero, de modo que el cambio de área también tiene que ser cero para que la identidad se sostenga. Ese es el número detrás de una garganta que es una sola estación.

La tobera Laval — estrechar no siempre acelera#

Ese cambio de signo dicta la forma Laval. Para llevar un gas subsónico hasta supersónico, primero hay que contraer hasta llegar a sónico en una sección estrecha, y luego expandir. La garganta se sitúa exactamente en $\mathrm{Ma}=1$ porque la única forma de que la identidad sea compatible con $1 - 1/\mathrm{Ma}^2 = 0$ es que $dA = 0$ .

Una vez fijada el área de garganta $A^*$ , las demás secciones quedan determinadas por Mach.

\frac{A}{A^*} = \frac{1}{\mathrm{Ma}} \left[ \frac{2}{\gamma+1} \left( 1 + \frac{\gamma-1}{2}\mathrm{Ma}^2 \right) \right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}

El mismo cociente de áreas admite dos soluciones de Mach, una subsónica y otra supersónica. Qué rama sigue el flujo depende de la presión de descarga $P_b$ . Con la descarga bastante baja, la parte divergente sube por la rama supersónica y Mach pasa de uno. Si la descarga queda por encima del punto de diseño, aparece un choque normal en algún lugar de la tobera y el flujo cae de nuevo a subsónico.

Siguiendo la curva en NumPy#

La fórmula de área–Mach y el cociente de presión isentrópico caben en treinta líneas. Invertimos la relación con bisección.

import numpy as np
 
GAMMA = 1.4
 
def area_mach_relation(M, gamma=GAMMA):
    """A/A* — identidad isentrópica área-Mach."""
    exp = (gamma + 1) / (2 * (gamma - 1))
    inner = (2 / (gamma + 1)) * (1 + 0.5 * (gamma - 1) * M ** 2)
    return (1 / M) * inner ** exp
 
def solve_supersonic_branch(area_ratio, gamma=GAMMA, lo=1.0001, hi=25.0):
    """Cociente de áreas -> Mach supersónico (bisección)."""
    for _ in range(80):
        mid = 0.5 * (lo + hi)
        if area_mach_relation(mid, gamma) < area_ratio:
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    return 0.5 * (lo + hi)
 
def pressure_ratio_isentropic(M, gamma=GAMMA):
    """p/p0 — presión estática sobre presión de estancamiento."""
    return (1 + 0.5 * (gamma - 1) * M ** 2) ** (-gamma / (gamma - 1))
 
def normal_shock_p2_p1(M1, gamma=GAMMA):
    """Cociente de presión estática a través de un choque normal."""
    return 1 + (2 * gamma / (gamma + 1)) * (M1 ** 2 - 1)
 
A_ratio = 2.5
M_exit = solve_supersonic_branch(A_ratio)
p_exit = pressure_ratio_isentropic(M_exit)
 
print(f"design exit  Ma = {M_exit:.3f}")
print(f"design exit  p/p0 = {p_exit:.4f}")
print(f"if Ma1=1.5 normal shock, p2/p1 = {normal_shock_p2_p1(1.5):.3f}")

La salida:

design exit  Ma = 2.443
design exit  p/p0 = 0.0633
if Ma1=1.5 normal shock, p2/p1 = 2.458

Con el deslizador de área de salida en 2.5 y el de presión de descarga por debajo de la estática de diseño, el Mach de salida de diseño en la figura queda cerca del 2.44 impreso.

Aexit/A* : 2.50Pb/P0 : 0.40

Cyan curve: Ma along axis (normalized). Dashed red line: throat. Lower P_b makes the diverging part accelerate to supersonic. Raise P_b above the design and a normal shock appears inside.

Una tobera con cociente de áreas 2.5 trabajando en condiciones de diseño alcanza Mach 2.44 a la salida y baja la presión estática al 6.3% de la de estancamiento. Si el cociente de descarga sube de 0.063, la curva del divergente se quiebra detrás de la garganta y el Mach cae por debajo de 1. Si dentro se forma un choque normal a Mach 1.5, la presión salta un factor 2.46 y el flujo regresa instantáneamente al régimen subsónico.

Al devolver el Mach de salida impreso, 2.443, a la relación del cono, sin μ = 1/2.443 vale cerca de 0.409 y el semiángulo cerca de 24 grados, más cerrado que los 30 grados de un cono a Mach 2. El 2.458 impreso no es otro cálculo. Con γ = 1.4, 2γ/(γ+1) es 2.8/2.4, y Ma² − 1 a Mach 1.5 es 1.25. Sumar (2.8/2.4)×1.25 a 1 da 2.458.

Ondas de choque — el límite de la compresión#

Una onda de compresión que se alcanza a sí misma se vuelve choque. El borde trasero se calienta por la compresión, la velocidad del sonido sube y el reverso adelanta al frente. Todo el salto de presión termina concentrándose en una lámina de unas pocas distancias libres medias — micrómetros en el aire.

El salto de presión a través de un choque normal $p_2/p_1 = 1 + \frac{2\gamma}{\gamma+1}(\mathrm{Ma}_1^2 - 1)$ vale cero en Mach 1 y crece cuadráticamente. Cuando la presión de descarga supera el valor de diseño de una tobera Laval supersónica, el flujo planta un choque interno para cerrar la diferencia y se desacelera a sí mismo. Es el régimen sobreexpandido.

La misma ecuación gobierna los microchoques que liberan las burbujas de cavitación al colapsar, el chasquido de un látigo cuya punta acaba de superar la velocidad del sonido y el calentamiento de los meteoros al entrar en la atmósfera. Caras distintas de una sola identidad. El mismo salto de pie sobre una superficie libre es el resalto hidráulico del fregadero. Solo cambia la escala de velocidad, de la del sonido a un número de Froude.

Si la descarga pasa de 0.063, el Mach de salida muere#

Cuando la presión de descarga queda por encima del cociente estático de diseño 0.0633, el divergente no puede quedarse en la rama supersónica. Mach 2.443 y una estática del 6.33 % del estancamiento salen juntos. Subir solo la descarga deja el Mach de salida por debajo de 1 aunque el cociente de áreas siga en 2.5. Un choque a Mach 1.5 dentro de la tobera multiplica la presión por 2.458 y cierra esa brecha.

La condición que bloquea el gasto másico cuando la garganta es sónica queda fuera de esta nota. Dónde una tobera convergente-divergente ahoga el gasto sigue el caudal después de Mach 1 en la garganta. Si el cociente de áreas y la descarga ya coinciden y el gasto no, ahí se mira si la garganta es de verdad sónica.